壓力盾在圓弧形尖端裂縫處的減壓效果

張俊彥

摘 要：裂縫減壓是近年來熱門的話題，從上世紀(jì)中期的理論探索，到今年來通過計(jì)算機(jī)軟件ANSYS模擬化分析，裂縫學(xué)有長足的發(fā)展，而通過引進(jìn)Eshelby方程使得裂縫尖端的壓力逐漸量化，進(jìn)一步使得如何減少尖端壓力的變得有章可循，本文的通過討論壓力盾和裂縫間的相互作用效果，通過理論分析，采用線彈性破壞方法。之后，利用有限元軟件ANSYS，得出壓力盾的最佳位點(diǎn)和半徑。然后通過Eshelby等效方程解釋結(jié)果。

關(guān)鍵詞：壓力盾；裂縫減壓；減壓效果

中圖分類號(hào)：TU452 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）01-0094-02

1 文獻(xiàn)綜述

應(yīng)力集中是伴隨著集合不連續(xù)的一個(gè)位點(diǎn)，例如結(jié)構(gòu)中的裂縫尖端。由于裂縫尖端附近的集中應(yīng)力的存在，其應(yīng)力密度自然而然地增加。當(dāng)集中應(yīng)力超過結(jié)構(gòu)的固有粘性壓力時(shí)，其容易導(dǎo)致裂縫的拓展與結(jié)構(gòu)的破壞?；诖?，減少應(yīng)力值是很有必要的。在眾多減少集中應(yīng)力值的方法中，最常見的要數(shù)“應(yīng)力盾”，即通過在裂縫附近，鉆孔或嵌入一個(gè)規(guī)則的幾何體去改變初始應(yīng)力軌跡，從而減少集中應(yīng)力密度。

在1967年，E.E.GDOUTOS[1]指出隨著裂縫尖端到嵌入體間的距離增大，尖端處的壓力增大。E LIPETZKY and Z.KNESL[2]在1993年量化了嵌入體中心到裂縫尖端的距離與壓力密度因子間的關(guān)系。他們假設(shè)裂縫長度保持恒定和不同類型嵌入體面積相等。變量是裂縫尖端到嵌入體中心的距離（d）。當(dāng)彈性模量EI/Eo>1，隨著距離（d），的增加，ΔK/KH有一個(gè)單調(diào)遞減的過程。當(dāng)d/a<1時(shí)，顆粒對(duì)于裂縫尖端附近的壓力密度因子Ktip（SIF）有重要影響。其中a為裂縫長度，ΔK為Ktip-KH。

后來有人發(fā)現(xiàn)在嵌入體彈性模量EI和母體材料Em不同質(zhì)時(shí)，隨著EI/Em的增大，Ktip/Ko的值迅速減小。在2004年，李中華，陳強(qiáng)等人用Eshelby方程解釋兩個(gè)橢圓嵌入體間關(guān)系。根據(jù)李和陳的對(duì)Eshelby方程的調(diào)整，他們給出兩個(gè)橢圓型嵌入體相互的Ktip的影響。

其中r代表從裂縫尖端中心到嵌入體幾何中心

θ代表裂縫主軸到嵌入體中心的角度

A代表嵌入體的面積；C1和C2為常數(shù)

α1=Ei/Em

但是之前的研究者[1-4]只考慮了裂縫是條直線，而忽略了裂縫形狀對(duì)應(yīng)力盾效果的影響本文探討的是對(duì)于圓弧形孔槽裂縫，圓形孔洞對(duì)其尖端的影響。為了發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)確的圓形孔洞的尺寸和到裂縫尖端的距離與Ktip的關(guān)系，本文進(jìn)行了有限元數(shù)據(jù)模擬。之后利用Eshelby等效方程理論解釋了圓形空心孔洞對(duì)圓弧形裂縫尖端SIF影響。

2 方法論述

本文的材料選用屈服強(qiáng)度是250Mpa的鋼鐵，伯松比是0.3，彈性模量為210000Mpa。嵌入體為兩個(gè)空心圓洞，其彈性模量為0，和一條長度為a的裂縫。為了減少形狀引起的誤差，其模型選用沿裂縫對(duì)稱結(jié)構(gòu)。模型由兩個(gè)洞，一條裂縫和一個(gè)有限平面組成。因?yàn)樗菍?duì)稱結(jié)構(gòu)，在ANSYS Workbench軟件里，只去一半結(jié)構(gòu)。Y是從裂縫主軸到圓洞底端的距離。X是圓洞中心到裂縫縱軸的距離，d是圓洞的直徑。對(duì)于橢圓型裂縫模型，a的長度是裂縫長度的一半，e是裂縫短軸的長度。w和h分別代表有限的鋼板的寬度和高度。參數(shù)P是單位拉力。對(duì)于圓型尖端裂縫W/2=50mm， h/2=30mm，a=20mm，e/2=1mm。

采用的方法是線彈性破壞方式，簡稱LEFM。其受力模型是僅僅單一方向的拉力。拉力的大小是單位荷載1Mp，這樣其大小是無法使研究材料產(chǎn)生塑性變形。

首先假設(shè)圓洞的直徑和到裂縫X軸的距離保持固定，嵌體的圓心的位置從上移動(dòng)到下平行于X軸。之后圓洞的直徑和其裂縫Y軸的距離保持固定，嵌入體的圓心位置從左移動(dòng)到右平行于Y軸。第三，圓心固定在特定的位置上，改變圓的直徑，探索圓洞與裂縫尖端壓力密度的關(guān)系。

因?yàn)檫@個(gè)有限元的數(shù)量對(duì)SIF的值有直接影響，因此為ANSYS模擬結(jié)果反映裂縫延長的真實(shí)值，有限元應(yīng)該取個(gè)對(duì)結(jié)果無影響的值。對(duì)于裂縫，隨著有限元數(shù)量的上升，這個(gè)壓力密度因子SIF接近于恒定值。而在有限元模擬時(shí)，盡可能使得每個(gè)微元體相同。裂縫尖端附近應(yīng)力在單一軸向壓力情況下：

KI為SIF在裂縫尖端的值

r為平面一點(diǎn)到裂縫尖端的距離

當(dāng)θ=0，cos（θ/2） 等于1，sin（θ/2）sin（3θ/2）+1等于 1，原式子等于

為了計(jì)算出KI，式子轉(zhuǎn)化為log函數(shù)形式

在線性拉力破壞理論指導(dǎo)下，接近于裂縫尖端，對(duì)于線性裂縫會(huì)存在人為的奇異性singularity，以至于升Ko的值。然而對(duì)于圓形裂縫尖端就不會(huì)出現(xiàn)。為了避免奇異性出現(xiàn)，選取圓形裂縫尖端，同時(shí)采用Ktip/Ko形式，其中Ktip為帶有圓型孔槽的裂縫處SIF值，Ko為無孔槽的SIF值。

E Lipetzky指出當(dāng)圓形孔洞的位置離裂縫尖端的距離小于內(nèi)含裂縫一半長度a時(shí)，形狀效應(yīng)（shape effect）會(huì)增加Ktip/Ko的值。而本文的目的是確定出合適的圓洞位置和尺寸去減小Ktip值。當(dāng)這個(gè)距離太近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)塑性形變，在洞的邊緣到裂縫處。另外當(dāng)圓形孔洞的圓心處于裂縫的右側(cè)時(shí)，其無論移動(dòng)到何處，都會(huì)增加Ktip的值。因此，根據(jù)有限元的模擬情況和前人的探索，圓形孔洞的位置離裂縫尖端距離應(yīng)該取合適值。

3 計(jì)算與分析

通過X-Y坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成θ-r坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)從裂縫中心移動(dòng)到裂縫尖端處，則任何一點(diǎn)在（x，y）中，被表示成（20+rcos θ，rsin θ）假設(shè)當(dāng)圓洞半徑為5mm時(shí)，r數(shù)值范圍為8mm-15mm，θ取值范圍0-180°。

在裂縫長度a=20mm時(shí)，根據(jù)Eshelby方程

在本文中Ei等于0，因此α1=Ei/Em

進(jìn)一步計(jì)算得到C1=1，C2=1.5

所以等式可以化簡為

當(dāng)嵌入體為圓形時(shí)，方程為

r代表孔洞圓心到裂縫端點(diǎn)的距離R代表圓洞的半徑

θ代表孔洞圓心與裂縫端點(diǎn)連線和水平軸夾角

FE表示用ANSYS計(jì)算出的值，EQ表示Eshelby方程的計(jì)算值。

在圖3中，當(dāng)圓形孔洞的半徑恒定（R=5mm），同時(shí)孔洞圓心到裂縫端點(diǎn)的距離r=10mm時(shí)，夾角θ和Ktip/Ko的關(guān)系。首先，可以看出使用Eshelby方程的計(jì)算值與ANSYS模擬出的值大概相似。誤差率值小于3%。但個(gè)別ANSYS模擬出點(diǎn)沒有落在Eshelby方程的計(jì)算的曲線上?？赡芤?yàn)槟M時(shí)，產(chǎn)生沒有估計(jì)到的形變引起的。其次，隨著θ角度的增加，Ktip/Ko的值先是逐漸減小到最低0.74，然后有逐漸上升到0.95。在θ處于0-60°時(shí)，Ktip/Ko減小的幅度不明顯，60°之后，就有顯著降幅，并且當(dāng)角度為120°左右時(shí)Ktip/Ko達(dá)到最小值（0.74）。當(dāng)θ=150度，孔洞的邊緣與裂縫相切，發(fā)生裂縫通過ANSYS模擬，發(fā)生奇異性突變。但方程式仍舊可以計(jì)算出Ktip/Ko的值。此時(shí)的計(jì)算值在實(shí)際情況是不存在的。

當(dāng)這個(gè)圓形孔洞的半徑是5mm時(shí)，θ=90°，Ktip/Ko的值與r的關(guān)系?？梢园l(fā)現(xiàn)，在沒有大的形變的情況下，圓洞離圓形孔槽距離越近，減小Ktip的效果越明顯其次，通過計(jì)算得出Eshelby方程和有限元模擬出來的Ktip/Ko值相似.但是當(dāng)r<8mm時(shí)，由于圓孔邊緣與裂縫過于接近，容易造成奇異形變，所以r的最小值取8mm。并且r=8mm時(shí)，Ktip/Ko的值為最?。?.805）。隨著r的增大，Ktip/Ko的值逐漸增大。最后當(dāng)r>16mm時(shí)，Ktip/Ko的值趨于1.說明圓孔對(duì)裂縫已經(jīng)基本沒有影響。

4 結(jié)語

通過ANSYS的模擬分析和Eshelby方程的理論計(jì)算，說明Eshelby方程可以應(yīng)用于裂縫減壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算里。通過對(duì)θ和r和Ktip/Ko的值研究，發(fā)現(xiàn)在不引起塑性形變的基礎(chǔ)上，離裂縫越近效果越好，而且當(dāng)θ=120°時(shí)，處于圓形孔洞的減壓效果最佳。但沒有經(jīng)過實(shí)際物體實(shí)驗(yàn)的考證，當(dāng)壓力盾過于接近裂縫時(shí)，很容易打穿裂縫，或者在加壓過程中直接斷裂。因此僅僅討論到壓力盾還有待進(jìn)一步的確認(rèn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]E.E.GDOUTOS， INTERACTION EFFECTS BETWEEN A CRACK AND A CIRCULAR INCLUSION ，F(xiàn)ibre Science and Technology173-18，Chair of Applied Mechanics， Democritus University of Thrace， Xanthi51967.

[2]Lihong Yang， Qiang Chen， Zhonghua Li，Crack–inclusion interaction for mode II crack analyzed by Eshelby equivalent inclusion method， Engineering Fracture Mechanics 71 1421-1433，Shanghai Jiaotong University，2004.