數(shù)控機床體積誤差激光分步體對角線測量的優(yōu)化方法*

黃奕喬，楊建國

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

數(shù)控機床體積誤差激光分步體對角線測量的優(yōu)化方法*

黃奕喬，楊建國

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

高精度數(shù)控機床已經(jīng)在市場中廣泛應用。為了保證機床在三維空間中的定位精度，需要對機床的體積誤差進行測量。文章在傳統(tǒng)的激光分步體對角線測量法的基礎上，提出了一種簡化的辨識方法，通過3條機床工作空間體對角線定位誤差的測量數(shù)據(jù)，即可辨識獲得與傳統(tǒng)方法(測量4條體對角線)相同的結果，減少了測量時間。針對分步體對角線測量的安裝誤差，提出了一種優(yōu)化的測量辨識方法，通過增加3個平動軸定位誤差的測量，可以去除安裝誤差對測量結果的影響，提高了測量辨識精度，同時也不失高效性。運用上述測量方法在機床上實施體積誤差測量實驗，實驗結果證實了文中提出的激光分步體對角線測量的簡化方法和優(yōu)化方法的有效性。

數(shù)控機床；體積誤差；對角線測量

0 引言

數(shù)控機床可以滿足了復雜、精密、柔性、智能化的生產(chǎn)需求，是當今生產(chǎn)制造中必不可少的部分。體積精度是衡量機床精度的重要標準。ISO 230-1[1]對機床體積誤差進行了定義：在機床工作空間內，刀具在工件坐標系中實際位置和理想位置的最大位置偏差，以及實際姿態(tài)和理想姿態(tài)的最大方向偏差。為了提高機床精度，體積誤差的測量、分析與補償至關重要[2]。

單項誤差元素直接測量法是常用的誤差測量方法，各項誤差元素可通過激光干涉儀測量[3-4]。運用齊次坐標變換矩陣[5]或螺旋理論[6]等方法建立機床運動學模型，將誤差元素合成，獲得體積誤差。然而單項誤差元素測量需要運用很多價格高昂的儀器，并且測量過程復雜，測量時間長。

ISO230-6[7]定義了激光干涉儀體對角線測量法。體對角線測量可以對機床體積精度進行快速評估，但無法進行體積誤差元素的辨識。Charles Wang[8]提出了激光分步體對角線測量法，每個平動軸分步運動獲得更多的數(shù)據(jù)，以此分離出體積誤差元素。這種方法無需大量昂貴的測量儀器，快速高效。Jiang[9]將該測量方法運用到機床誤差補償中。

Svoboda[10]設計了相關實驗，在機床某個平動軸上設置較大的定位誤差后，再進行分步體對角線測量，其辨識結果不能準確辨識出該項定位誤差，而是將該項定位誤差分配在其他平動軸的定位誤差上。該實驗對分步體對角線法的準確性提出了質疑。Ibaraki[11]認為，安裝誤差對分步體對角線法的測量精度影響很大。

本文在傳統(tǒng)激光分步體對角線法的基礎上，提出了一種簡化方法和優(yōu)化方法，測量機床空間的3條體對角線誤差和3項定位誤差，可以去除安裝誤差的影響，提高了分步體對角線法的測量精度，同時也不失高效性。運用本文提出的激光分步體對角線測量的優(yōu)化方法實施體積誤差測量實驗，實驗結果證實了優(yōu)化方法的有效性。

1 激光分步體對角線測量的簡化方法

機床工作空間立方體的體對角線上定位誤差可以反映該空間中三個坐標軸方向上的誤差影響[12]。以體對角線為例，對角線定位誤差ΔR為：

ΔR=e·r

(1)

其中，誤差向量e=Δx·ux+Δy·uy+Δz·uz，Δx、Δy、Δz分別為X、Y、Z軸的體積誤差；ux、uy、uz分別為X、Y、Z軸的單位向量；r為體對角線的單位向量。

Wang[8]提出了的激光分步體對角線測量法，三個平動軸依次單獨運動，運動順序為：X軸運動(ax,0,0)，然后Y軸運動(0,ay,0)，最后Z軸運動(0,0,az)，如圖 1所示。通過激光干涉儀和固定在主軸上運動的大面積平面鏡完成沿體對角線方向的定位誤差測量。

如圖 2所示，Wang提出的激光分步體對角線測量法需要測量的4條體對角線分別定義為：

體對角線ppp，X、Y、Z軸分別沿其正方向運動；

體對角線npp，X軸運動方向為負，Y、Z軸運動方向為正；

體對角線pnp，Y軸運動方向為負，X、Z軸運動方向為正；

體對角線ppn，Z軸運動方向為負，X、Y軸運動方向為正。

圖1 激光分步體對角線測量

圖2 機床工作空間體對角線的命名

Wang[8]提出的傳統(tǒng)激光分步體對角線測量法進行誤差辨識時，沒有明確定義體對角線的運動順序，也沒有考慮單位向量r與誤差向量e點乘的正負關系。辨識過程使用了4條體對角線上的分步測量數(shù)據(jù)，求解12個方程才可以辨識出9項誤差的未知量，存在測量數(shù)據(jù)的冗余和利用不充分。

本文對體對角線的運動順序進行明確定義，考慮單位向量r和誤差向量e的方向關系，提出了簡化的激光分步體對角線測量法，只需要測量其中3條體對角線、求解9個方程即可以辨識出9項誤差。簡化方法充分利用了所有的測量數(shù)據(jù)，減少了誤差檢測所需的時間，提升了檢測辨識的效率。

本文對激光分步體對角線測量法的測量順序進行了明確的定義，如圖 3所示。沿各坐標軸正方向依次定義[x(1),…,x(n)]、[y(1),…,y(n)]、[z(1),…,z(n)]，沿體對角線的運動方向依次定義[R(1),…,R(n)]。

圖3 激光分步體對角線測量順序

如圖 3a所示，體對角線ppp第k步(k=1,…，n)運動，從Rppp(k-1)到Rppp(k)，機床依次完成的運動為：

(1)沿X軸從x(k-1)運動至x(k)，運動誤差向量ex(k)=[exx(k),eyx(k),ezx(k)]T，exx(k)、eyx(k)、ezx(k)分別為X軸運動時沿X、Y、Z方向的誤差，定義誤差正方向與坐標系正方向相同；

(2)沿Y軸從y(k-1)運動至y(k)，誤差向量ey(k)=[exy(k),eyy(k),ezy(k)]T的定義方式與X軸誤差相同；

(3)沿Z軸從z(k-1)運動至z(k)，誤差向量為ez(k)=[exz(k),eyz(k),ezz(k)]T的定義方式與X軸誤差相同。

體對角線ppp測量誤差值為：

(2)

如圖3b所示，體對角線npp的運動分析與體對角線ppp類似，其測量誤差值為:

(3)

其中，在求解ex(k)時，需要使用第(n-k+1)個體對角線誤差數(shù)據(jù)ΔRx,npp(n-k+1)，其向量乘積取負號。

注釋：由于Rx,npp(n-k+1)的表達式為：

Rx,npp(n-k+1)=-rnpp·xe(k)=

(ux,-uy,-uz)·[ax+exx(k),eyx(k),ezx(k)]T=

uxax+uxexx(k)-uyeyx(k)-uzezx(k)

(4)

式中，xe(k)為有誤差情況下X軸運動向量。因此ΔRx,npp(n-k+1)方程中的向量乘積取負號。

如圖3c所示，體對角線pnp測量誤差值為:

(5)

其中，在求解ey(k)時，需要使用第(n-k+1)個體對角線誤差數(shù)據(jù)ΔRy,pnp(n-k+1)，向量乘積取負號。

聯(lián)立式(2)、式(3)和式(5)，可以求得各運動軸運動產(chǎn)生的體積誤差值，其中X軸運動產(chǎn)生的誤差值為：

(6)

Y軸運動產(chǎn)生的誤差值為：

(7)

Z軸運動產(chǎn)生的誤差值為：

(8)

2 激光分步體對角線測量的優(yōu)化方法

激光分步體對角線法的安裝誤差對測量精度影響較大。安裝誤差包括兩類：激光束實際位置與理想位置的偏差，稱為激光束安裝誤差；平面反射鏡實際位置與理想位置的偏差，稱為平面鏡安裝誤差。

Wang[8]對這兩類安裝誤差進行了討論，在角偏誤差可以忽略的前提下，安裝誤差是一個常數(shù)。Ibaraki[11]分析了激光束安裝誤差、平面鏡安裝誤差對測量精度的影響，兩種安裝誤差的影響本質是相同的，都是在機床存在體積誤差時，激光束和平面鏡偏離理想位置，最終導致測量值不準確。

本文提出一種優(yōu)化的測量辨識方法，在簡化方法的基礎上，增加了3項定位誤差exx(k)、eyy(k)、ezz(k)的測量，可以消除安裝誤差的影響。優(yōu)化方法建立在機床角偏誤差可以忽略不計的前提條件下。優(yōu)化方法的測量路徑如圖4所示。

首先對優(yōu)化方法中用到的符號進行定義。在第k步分步體對角線運動中，不存在激光束安裝誤差和平面鏡安裝誤差的理想狀態(tài)下，測量辨識獲得的體對角線誤差分別為ΔRx,ppp(k)、ΔRy,ppp(k)、ΔRz,ppp(k)、ΔRx,npp(k)、ΔRy,npp(k)、ΔRz,npp(k)、ΔRx,pnp(k)、ΔRy,pnp(k)、ΔRz,pnp(k)。

圖4 優(yōu)化的分步體對角線測量

根據(jù)Wang[8]的分析，在忽略角偏誤差的前提下，安裝誤差對體對角線測量值的影響與步數(shù)k無關，不同步數(shù)對應的安裝誤差值相同。安裝誤差引起的體對角線誤差分別為δRx,ppp、δRy,ppp、δRz,ppp、δRx,npp、δRy,npp、δRz,npp、δRx,pnp、δRy,pnp、δRz,pnp。安裝誤差對體對角線測量結果的影響為：

(9)

(10)

(11)

將式(9)～式(11)代入式(6)～式(8)，解得：

(12)

(13)

(15)

(18)

(19)

(20)

式(12)～式(20)表示在安裝誤差存在時，激光分步體對角線法測量辨識的體積誤差的表達式。可以看出，安裝誤差對辨識的體積誤差有一定的影響。若想獲得機床本身的體積誤差值，必須去除安裝誤差對測量的影響。

為了簡化公式的形式，對安裝誤差的組合進行定義：

(21)

式中δ**表示了式(12)～式(20)中安裝誤差的組合，m**的下標表示包含該安裝誤差組合的體積誤差項，例如mxx是exx(k)中包含的安裝誤差組合。在定位誤差exx(k)、eyy(k)、ezz(k)直接測量獲得之后，代入式(12)、式(16)和式(20)，并對每一步的數(shù)據(jù)取平均值以消除隨機誤差，可以解得：

三條坐標軸的測量位置可以任意定義，通常將坐標系定義在三個絕對直線度誤差的平均值為零的位置上。即有：

(23)

將式(13)、式(14)、式(19)代入式(23)，可以解得：

(24)

根據(jù)Ibaraki的分析[11]，安裝誤差對單步測量值Rx,ppp、Ry,ppp、Rz,ppp影響較大，對三步體對角線位移誤差Rppp、Rnpp、Rpnp影響不大，即：

(25)

將式(25)與式(21)聯(lián)立，可以解得：

(26)

根據(jù)式(22)、式(24)和式(26)，可以解得所有9項安裝誤差值。將這9項安裝誤差值代入式(13)～式(19)，可以辨識獲得3n項定位誤差之外的6n項直線度誤差，去除了安裝誤差對測量結果的影響。圖5對優(yōu)化的激光分步體對角線測量與辨識過程進行總結，其流程步驟為：

(1)分步測量3條體對角線誤差；

(2)測量3個平動軸定位誤差；

(3)將分步體對角線誤差值和定位誤差值代入式(22)，解得安裝誤差mxx、myy、mzz；

(4)將分步體對角線測量值代入式(24)，解得安裝誤差myx、mzx、myz；

(5)將步驟(3)、步驟(4)中獲得的mxx、myy、mzz和myx、mzx、myz代入式(26)中求解，獲得安裝誤差mxz、mxy、mzy；

(6)將安裝誤差值代入式(13)～式(19)，解得直線度誤差eyx(k)、ezx(k)、exy(k)、ezy(k)、exz(k)、eyz(k)。

圖5 優(yōu)化的激光分步體對角線法流程圖

3 激光分步體對角線測量實驗驗證

為了驗證本文提出的簡化方法和優(yōu)化方法的正確性，本文進行了激光分步體對角線測量實驗。

實驗儀器主要包括光動公司(Optodyne)MCV-500激光多普勒測量儀和分步體對角線測量鏡組。激光頭安裝在工作臺面上，調整激光束和平面鏡的位置，保證激光束與體對角線重合，激光束與平面鏡垂直，激光束由激光頭發(fā)射后能夠沿原路線返回。測量儀器的安裝如圖 6所示。

圖6 激光分步體對角線測量

激光分步體對角線法測量的機床工作空間大小為500×400×350mm，4條體對角線的起止坐標位置如表1所示。

表1 體對角線起止坐標位置

每條體對角線的總長度為729.73mm，分為n=10格，每格中進行X、Y、Z分步測量，對應每一步的移動向量為(50,0,0)、(0,40,0)、(0,0,35)。每條對角線正向和反向各測量一次。獲得正反向對角線誤差的測量結果如圖 7所示。可以看出，機床的重復定位精度較好，符合分步體對角線測量辨識的前提條件；機床的體積誤差較大。對正反向體對角線測量結果取平均值，代入后續(xù)的誤差辨識算法中。

圖7 體對角線誤差測量值

3.1 分步體對角線測量簡化方法驗證

首先運用光動的分步體對角線測量軟件對測量結果進行數(shù)據(jù)分析。該軟件使用的是傳統(tǒng)分步體對角線辨識方法，以X軸的3項誤差元素為例，其誤差辨識結果如圖8中的exx、eyx、ezx曲線所示。

圖8 傳統(tǒng)分步體對角線法與簡化方法的比較

對這一實驗結果進行分析可知，簡化的激光分步體對角線法的本質與傳統(tǒng)分步體對角線測量辨識方法相同。通過準確定義體對角線誤差的測量順序，明確體對角線單位向量與誤差向量點乘的正負關系，可以只用3條體對角線的數(shù)據(jù)實現(xiàn)誤差辨識。簡化方法的正確性得以驗證。

3.2 分步體對角線測量優(yōu)化方法驗證

為了驗證本文提出的激光分步體對角線優(yōu)化方式，使用激光干涉儀對機床X、Y、Z軸的定位誤差、直線度、垂直度進行單項直接測量，如圖9所示。

將定位誤差測量值exx、eyy、ezz和體對角線誤差測量值ΔRppp、ΔRnpp、ΔRpnp代入優(yōu)化的分步體對角線誤差辨識方法，獲得相應的誤差元素項。

由于激光干涉儀進行單項直接測量獲得的誤差測量值準確度高，將單項測量值作為標準，將單項測量值與優(yōu)化的分步體對角線辨識值進行比較，可以驗證優(yōu)化的分步體對角線法的有效性。

傳統(tǒng)分步體對角線法辨識、優(yōu)化體對角線法辨識和單項直接測量三種方法獲得的誤差元素數(shù)據(jù)如圖10～圖12所示，并匯總在表 2中。

圖9 激光干涉儀測量單項誤差元素

其中，在直線度和垂直度的數(shù)據(jù)處理時，使用最小二乘法擬合得到直線度測量值的最小二乘平均直線，直線度測量值與最小二乘平均線的差值即為調整直線度。垂直度誤差值由exy與eyx、exz與ezx、ezy與eyz的最小二乘平均線夾角計算獲得。

(a)X軸定位誤差exx測量與辨識值

(b)X軸直線度誤差eyx測量與辨識值

(c)X軸直線度誤差ezx測量與辨識值

(a) Y軸直線度誤差exy測量與辨識值

(b) Y軸定位誤差eyy測量與辨識值

(c) Y軸直線度誤差ezy測量與辨識值

(a) Z軸直線度誤差exz測量與辨識值

(b) Z軸直線度誤差eyz測量與辨識值

(c) Z軸定位誤差ezz測量與辨識值圖12 測量和辨識的Z軸誤差值

由圖10～圖12和表2可以看出，相比于傳統(tǒng)的分步體對角線的辨識結果，優(yōu)化的分步體對角線的辨識結果更接近于各誤差項的直接測量值。這一現(xiàn)象在被測誤差值較大時尤為明顯，例如eyx、ezx、exy、ezy的誤差辨識結果。因此，優(yōu)化方法有效的提高了體對角線法誤差辨識的精度。

通過測量實驗進行的時間來看，平動軸誤差單項直接測量的實驗時間為13h；傳統(tǒng)的激光分步體對角線測量法的實驗時間為2.5h；優(yōu)化的激光分步體對角線測量法的實驗時間為4.5h。雖然優(yōu)化方法比傳統(tǒng)分步體對角線法測量路徑多，測量時間更長，但與單項直接檢測相比，優(yōu)化的分步體對角線法依然節(jié)省了很多測量時間，保證了測量的高效性。

表2 誤差元素的辨識值與直接測量值

4 結論

本文在機床體積誤差激光分步體對角線檢測技術的基礎上，提出了簡化和優(yōu)化方法。簡化辨識方法根據(jù)3條機床工作空間體對角線定位誤差的測量數(shù)據(jù)，即可辨識獲得與傳統(tǒng)方法(測量4條體對角線)相同的結果，減少了測量時間。優(yōu)化測量辨識方法通過增加3個平動軸定位誤差的測量，可以去除安裝誤差對測量結果的影響，提高了測量辨識精度，同時也不失高效性。在機床上進行測量實驗，實驗結果證實了本文所提出的測量辨識方法的有效性。

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(編輯 李秀敏)

Optimized Method of Laser Step Body Diagonal Measurement of Volumetric Errors of CNC Machine Tools

HUANG Yi-qiao, YANG Jian-guo

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The high-precision CNC machine tools have been widely used in the market. To maintain the positioning accuracy in three-dimensional space, it is necessary to measure volumetric errors of machine tools. Based on the conventional laser step body diagonal measurement, a simplified error identification method is recommended. The simplified method could achieve the same results with conventional method with measuring only 3diagonal lines. The time of measurement is saved. An optimized method is proposed according to the research on installation errors of laser step body diagonal measurement. After measuring positioning errors of 3diagonals and 3 translational axes, the installation errors could be removed. With the optimized method, laser step body diagonal measurement becomes more accurate, while the efficiency is still maintained. A measuring experiment for volumetric errors was conducted on a three-axis machine tool. The simplified and optimized methods which are proposed in this paper are validated by the experimental results.

CNC machine tool; volumetric errors; diagonal measurement

1001-2265(2017)02-0054-06

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.02.014

2016-05-13；

2016-06-15

國家科技重大專項(2015ZX04005001)；國家重大科研儀器研制項目(51527806)

黃奕喬(1991—)，男，濟南人，上海交通大學碩士研究生，研究方向為精密加工與測試，(E-mail)hyqa01@163.com；通訊作者：楊建國(1956—)，男，上海人，上海交通大學教授，博士生導師，研究方向為精密加工與測試，(E-mail)yang_cnc331@163.com。

TH161；TG659

A