利用靈敏電流計(jì)研究電磁動(dòng)量

浦天舒，姜若詩(shī)，楊 波，宮繼斌

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

利用靈敏電流計(jì)研究電磁動(dòng)量

浦天舒，姜若詩(shī)，楊 波，宮繼斌

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

從場(chǎng)的觀點(diǎn)，分析靈敏電流計(jì)線圈在臨界阻尼運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下電磁動(dòng)量與機(jī)械動(dòng)量的轉(zhuǎn)化情況. 由于電磁動(dòng)量正比于線圈偏轉(zhuǎn)時(shí)的角位移，使難以測(cè)量的電磁動(dòng)量成為宏觀上的可觀測(cè)量.

靈敏電流計(jì)；電磁動(dòng)量；機(jī)械動(dòng)量

電磁場(chǎng)是物質(zhì)的一種形態(tài)，具有能量和動(dòng)量,但在基礎(chǔ)物理課程中對(duì)這一概念的解釋難以深入，其原因恐怕是公式推導(dǎo)涉及矢量分析甚至并矢(或張量)分析的緣故. 然而，如果能將抽象的概念與熟悉的基礎(chǔ)電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，如把場(chǎng)的動(dòng)量跟可測(cè)的直觀物理量如靈敏電流計(jì)線圈的偏轉(zhuǎn)角度聯(lián)系起來(lái)，就有助于從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)理解電磁學(xué)的問(wèn)題. 這樣，通過(guò)分析靈敏電流計(jì)線圈的運(yùn)動(dòng)，可以看出線圈的機(jī)械動(dòng)量與場(chǎng)的電磁動(dòng)量之間是如何轉(zhuǎn)化的.

1 電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度及電磁動(dòng)量

設(shè)在具有電磁場(chǎng)(E,B)的空間中有自由電荷密度ρ以及自由電荷產(chǎn)生的電流密度J分布，則單位體積中ρ和J受到的力為

f=ρE+J×B.

(1)

對(duì)于媒質(zhì)中的電磁場(chǎng)，應(yīng)將束縛電荷及磁化電流在電磁場(chǎng)中所受的力也包括進(jìn)來(lái)，那么電荷系統(tǒng)所受到的總的力密度應(yīng)為

f=(ρ+ρP)E+(J+JP+JM)×B.

(2)

ρ+ρP=·D-·P=ε0·E，

J=，

因此

把它們代入式(2)，得到

f= -

(3)

(4)

這樣定義的應(yīng)力并矢具有對(duì)稱(chēng)形式. 體積分式(3)兩邊得到

∫Vfdv=-∫Vv.

(5)

將(5)式右邊第一項(xiàng)化成面積分，則有

(6)

對(duì)封閉面，當(dāng)S→S∞， ∮ST·ds→0，因此ε0E×B可定義為電磁動(dòng)量密度[1]，即定義

gem=ε0E×B,

(7)

或定義電磁動(dòng)量(亦即Abraham動(dòng)量[2])為

Gem=∫V(ε0E×B)dv,

(8)

(9)

式(9)表明：在有電磁場(chǎng)的情況下，如果沒(méi)有外力，不是機(jī)械動(dòng)量守恒，而是機(jī)械動(dòng)量與電磁動(dòng)量之和守恒. 但若還存在外力，將引起總動(dòng)量(Gmech+Gem)的改變.

2 靈敏電流計(jì)線圈運(yùn)動(dòng)時(shí)電磁動(dòng)量與機(jī)械動(dòng)量的轉(zhuǎn)化

具體到靈敏電流計(jì)線圈在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線圈通有電流，如果不計(jì)電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)原來(lái)磁場(chǎng)的影響，則線圈受到的安培力便是外力，此外線圈懸絲的扭力也是外力，而電磁動(dòng)量的變化則來(lái)自線圈切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)的變化. 由感應(yīng)電場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流產(chǎn)生的電磁阻尼力矩使線圈的機(jī)械動(dòng)量減小.

根據(jù)以上受力分析，靈敏電流計(jì)線圈受到線圈電流產(chǎn)生的電磁力矩以及懸絲的扭力矩和感應(yīng)電流產(chǎn)生的電磁阻尼力矩的作用，其運(yùn)動(dòng)方程為

(10)

(11)

式中θ為線圈偏轉(zhuǎn)的角度，J為線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，B為線圈所在位置由永久磁鐵產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，Ig為線圈平衡時(shí)通過(guò)的電流，a和b為矩形線圈的邊長(zhǎng)(線圈面積為ab)，n為線圈匝數(shù)，D為懸絲的扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)，R為線圈回路的電阻(包括內(nèi)阻及外電路電阻). 其中式(10)為給線圈瞬間通以電流(穩(wěn)態(tài)值為Ig)后線圈的運(yùn)動(dòng)方程；式(11)為通有電流Ig的線圈突然斷電后線圈的運(yùn)動(dòng)方程. 根據(jù)對(duì)常微分方程的解的分析可知，線圈有臨界阻尼、過(guò)阻尼和欠阻尼3種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但從場(chǎng)的觀點(diǎn)看，也可以從電磁動(dòng)量和機(jī)械動(dòng)量轉(zhuǎn)化的角度來(lái)分析3種情況下線圈的運(yùn)動(dòng)特性.

(12)

(13)

為了能與式(12)比較，把式(13)改寫(xiě)成

(14)

而

(15)

亦可改寫(xiě)成

(16)

圖1 臨界阻尼狀態(tài)下線圈的電磁動(dòng)量和機(jī)械動(dòng)量的時(shí)間變化率隨時(shí)間的相對(duì)變化

斷電瞬間，雖然Ig=0，但因線圈在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)，所以電磁動(dòng)量并不為零. 通過(guò)解式(11)可知電磁動(dòng)量和機(jī)械動(dòng)量變化的趨勢(shì)跟通電時(shí)的情況正好相反.

從以上分析可見(jiàn)，由于存在外力，電磁動(dòng)量與機(jī)械動(dòng)量不同步，而是有時(shí)間上的滯后，對(duì)于過(guò)阻尼或欠阻尼運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也是如此.

圖2 臨界阻尼狀態(tài)下線圈的電磁動(dòng)量和機(jī)械動(dòng)量隨時(shí)間的相對(duì)變化

3 結(jié)束語(yǔ)

動(dòng)量表現(xiàn)為力在時(shí)間上的積累. 因?yàn)樵诮o電流計(jì)瞬間通電時(shí)，3種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的機(jī)械動(dòng)量最后都趨于零，所以外力的時(shí)間積累最后都表現(xiàn)為電磁動(dòng)量，如圖2所示(但在欠阻尼狀態(tài)下電磁動(dòng)量不是單調(diào)地增加). 另外，因電磁動(dòng)量的數(shù)值非常小，一般情況下難以測(cè)量，但由于電磁動(dòng)量跟線圈的偏轉(zhuǎn)角度成正比，使得電磁動(dòng)量成為宏觀上的可觀測(cè)量，而且靈敏電流計(jì)特性測(cè)量又是電磁學(xué)的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)，因此以上分析有助于通過(guò)機(jī)械動(dòng)量與電磁動(dòng)量的轉(zhuǎn)換從場(chǎng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)靈敏電流計(jì)線圈偏轉(zhuǎn)時(shí)電磁動(dòng)量變化的原因：即電磁動(dòng)量的變化來(lái)自于感應(yīng)電場(chǎng)的變化，即感應(yīng)電流的變化反映了電磁動(dòng)量的變化，而法拉第電磁感應(yīng)定律本質(zhì)上反映了機(jī)械動(dòng)量與電磁動(dòng)量的轉(zhuǎn)化與守恒定律[3].

[1] Stratton J A. Electromagnetic theory[M]. New York: McGraw-Hill， 1941:99-102.

[2] 杰克遜J D. 經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)(上冊(cè))[M]. 朱培豫，譯. 北京:人民教育出版社，1978:265.

[3] 張澤瑜,趙鈞. 電動(dòng)力學(xué)[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,1987:108.

[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Research on electromagnetic momentum by sensitive galvanometer

PU Tian-shu, JIANG Ruo-shi, YANG Bo, GONG Ji-bin

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

Transformation between electromagnetic momentum and mechanical momentum in the critical running of the coil of a sensitive galvanometer was analyzed in terms of electromagnetic field. It was shown that the electromagnetic momentum was proportional to the angular displacement of the coil so that the electromagnetic momentum, the measurement of which is generally difficult, became a macroscopically measurable quantity.

sensitive galvanometer; electromagnetic momentum; mechanical momentum

2016-05-20

浦天舒(1960-)，男，上海人，東華大學(xué)理學(xué)院副教授，學(xué)士，主要從事物理光學(xué)、微波技術(shù)的教學(xué)與科研工作.

O441.5

A

1005-4642(2017)02-0017-03

“第9屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文