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    賞析幾例圓錐曲線切線問(wèn)題

    2017-03-10 11:09:33
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年3期
    關(guān)鍵詞:補(bǔ)角對(duì)稱點(diǎn)切點(diǎn)

    賞析幾例圓錐曲線切線問(wèn)題

    ☉江蘇省南通市通州區(qū)教學(xué)研究室 王惠清

    圓錐曲線是一組非常優(yōu)美和諧的曲線,筆者在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了其中的一些優(yōu)美性質(zhì),下面舉幾例,以饗讀者.

    一、圓錐曲線切線中的一個(gè)定值問(wèn)題

    設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線,A,B為切點(diǎn),過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)時(shí),∠MFN大小不變(如圖1).

    通過(guò)探究,對(duì)于橢圓和雙曲線也有同樣的結(jié)論,具體的情形就是本文的定理1,2,3.下面給出幾何法的證明.

    圖1

    圖2

    引理1設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線,A,B為切點(diǎn),則有∠PFA=∠PFB.

    證明:如圖2,設(shè)l為拋物線的準(zhǔn)線,分別過(guò)點(diǎn)A,B作l的垂線,垂足D,E.由拋物線的定義及光學(xué)性質(zhì)知,AF= AD,D,F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于切線PA對(duì)稱(從點(diǎn)F射出的光線經(jīng)拋物線上的點(diǎn)A反射后將垂直于準(zhǔn)線射出,相當(dāng)于從準(zhǔn)線上的點(diǎn)D直接射出),此時(shí)的切線PA相當(dāng)于在點(diǎn)A處的一面平面鏡,所以△PFA與△PDA全等,PD=PF.同理,PE= PF,從而PD=PE,∠1=∠2,∠PDA=∠PEB,即∠PFA=∠PFB得證.

    引理2設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線,A,B為切點(diǎn),則有∠PFA+∠APB=π.

    證明:如圖2,夾在兩平行線DA,EB之間的∠PDA+∠PEB+∠3+∠4+∠5+∠6=2π,因?yàn)椤螾DA=∠PEB,∠3=∠4,∠5=∠6,所以∠PDA+∠4+∠5=π,即∠PFA+∠APB=π,得證.

    此外,還有△PAF與△BFP相似;PF2=AF·BF;∠AFB=2∠APB等結(jié)論,留給讀者證明.

    定理1設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線,A,B為切點(diǎn),過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)時(shí),∠MFN大小不變,且∠MFN+∠APB=π,即點(diǎn)P,N,F(xiàn),M四點(diǎn)共圓.

    證明如圖3,由于MA,MC是兩條切線,根據(jù)引理1知,∠AFM=∠CFM.同理NB,NC是兩條切線,根據(jù)引理1知,∠BFN=∠CFN,所以∠CFM+∠CFN=(∠PFA+∠PFB)=∠PFA,即∠MFN=∠PFA,即∠MFN大小不變得證;再由引理2,∠MFN+∠PFA=π,所以點(diǎn)P,N,F(xiàn),M四點(diǎn)共圓.

    引理3設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2的橢圓的兩條切線,A,B為切點(diǎn),則有∠PF1A=∠PF1B,∠PF2A=∠PF2B.

    圖3

    圖4

    證明:如圖4,作點(diǎn)F1關(guān)于切線PA的對(duì)稱點(diǎn)D,△PAD與△PAF1全等,∠1=∠2.由橢圓的光學(xué)性質(zhì),從F1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)F2,相當(dāng)于光線從點(diǎn)D直接經(jīng)過(guò)A到達(dá)F2,由橢圓定義,DF2=AF1+AF2等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).作點(diǎn)F1關(guān)于切線PB的對(duì)稱點(diǎn)E,△PBE與△PBF1全等,∠3=∠4,由橢圓的光學(xué)性質(zhì),從F1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)F2,相當(dāng)于光線從點(diǎn)E直接經(jīng)過(guò)B到達(dá)F2.由橢圓定義,EF2=BF1+BF2等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).因?yàn)镻D=PE=PF1,DF2=EF2,故△PDF2與△PEF2全等,∠5=∠6,即∠PF2A=∠PF2B得證.同時(shí)得∠1=∠4,從而∠2=∠3,即∠PF1A=∠PF1B得證.

    引理4設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2的雙曲線同一支的兩條切線,A,B為切點(diǎn),則有∠PF1A=∠PF1B,∠PF2A=∠PF2B.

    證明:如圖5,作點(diǎn)F2關(guān)于切線PA的對(duì)稱點(diǎn)D,△PAD與△PAF2全等,∠5=∠7,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì),從F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)F1,相當(dāng)于光線從點(diǎn)F1經(jīng)過(guò)D到達(dá)A,由雙曲線定義,DF1= AF1-AF2等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).同理得△PBE與△PBF2全等,∠6=∠8,EF1=BF1-BF2等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).因?yàn)镻D=PE=PF2,DF1=EF1,得△PDF1與△PEF1全等,∠1=∠2,即∠PF1A=∠PF1B得證.同時(shí)得∠3=∠4,從而∠5=∠6,∠7=∠8,即∠PF2A=∠PF2B得證.

    圖5

    圖6

    引理5如圖6,設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2的雙曲線的兩條切線,當(dāng)切點(diǎn)A,B不在同一支上時(shí),則有PF1平分∠AF1B的外角,PF2平分∠AF2B的外角.

    證明與引理4的證明類似,不再贅述.

    定理2如圖7,設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2的橢圓的兩條切線,A,B為切點(diǎn),A′,B′分別是A,B關(guān)于中心O的對(duì)稱點(diǎn),若過(guò)橢圓上A′,B′之間的實(shí)線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),∠MF1N與∠MF2N大小不變,且分別等于∠PF1A與∠PF2A;若過(guò)橢圓上A′,B′之間的虛線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),∠MF1N與∠MF2N大小不變,且分別等于∠PF1A的補(bǔ)角與∠PF2A的補(bǔ)角.

    圖7

    圖8

    定理3如圖8,設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2的雙曲線的兩條切線,A,B為同一支上切點(diǎn),A′,B′分別是A,B關(guān)于中心O的對(duì)稱點(diǎn),若過(guò)雙曲線上的實(shí)線部分(以A′,B′為界)任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),∠MF1N與∠MF2N大小不變,且分別等于∠PF1A與∠PF2A;若過(guò)雙曲線上A′,B′之間的虛線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),∠MF1N與∠MF2N大小不變,且分別等于∠PF1A的補(bǔ)角與∠PF2A的補(bǔ)角.

    圖9

    如圖9,設(shè)PA,PB分別是焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2的雙曲線的兩條切線,當(dāng)切點(diǎn)A,B不在同一支上時(shí),A′,B′分別是A,B關(guān)于中心O的對(duì)稱點(diǎn),若過(guò)雙曲線上的實(shí)線部分(以A′,B′為界)任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),∠MF1N與∠MF2N大小不變,且分別等于∠PF1A與∠PF2A;若過(guò)雙曲線上的虛線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA,PB于M,N兩點(diǎn),∠MF1N與∠MF2N大小不變,且分別等于∠PF1A的補(bǔ)角與∠PF2A的補(bǔ)角.

    定理2和定理3的證明過(guò)程與定理1的證明過(guò)程類似,只要利用引理3,4,5就行了.只是橢圓和雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn),另外,切點(diǎn)C在實(shí)線上與在虛線上需要討論,還有雙曲線中PA,PB切在同一支上和切在兩支上,情形更多,限于篇幅,不再贅述.

    二、與圓錐曲線切線相關(guān)的一組等式

    筆者閱讀文[1]后,在教學(xué)中利用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示對(duì)其驗(yàn)證,并進(jìn)一步探究得到圓錐曲線的另一組等式.

    圖10

    證明:設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),則直線PS的參數(shù)方程可設(shè)為(t為參數(shù)),代入橢圓方程整理得

    (b2cos2θ+a2sin2θ)t2+2a2b2=0.由韋達(dá)定理知,tR+tS=-,tRtS=.切點(diǎn)弦AB方程為=1,與直線PS方程聯(lián)立解得

    若tS<tQ<tR<0,同理可證得

    由文[1]知,

    0外(雙曲線不含焦點(diǎn)的區(qū)域)一點(diǎn)(不同于原點(diǎn)),過(guò)P作雙曲線的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,又過(guò)P作任一割線交雙曲線于R,S,交直線AB于點(diǎn)Q.

    圖11

    圖12

    證明:(1)的證明與性質(zhì)1類似,現(xiàn)證明(2).

    如圖12,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),則直線PS的參數(shù)方程可設(shè)為(t為參數(shù)),代入雙曲線方程整理得由韋達(dá)定理知.切點(diǎn)弦AB方程為,與直線PS方程聯(lián)立解得

    由參數(shù)的幾何意義知,RQ=|tR-tQ|,QS=|tS-tQ|,PQ=|tQ|.若tR<0<tS<tQ,則.若tR>0>tS>tQ,同理可證得

    等式3如圖13,設(shè)P是拋物線y2= 2px(p>0)外(拋物線不含焦點(diǎn)的區(qū)域)一點(diǎn),過(guò)P作拋物線的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,又過(guò)P作任一割線交拋物線于R,S,交直線AB于點(diǎn)Q,則

    圖13

    證明:設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),則直線PS的參數(shù)方程可設(shè)為(t為參數(shù)),代入拋物線方程整理得sin2θt2+2(y0sinθ-pcosθ)t+-2px0=0.

    若tS>tQ>tR>0,則

    若tS<tQ<tR<0,同理可證得

    由文[1]知,

    受研究方法的限制,在解析幾何中探究發(fā)現(xiàn)新性質(zhì)往往比較困難.借助于GeoGebra軟件,我們不僅可以驗(yàn)證結(jié)論,還可以通過(guò)動(dòng)態(tài)演示更加深入、更加高效、更加精彩地探究新結(jié)論.

    1.徐文春.關(guān)于圓錐曲線切線的又一組性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊,2013(6)(下半月).

    2.(英)A·科克肖特著;蔣聲譯.圓錐曲線的幾何性質(zhì)[M].上海:上海教育出版社,2002.2.

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