基于快速傅里葉變換的SmaartLive音頻測(cè)量基本原理（節(jié)選）

Paul+D.+Henderson

【摘 要】 介紹關(guān)于SIA-SmaartLive?測(cè)量平臺(tái)上所使用的快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)性實(shí)踐分析報(bào)告的概況，從而了 解SmaartLive基于FFT測(cè)量的基本概念，進(jìn)而理解其測(cè)量參數(shù)、步驟以及所得數(shù)據(jù)。

【關(guān)鍵詞】 音頻測(cè)量；SmaartLive；快速傅里葉變換；傳遞函數(shù)；脈沖響應(yīng)

文章編號(hào)： 10.3969/j.issn.1674-8239.2017.01.004

The Fundamentals of FFT-Based Audio Measurements in SmaartLive

Original/[USA]Paul D. Henderson Translate/HE Kai-chen1， JI Xiang1

（1. The Communication University of China， Beijing 100024， China）

【Abstract】This article serves as summary of the Fast-Fourier Transform （FFT） analysis techniques implemented in the SIA-SmaartLive measurement platform. By reading through this document， you will receive an understanding of the fundamental concepts in FFT-based measurements， providing you with insights to better comprehend the measurement parameters， procedures， and resulting data.

【Key Words】audio measurement； SmaartLive； fast fourier transform； transfer function； impulse response

本文是關(guān)于SIA-SmaartLive? 測(cè)量平臺(tái)上所使用的快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)性實(shí)踐分析報(bào)告的摘要。通過(guò)閱讀這一文章，將會(huì)了解到SmaartLive基于FFT測(cè)量的基本概念，進(jìn)而對(duì)測(cè)量參數(shù)、步驟以及所得數(shù)據(jù)有更好地理解。

1 時(shí)域采樣：將信號(hào)送入SmaartLive

一般來(lái)說(shuō)，聲信號(hào)和電信號(hào)都是連續(xù)的，它們?cè)诿總€(gè)時(shí)間點(diǎn)上都有一個(gè)確定的值，故可以使用測(cè)量?jī)x器來(lái)測(cè)量聲壓和模擬電壓這類連續(xù)信號(hào)。然而，為了能夠通過(guò)SmaartLive這種基于計(jì)算機(jī)的測(cè)量系統(tǒng)來(lái)分析這些連續(xù)信號(hào)，必須把它們轉(zhuǎn)換為一系列數(shù)字樣本，且每個(gè)數(shù)字樣本能夠代表一個(gè)在特定時(shí)間點(diǎn)上與被測(cè)信號(hào)成一定比例的有效數(shù)值。這一過(guò)程被稱為采樣：即把時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)間上分離的信號(hào)。

用于SmaartLive測(cè)量（及其他數(shù)字音頻應(yīng)用）的采樣過(guò)程在均勻間隔的時(shí)間點(diǎn)上產(chǎn)生數(shù)據(jù)。每秒的采樣數(shù)值就是大家熟悉的采樣率，縮寫(xiě)為SR（Sample Rate），單位為Hz。采樣率直接影響計(jì)算機(jī)中能夠分析的最高頻率，即“尼奎斯特限定頻率（fmax）”，它等于采樣率的一半。對(duì)于電聲信號(hào)和電聲系統(tǒng)的測(cè)量，通常信號(hào)所處的頻段約在20 Hz到20 kHz之間。因此，在大部分的測(cè)量中，最好選擇聲卡和SmaartLive能夠同時(shí)兼容的最高采樣率。一般情況下，48 kHz和44.1 kHz都能夠提供一個(gè)至少為20 kHz的測(cè)量帶寬。

采樣周期是一個(gè)與采樣頻率反相關(guān)的參數(shù)，它表示的是采樣之間的時(shí)間間隔（以s為單位），測(cè)量精度在時(shí)間上與采樣周期T相等，見(jiàn)圖1。這就意味著不能從持續(xù)時(shí)間短于這個(gè)精度的信號(hào)中分辨出任何的細(xì)節(jié)。例如，如果利用SmaartLive，通過(guò)尋找脈沖響應(yīng)峰值的方法來(lái)測(cè)量信號(hào)延時(shí)，則無(wú)法測(cè)得小于T的延時(shí)量。

除了選擇理想的采樣率之外，在設(shè)置測(cè)量系統(tǒng)時(shí)也必須要考慮模數(shù)轉(zhuǎn)換器的字長(zhǎng)。對(duì)于每一個(gè)采樣而言，模數(shù)轉(zhuǎn)換器必須指定一個(gè)確切的數(shù)字比特模式來(lái)代表其振幅。實(shí)際上，模數(shù)轉(zhuǎn)換的字長(zhǎng)越長(zhǎng)，或每個(gè)采樣的比特?cái)?shù)越長(zhǎng)，測(cè)量的動(dòng)態(tài)范圍就會(huì)越大。更為重要的是，字長(zhǎng)的增加會(huì)提高所測(cè)量振幅精度，因?yàn)樾盘?hào)振幅上的采樣點(diǎn)被分配在了更小的間隔中。與采樣率相同，在保證與硬件兼容的前提下，應(yīng)將SmaartLive中的字長(zhǎng)設(shè)為最大值。

2 FFT分析：觀察頻域信息

雖然在部分情況下，在時(shí)域進(jìn)行測(cè)量是很實(shí)用的，但是大多數(shù)的音頻測(cè)量需要頻譜信息，了解音頻信號(hào)及整個(gè)系統(tǒng)的頻率內(nèi)容和特征。幸運(yùn)的是，目前已經(jīng)存在一個(gè)特定的技術(shù)將數(shù)據(jù)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域。傅里葉變換能夠?qū)⒁粋€(gè)時(shí)序信號(hào)轉(zhuǎn)換為復(fù)雜的頻域信息，它包含了構(gòu)成信號(hào)的正弦波分量的振幅和相位信息。另外，傅里葉變換提供了一個(gè)反向變換，在不丟失任何信息的情況下，把復(fù)雜的頻域信號(hào)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為時(shí)域信號(hào)。所以，時(shí)域數(shù)據(jù)和頻域數(shù)據(jù)是相同的：它僅僅提供了觀察同一信號(hào)的不同視角，詳見(jiàn)圖2。

3 傅里葉理論

19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家Jean Baptiste Joseph Fourier 提出一個(gè)概念，把任何時(shí)間信號(hào)表達(dá)為若干基本頻率的函數(shù)。傅里葉理論認(rèn)為，任何復(fù)雜的時(shí)序信號(hào)，無(wú)論是噪聲、語(yǔ)音還是音樂(lè)，都可以看作是一系列不同頻率、振幅和相位的正弦波的組合。有了這一基本概念，可以通過(guò)數(shù)學(xué)的方式將信號(hào)在時(shí)域和頻域之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

為了把連續(xù)信號(hào)x（t）轉(zhuǎn)換為它所對(duì)應(yīng)的頻域X （jw），用到前面提到的傅里葉變換：

（公式1）

也可以通過(guò)反向傅里葉變換，在不丟失任何信息的情況下將上述過(guò)程進(jìn)行逆向轉(zhuǎn)化：

（公式2）

值得注意的是，在最為嚴(yán)格的條件下，傅里葉變換需要一個(gè)完整的時(shí)間歷史（無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間）和無(wú)限數(shù)量的正弦頻率分量來(lái)充分地描述一個(gè)信號(hào)。顯然，這對(duì)于測(cè)量來(lái)說(shuō)并無(wú)實(shí)際意義。為了利用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行傅里葉變換，必須使用時(shí)間窗將對(duì)信號(hào)的觀察限制在一個(gè)有限的時(shí)間范圍內(nèi)。這是基于采樣信號(hào)數(shù)據(jù)運(yùn)行的離散式傅里葉變換（DFT：Discrete Fourier Transform），或通過(guò)計(jì)算機(jī)運(yùn)算的離散式傅里葉變換，即快速傅里葉變換（FFT： Fast Fourier Transform）。