拓寬數(shù)學思維平面，收獲數(shù)學教學實效

朱學豐

摘 要：思維培養(yǎng)是高中階段數(shù)學教學的重點所在。只有從思維的角度進行把握與拓寬，才能夠實現(xiàn)數(shù)學探究的持續(xù)深入。筆者以拓寬思維平面為中心，查閱了相關領域的教學理論成果，并根據(jù)實踐當中的成功經(jīng)驗進行了系統(tǒng)整理，形成了思維教學的一些體會，在本文當中進行了論述。希望能得到廣大教師的關注，并對高中數(shù)學教學有所啟示。

關鍵詞：高中；數(shù)學；思維

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】B

【文章編號】1008-1216（2017）01B-0104-02

高中數(shù)學學習區(qū)別于初中數(shù)學學習的一個很大不同點在于它的教學關注點的變化。初中可謂是數(shù)學學習的基礎階段，學生們應當將注意力更多地放在對具體知識內(nèi)容的理解上，為日后的深入探究打好知識基礎。而進入高中階段，就開始從思維能力的高度對學生們提出了學習要求。學生們不僅需要著眼于具體內(nèi)容進行理解，還要學會看待分析，找到具體知識之間的關聯(lián)，以便更加深入高效地掌握數(shù)學知識。這為高中數(shù)學教師們提出了一個核心的教學目標——思維能力。

一、建立換元思想，拓寬思維平面

在很多復雜問題的解答當中，由于已知條件中的元素過多，經(jīng)常會擾亂學生們的視線，讓大家不知道這些條件之間究竟存在著怎樣的關聯(lián)，自然也就無法找到有效的解答方法。這時，就需要找到一個新的元素來置換這些復雜部分，將混亂的條件簡潔化，清晰地進行分析推理，這就是我們首先要談到的換元思想。

例如，在三角函數(shù)的學習中，學生們遇到過這樣一道習題：已知a>0，那么，函數(shù)f（x）=2a（sinx+cosx）-sinx·cosx-2a2 能夠取得的最大值和最小值分別是什么？想要對這個函數(shù)取得最值的狀態(tài)進行分析，最大的障礙就是其中存在的頗為復雜的三角函數(shù)形式。既然復雜冗長的三角函數(shù)元素干擾了我們的視線，那么為什么不將它們簡潔化呢？這時，換元的思想就顯得尤為重要。將sinx+cosx的值設為t，便可以將t的取值范圍確定為[-，]，通過對題目條件進行換元得到sinx·cosx=，由此，就可以進一步得到f（x）=g（t）=-（t-2a）2+（a>0），t∈[-，]的形式了。接下來，根據(jù)t的取值范圍求出函數(shù)的最大、最小值也就簡便許多了。視覺形態(tài)上的簡化，讓學生們很清晰地找到了sinx+cosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，使得問題被順利解決。

換元的過程就像是對題目條件進行了一次重新整理與表達。在新元素的輔助之下，學生們的眼前瞬間清晰了許多，很多隱藏在復雜條件表述之下的邏輯關系也得以明確地展現(xiàn)出來，為順利解題拓寬了道路。換元思想的建立，為學生們準確分析復雜問題提供了一個很好的出口。

二、建立參數(shù)思想，拓寬思維平面

參數(shù)思想可以說是對換元思想的進一步延伸與升華。當運用題目當中現(xiàn)有的條件元素無法將數(shù)量之間的關系體現(xiàn)完全時，就可以考慮引入另外的字母作為參數(shù)，以這個參數(shù)作為一個新的核心，用它打通各個零散條件之間的關系，將一個個現(xiàn)有條件結合起來，促進題目得到解答。

例如，在立體幾何學習當中，我曾經(jīng)引入了這樣一道習題：如圖1，S-ABCD是一個正四棱錐，它的四個側面與地面的夾角均是β，且相鄰的兩個側面所成的夾角均是α。求證：cosα=-cos2β。想要證明題目當中給出的結論，就需要將α和β的余弦值求出來，然后將α與β放回所在的三角形中，結合三角形的相關定理解題。經(jīng)過將AC與BD相連，并連結其交點O與點S，找到BC的中點F，連結OF和SF，并作BE⊥SC于點E，連結DE，能夠很清晰地找到∠DEB=α，∠SFO=β。這時，就面臨一個如何進行計算推導的問題。最為簡潔的方式就是引入一個新的參數(shù)a，并將BC的長度設為a，這樣就可以很順利地表示出SF與SC的長，隨后在△DEB中的余弦定理適用推導中將a這個輔助變量消去，使得問題得到順利求解。

參數(shù)思想的建立并不是那么容易的。由于這需要從題目之外重新引入新的元素輔助分析，對學生們的思維敏感性提出了很高的要求。很多學生在面對具體題目時，就會很自然地一頭扎進去開始分析計算，遇到困難時也只是一味沉在題目之中尋找出路，很難跳出現(xiàn)有題目，想到用新的參數(shù)來輔助思考。因此，教師們要有意識地加強對學生們運用參數(shù)思想解題能力的訓練，將學生們的這一思維習慣建立起來，方能讓參數(shù)思想方法被順利使用起來。

三、建立反證思想，拓寬思維平面

很多問題從正面去分析，難度是很大的。有時是由于題目當中給出的條件不足，有時則是由于分析活動覆蓋的面太廣，無法將所有可能性都涵蓋進來，造成推理不夠縝密。因此，我們就不應當繼續(xù)把自己的思維限制在這個正面的方向上去做困獸之斗，而是應當從相反的方向去開辟一條新路。這就是反證思想的產(chǎn)生基礎。

例如，在圓錐的學習單元中，曾經(jīng)出現(xiàn)過這樣一道比較典型的反證思想運用習題：如圖2，SA和SB是圓錐體的兩條母線，點O是圓錐底面的圓心，且點C是SB上的點。求證：AC與面BOS不垂直。從題目要求證明內(nèi)容的表述方式就可以看出，這道題目與往常的題目有著些許不同?！安淮怪薄笔且粋€否定性的表述，那么，如何對這樣的結論進行證明呢？我們掌握的定理，似乎都是從肯定的角度作出的，想要直接得出否定的結論并不容易。這時，就需要引入反證的思想了。只要從反方向先設AC與面BOS垂直，沿著這個方向進行推導，最終找到面BAS與底面平行的矛盾結論，便可以確定假設不成立，進而得出待證明的否定性結論，清晰簡便。

不難發(fā)現(xiàn)，反證思想的產(chǎn)生為原本困難的問題解答找到了一條捷徑。它也從思維的靈活性上為學生們提供了啟示。對于一些分析起來過于復雜的問題來講，有時可以另辟蹊徑，從相反的方向嘗試入手，往往可以收獲意想不到的效果。特別是在一些小題的解答當中，反證法的適用能夠為學生們節(jié)省很多時間和精力。

四、建立數(shù)形思想，拓寬思維平面

數(shù)形結合方法在高中數(shù)學的很多問題解答當中都有著廣泛的應用。因此，數(shù)形思想的建立，也就成為拓寬數(shù)學思維平面的有效途徑之一。勤于將數(shù)字性條件與圖形、圖像相聯(lián)系，是每一個高中學生必須建立起來的習慣性意識。有時候，無意當中的作圖動作，都會為問題分析提供很大幫助。

例如，在方程內(nèi)容的教學當中，為了引導學生們將方程與圖形結合起來，我設計了這樣一道習題：已知，方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）上有唯一的解，那么，實數(shù)m的取值范圍是什么？題目看似簡單，但要準確快速地將其解答出來，僅靠代數(shù)形式的推導是遠遠不夠的。當我們將已知條件當中的方程變形轉化成為一元二次方程在其定義域中存在實數(shù)解的問題之后，就需要圖形進行輔助了。當我們將方程化簡為之后，答案也就顯而易見了。

數(shù)形思想的適用在高中數(shù)學學習過程當中隨處可見。無論是以圖形為重點的幾何內(nèi)容，還是以數(shù)字為側重的代數(shù)問題，其中的關系都能夠以圖形的方式展現(xiàn)出來。圖形有時是思維分析的輔助，有時更是有效解題的決定性因素。因此，將單一的數(shù)字思維拓展至圖形思維領域，對于高中數(shù)學的有效探究是極為關鍵的。

高中數(shù)學當中的思維能力覆蓋面很廣。伴隨此階段知識數(shù)量與問題形式的復雜多樣，對應的思維方法也是種類各異的。本文只是就其中一些較為典型的思維方法進行了闡述，希望能夠拋磚引玉，起到啟發(fā)廣大教師的作用。筆者相信，通過對學生們的思維平面進行拓寬，建立多種行之有效的思維路徑，必定能夠為學生們的知識學習開辟清晰的思路，使其能夠手握這些規(guī)律性方法，更加簡潔高效地處理復雜的數(shù)學問題，將高中數(shù)學學得更好。

參考文獻：

[1]王文明.如何在高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力[J].學周刊，2012，（5）.

[2]齊紅.高中數(shù)學教學中逆向思維的培養(yǎng)[J].新課程：教育學術， 2011，（4）.endprint