基于“做數(shù)學(xué)”理念的幾何作圖教學(xué)探索

摘? ? ? 要 初中平面幾何的學(xué)習(xí)就是圖形的學(xué)習(xí)，但幾何作圖的價(jià)值與作圖能力的培養(yǎng)還沒有引起教師的足夠重視。幾何作圖的過程承載著“做數(shù)學(xué)”理念，在手腦協(xié)作的過程中培養(yǎng)幾何直觀、數(shù)學(xué)模型、邏輯推理等素養(yǎng)。教師要認(rèn)識(shí)到作圖的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)價(jià)值，通過這個(gè)被忽視的途徑切實(shí)保證核心素養(yǎng)落地。

關(guān) 鍵 詞 做數(shù)學(xué)? 幾何作圖? 幾何直觀? 空間觀念? 邏輯推理

引用格式 潘麗莎.基于“做數(shù)學(xué)”理念的幾何作圖教學(xué)探索[J].教學(xué)與管理，2022（07）：52-55.

“做數(shù)學(xué)”是指學(xué)生運(yùn)用材料和工具，在動(dòng)手動(dòng)腦相協(xié)同的過程中理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律（關(guān)系），創(chuàng)造性解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的一種方式。“做數(shù)學(xué)”包括數(shù)學(xué)體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐。初中平面幾何的學(xué)習(xí)就是圖形的學(xué)習(xí)，圖形作為符號(hào)系統(tǒng)中的重要一員不僅幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)，更以此培養(yǎng)學(xué)生空間觀念和幾何直觀。從最基本的點(diǎn)、線、面、體等幾何要素的識(shí)別到兩條直線的關(guān)系，再到三角形、四邊形、圓等復(fù)雜圖形的探究，都需要學(xué)生親歷畫圖過程。幾何作圖的學(xué)習(xí)是“做數(shù)學(xué)”中的數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的具體途徑之一，通過操作、觀察、感悟、理解來學(xué)習(xí)幾何，學(xué)生積累作圖經(jīng)驗(yàn)獲得大量的感性知識(shí)，再通過探究、論證，引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。幾何作圖教學(xué)包含教學(xué)生用三角板、直尺、量角器畫基本圖形，再現(xiàn)或拆解問題中的圖形，依據(jù)條件補(bǔ)全圖形，基本尺規(guī)作圖，復(fù)雜尺規(guī)作圖。

從課標(biāo)的要求看，圖形與幾何部分的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是不可或缺的。但據(jù)幾何教學(xué)的觀察，教師們普遍只關(guān)注學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)的形成，花費(fèi)大量的力氣教學(xué)生能夠有條理地思考和表達(dá)，嚴(yán)重忽視幾何作圖教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)解決有簡單圖形的問題，一旦遇到?jīng)]有圖形或者復(fù)雜圖形就束手無策。因此，反思幾何作圖教學(xué)的特征、價(jià)值、途徑有利于找到落實(shí)核心素養(yǎng)的直接路徑。

一、幾何作圖教學(xué)的特征

1.親和性

幾何作圖以生動(dòng)多樣的呈現(xiàn)方式，展示數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，激發(fā)興趣和美感，引發(fā)學(xué)習(xí)激情。學(xué)生可以采用熟悉的直尺、三角板、圓規(guī)等工具進(jìn)行操作，畫出的圖形豐富多樣，易獲得成就感。

2.問題性

幾何作圖的解決入口很寬，具有很強(qiáng)的開放性，容易激發(fā)學(xué)生迫切解決問題的心理需求，利于教師搭建活動(dòng)平臺(tái)，以恰時(shí)恰點(diǎn)的問題提高分析能力，孕育創(chuàng)新精神。比如“用兩種以上的方法作圖：利用尺規(guī)過圓外一點(diǎn)作圓的一條切線”，解決方法眾多，從不同角度思考可獲取不同的作圖方式。像這樣的作圖教材中還有不少，有待于教師備課時(shí)進(jìn)行深度思考和挖掘，提出作圖問題，形成問題意識(shí)。

3.思想性

幾何作圖的解決過程就是數(shù)學(xué)思想方法的滲透與概括過程。教師以此為載體引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟具體內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用特殊化、化歸等多種思想方法教學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題的方式，提高數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)其理性精神。比如解決“請用尺規(guī)三等分已知線段”作圖問題，就需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想。

4.聯(lián)系性

幾何作圖的解決需要運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，教師通過問題喚醒學(xué)生的思維，在啟發(fā)、類比、推廣過程中將知識(shí)進(jìn)行縱橫聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“瞻前顧后、彼此貫通”的綜合運(yùn)用目的。上述兩例作圖問題需要學(xué)生充分聯(lián)系全等或相似知識(shí)，從所學(xué)的知識(shí)庫中進(jìn)行有效信息提取、恰當(dāng)方法選擇才能完成。

二、幾何作圖教學(xué)的價(jià)值

1.有助于教師轉(zhuǎn)變育人方式

轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式一直是數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的核心環(huán)節(jié)，針對不同教學(xué)內(nèi)容采用合適的教學(xué)方式是教師在備課時(shí)要思考的問題。幾何作圖屬于“動(dòng)手做”，需要采用發(fā)現(xiàn)式的學(xué)習(xí)方式，需要教師提供目標(biāo)、暗示方向，學(xué)生自己設(shè)計(jì)路徑、制定方案來完成。教師作為組織者的身份參與課堂，對于關(guān)鍵性的難點(diǎn)問題，啟發(fā)性問題設(shè)計(jì)是教師專業(yè)能力的體現(xiàn)，耐心等待學(xué)生解決完成是教師育人理念的體現(xiàn)。

2.有助于增強(qiáng)學(xué)習(xí)體驗(yàn)性

布魯納認(rèn)為，在人類生長期間，有三種表征系統(tǒng)在起作用，即動(dòng)作表征、表象表征和符號(hào)表征，通過動(dòng)作或行動(dòng)、表象或圖像以及各種符號(hào)等抽象形式來認(rèn)識(shí)事物。這三種表征系統(tǒng)相互作用，是認(rèn)知生長或智慧生長的核心。初中學(xué)生在學(xué)習(xí)新知、理解知識(shí)時(shí)仍然需要?jiǎng)幼骱捅硐蟊碚鞯闹С?。幾何作圖過程恰是學(xué)生身體參與、形成直接經(jīng)驗(yàn)、有意識(shí)整合間接經(jīng)驗(yàn)的過程，是一個(gè)調(diào)動(dòng)原有學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積極思維、綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題、逐漸形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程。

3.有助于學(xué)生自我知識(shí)建構(gòu)

在幾何作圖“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生作為獨(dú)立的個(gè)體，通過自己的思考和行動(dòng)來完成畫圖，本質(zhì)上就是自我建構(gòu)知識(shí)的過程。學(xué)生通過具體的操作認(rèn)識(shí)圖形的特征，通過推理論證作圖的合理性。幾何作圖需要通過合作學(xué)習(xí)方式進(jìn)行，作圖的關(guān)鍵邏輯順序、實(shí)現(xiàn)每一步的依據(jù)需要學(xué)生充分討論、發(fā)表自己的看法和意見，在交流的過程中，進(jìn)一步鞏固知識(shí)的建構(gòu)，培養(yǎng)建模和直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)。

三、幾何作圖教學(xué)的策略

1.抓住課堂作圖陣地，有意培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，而空間形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，畫出圖形是圖形研究的最基本動(dòng)作。教師通過課堂主陣地循序漸進(jìn)地進(jìn)行作圖訓(xùn)練，可以提高學(xué)生作圖的熟練度、準(zhǔn)確度、美觀度，形成審美直覺和符號(hào)意識(shí)。目前教材里幾何作圖教學(xué)并不做為一個(gè)獨(dú)立單元進(jìn)行學(xué)習(xí)，而是廣泛融入到圖形與幾何部分的教學(xué)中去，在常態(tài)教學(xué)中有機(jī)滲透、隨時(shí)發(fā)生。它既需要教師在備課時(shí)有意識(shí)安排時(shí)間指導(dǎo)，又需要教師觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)即時(shí)進(jìn)行。

（1）全學(xué)段運(yùn)用幾何作圖教學(xué)

學(xué)習(xí)探索全等三角形的條件、平行四邊形、圓、相似三角形單元的每一課時(shí)都有大量的機(jī)會(huì)訓(xùn)練學(xué)生的作圖，每一道例題都是對學(xué)生進(jìn)行作圖方法培養(yǎng)的載體。不論是從作圖的順序讓學(xué)生理解圖形運(yùn)動(dòng)和變化，還是對條件的圖形標(biāo)注讓學(xué)生提煉整合信息，都是在潛移默化地讓學(xué)生親近圖形、理解圖形，學(xué)會(huì)用圖形刻畫運(yùn)動(dòng)過程，形成符號(hào)意識(shí)。gzslib202204011643

（2）設(shè)計(jì)創(chuàng)造性作圖問題

學(xué)習(xí)圓的切線，可以前置作業(yè)“利用尺規(guī)過圓外一點(diǎn)作圓的一條切線”，課堂請學(xué)生展示作圖方法，教師進(jìn)行作圖方法歸納;學(xué)習(xí)完平行四邊形判定后可以設(shè)計(jì)例題“已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C，請以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)畫一個(gè)平行四邊形”。以上這些問題促使學(xué)生從不同角度出發(fā)，選用不同的方法，運(yùn)用不同的知識(shí)解決問題，靈活考查學(xué)生知識(shí)運(yùn)用的能力，拓展學(xué)生思維，使其進(jìn)行深度學(xué)習(xí)[1]。

2.依據(jù)文字描述作圖，發(fā)展數(shù)學(xué)空間觀念

空間觀念的培養(yǎng)是幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要目的，學(xué)生能根據(jù)語言描述畫出符合題意的圖形是空間觀念素養(yǎng)的具體表現(xiàn)形式之一。用圖形再現(xiàn)文字或語言描述、圖形刻畫運(yùn)動(dòng)與變化的過程是發(fā)展學(xué)生的空間想象的有效途徑。教師梳理圖形與幾何中的重要章節(jié)中的重要作圖，針對典型問題、典型圖形的特征引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作、研究，形成深刻理解，打下堅(jiān)實(shí)的基本功。

例題1.（2018江蘇無錫卷）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，則△ABC的面積為______.

【解析】本題先確定∠B，再截取BA=10（如圖1），難點(diǎn)在于在射線BM上如何確定點(diǎn)C的位置，即在BM上找一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為2，聯(lián)想到圓的定義“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”，從而通過作出隱圓確定點(diǎn)C的位置有兩個(gè)，繼而再利用勾股定理解決線段長的問題求出面積。

【幾何作圖解讀】本題巧妙的反向利用“已知三角形的兩邊與一個(gè)角，不一定能確定三角形的形狀”這個(gè)結(jié)論構(gòu)造有新意的問題。在全等圖形的新課學(xué)習(xí)時(shí)教師通過演示兩種圖形結(jié)果來強(qiáng)調(diào)“已知三角形的兩邊與一個(gè)內(nèi)角不能證明全等”，而常常忽略讓學(xué)生動(dòng)手畫圖體會(huì)兩種可能性，失去了辯證地看待這個(gè)結(jié)論的機(jī)會(huì)，失去形成空間觀念的機(jī)會(huì)[2]。教師對作圖教學(xué)的弱化直接導(dǎo)致學(xué)生對知識(shí)的理解停在表面，沒有思維的深度加工;學(xué)生沒有作圖的功底，思維鏈常常斷裂，提高解決問題能力常會(huì)遇到發(fā)展的瓶頸。

在圖形與幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)充分意識(shí)到作圖過程既是考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)能力的載體，又是培養(yǎng)空間觀念的過程，要善于抓住典型內(nèi)容進(jìn)行長期訓(xùn)練形成經(jīng)驗(yàn)積累，將空間觀念的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)過程中。

3.依托基本圖形作圖，提升幾何直觀能力

數(shù)學(xué)家希爾伯特在著作《直觀幾何》中認(rèn)為，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。在幾何教學(xué)中，教師須帶領(lǐng)學(xué)生對基本圖形的組成元素間的數(shù)量、位置關(guān)系進(jìn)行深度研究，能夠熟練畫出基本圖形，能夠從復(fù)雜圖形，辨認(rèn)、拆解出基本圖形，或者以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察基本圖形研究圖形形質(zhì)，利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

例題2.（2012天津市）“三等分任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題。已知一個(gè)角∠MAN，設(shè)∠α=∠MAN.

（1）∠MAN=69°，∠α的大小為_______;

（2）如圖2，將∠MAN放在每個(gè)小正方形的邊長都是1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點(diǎn)B，且AB=2.5cm.現(xiàn)要求只能用帶刻度的直尺，請你在圖中作出∠α，并簡要說明做法（不要證明）_________.

【解析】：如圖3，用帶刻度的直尺過點(diǎn)A作一條直線，與過B點(diǎn)的兩條垂線交于C、D兩點(diǎn)，只需量出CD的長為5cm，則∠MAD就是要做的∠α，具體證明如圖4取CD的中點(diǎn)K，連接BK，則BK=2.5cm，利用平行—等腰三角形—角平分線模型順利獲證。

【幾何作圖解讀】本題若要用一把帶刻度的直尺做角平分線，那么就比較容易聯(lián)想到平行—等腰三角形—角平分線這個(gè)基本圖形和思考路徑?，F(xiàn)在需要做三等分線，是不是可以模仿這個(gè)模型？顯然，這個(gè)方法的遷移是奏效的。通過本題的解決過程，學(xué)生的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造能力得到鍛煉，對于基本知識(shí)點(diǎn)和基本圖形進(jìn)一步深刻理解，直觀想象的素養(yǎng)得以落實(shí)。

從例題2可以看出，在問題的解決過程中，原有的認(rèn)知需要被聯(lián)想，習(xí)得的方法需要遷移，舊有的模型需要在新的環(huán)境中重新構(gòu)建，這個(gè)思考過程充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的落實(shí)，因此教師要重視幾何作圖的價(jià)值，要引導(dǎo)學(xué)生充分思考、動(dòng)手、解決。

4.利用尺規(guī)作圖，體現(xiàn)邏輯推理素養(yǎng)

2011版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對尺規(guī)作圖做出了明確要求：能用尺規(guī)完成基本作圖，會(huì)利用基本圖形作幾個(gè)復(fù)雜圖形，在尺規(guī)作圖中了解作圖原理[3]。尺規(guī)作圖難點(diǎn)在于工具的限制，對學(xué)生作圖前的綜合分析能力有一定的要求，需要學(xué)生先從結(jié)論逆推溯源，再確定作圖順序，需要學(xué)生的邏輯推理能力作為分析支撐。

例題3.如圖5，矩形ABCD，AB=2，AD=4，請利用直尺（無刻度）和圓規(guī)在AD邊上找一點(diǎn)P，使得以CP為直徑的圓恰好與AB相切，并求出PD的長。

【解析】如圖6，作線段AB的垂直平分線MN，交線段AB于點(diǎn)E，連接CE，作線段CE的垂直平分線交MN于點(diǎn)O，作射線CO交線段AD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求。求PD的長略。

【幾何作圖解讀】本題如果單純是一道計(jì)算線段長度的題目，學(xué)生僅需畫出草圖，思路沒有阻礙，要么用勾股定理，要么利用圓的性質(zhì)和相似中的“K”型圖模型解決。但本題要先利用尺規(guī)作出較復(fù)雜的準(zhǔn)確圖形，這給學(xué)生提出了較高要求。仔細(xì)審題可以發(fā)現(xiàn)問題條件雖然簡單，但蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想?yún)s相當(dāng)豐富。

如何利用尺規(guī)作出準(zhǔn)確圖形？切入點(diǎn)在哪里？此時(shí)思維需要拓展，特別是逆向推理相當(dāng)關(guān)鍵。通過觀察、邏輯推理找尋點(diǎn)O的確定方法是轉(zhuǎn)折點(diǎn)。先假定找出P點(diǎn)，通過觀察、逆推可以先確定哪些點(diǎn)。由于矩形是軸對稱圖形，所以邊AD上的任意點(diǎn)與C點(diǎn)的連線都被矩形水平的對稱軸MN平分，即圓心O在直線MN上。然后，圓O與AB邊相切，由圓是軸對稱圖形知切點(diǎn)一定是AB的中點(diǎn)E，則線段OP=OE=OC，顯然這幾個(gè)點(diǎn)中只有點(diǎn)E和點(diǎn)C為已知，即點(diǎn)O滿足到點(diǎn)E、點(diǎn)C的距離相等，故點(diǎn)O在線段EC的垂直平分線上。到此思路已經(jīng)暢通，問題得以解決。從以上分析可以看出，本題只要找到了切口，運(yùn)用的基本作圖就只是作已知線段的垂直平分線和已知圓心與半徑作圓，完全符合課標(biāo)要求，而尋找切口需要的逆向思維和邏輯推理素養(yǎng)則是解決問題最關(guān)鍵的。所以，此題作為一個(gè)載體，將數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)落實(shí)到了問題的解決過程中。

綜觀以上問題，幾何作圖條件簡單但蘊(yùn)含的思維量很大，有利于學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)教師需擯棄以考為綱的教學(xué)，改以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力為目標(biāo)實(shí)施教學(xué)。通過真正研讀課標(biāo)，思考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落點(diǎn)，教師需樹立“做數(shù)學(xué)”的理念，重視幾何作圖的教育價(jià)值，將相對抽象的思考對象“圖形化”，把分析的思維過程可視化，在實(shí)踐中發(fā)揮幾何作圖“四兩撥千斤”的作用，讓核心素養(yǎng)落地有形有痕。

參考文獻(xiàn)

[1]? 喻平.“做數(shù)學(xué)”的理論基礎(chǔ)分析[J].教育研究與評(píng)論，2021（06）：22-26.

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