高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題中的遞推關(guān)系的應(yīng)用

張秀慧

摘要：作為一名高中生無論是理科生還是文科生都需要學(xué)數(shù)學(xué)，并且數(shù)學(xué)在高考中的分?jǐn)?shù)占比很高，同時(shí)也是拉開分?jǐn)?shù)的主要學(xué)科，因此作為高中生想要在高考上考出好成績，就必須學(xué)好數(shù)學(xué)。數(shù)列是數(shù)學(xué)中極其重要的組成部分，同時(shí)也是在高考中的必考題型，在選擇題、解答題部分都會出現(xiàn)，分值在二十分左右。因此要學(xué)好數(shù)學(xué)就必須學(xué)好數(shù)列部分。在此背景下，文章主要介紹了高中數(shù)學(xué)數(shù)列文中中遞推關(guān)系應(yīng)用的兩種途徑，希望可以廣大高中生以參考和啟迪。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)列問題 遞推關(guān)系 應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)知識體系中數(shù)列是一個(gè)重要的組成部分，在選擇題、填空題以及解答題都有涉及，而要快速解答數(shù)列問題，就必須對題目中的數(shù)列關(guān)系有一個(gè)清晰的認(rèn)知，對題目中的遞推關(guān)系有一個(gè)正確的處理，可以說遞推關(guān)系是數(shù)列問題解答的關(guān)鍵所在?；诖耍恼聫母咧猩嵌?，以自身在高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)中的所思所感為背景，通過實(shí)際的題目講解，闡述了兩種在數(shù)列問題中，遞推關(guān)系應(yīng)用的途徑，旨在幫助更多的高中生在數(shù)學(xué)數(shù)列問題解答上掌握一些解題技巧，提升解題速度和正確率，以下是具體內(nèi)容。

一、等差、等比數(shù)列問題

等差、等比數(shù)列是數(shù)列問題的主要形式也是基礎(chǔ)，在面對一個(gè)數(shù)列問題時(shí)，最好的解題的途徑就是將其轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解答。以下以一道題目展開講解。

例一：禽流感是由流感病毒引起的一種疾病。某城市，在十一月一日出現(xiàn)二十例新的患者，并且以后的每一天都會出現(xiàn)比頭一天多五十例的新患者。該市的相關(guān)部門認(rèn)知到了該問題嚴(yán)重程度，因此采取了相關(guān)措施，使該病毒傳染得到了有效的控制，在某一天起第二天產(chǎn)生的新患者比頭一天都少三十例。直到十一月三十號，在三十天的時(shí)間內(nèi)，該市的患者一共達(dá)到了8670例。請問該市的新感染病毒最多的一天人數(shù)為多少，是哪一天？

在該題解答時(shí)，首先可以認(rèn)知到這是一個(gè)數(shù)列問題，并且存在著一個(gè)遞增和遞減的關(guān)系，因此可以設(shè)在十一月n日，這一天的感染者最多，并且從一號到n號為一等差數(shù)列，等差為50；同時(shí)根據(jù)題意可以得出，從n+1天開始都三十號成一個(gè)等差數(shù)列，等差為30。

根據(jù)題意從一號到n號的等差數(shù)列為an，并且a1=20，d=50，因此在n號的感染人數(shù)為an=50n-30。從n好到三十號，其形成的等差數(shù)列為bn，并且b1=50n-60，d2=-30，因此bn=20n-30。

根據(jù)以上關(guān)系可以得出在十一月三十號的感染人數(shù)為b30-n=20（30-n）-30=570-20n。進(jìn)而可以使用等差數(shù)列的求和公式，去除總的感染者為（20n+20-30）n/2+（30-n）[（570-20n）-60+50n]/2=8670

化解為n2-61n+588=0

n=49或n=12

因?yàn)橐粋€(gè)月最多只有三十天，n=49舍棄，所以在十一月十二日這一天是感染者新產(chǎn)生最多的一天，其人數(shù)為570例。

二、an-an-1=f（n）形式的等差等比數(shù)列遞進(jìn)關(guān)系的應(yīng)用

在一些應(yīng)用題中數(shù)列的遞推關(guān)系十分含糊，an與an-1的商或者是差不為常數(shù)，但是其所得商或者是差呈數(shù)列關(guān)系，就需要先需要運(yùn)算一步之后，才能找出其中的遞推關(guān)系，屬于an-an-1=f（n）形式的遞進(jìn)關(guān)系，該類題型是難度較大的一類題。以下以一道題目展開講解。

例二：對于一個(gè)產(chǎn)品而言，其在市場中都是有一定時(shí)效性的?，F(xiàn)有一產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研可知，在不做廣告前提下，每售出一件的利潤為a元，可售出b件。在做廣告時(shí)，其廣告費(fèi)為n千元是其效果比（n-1）時(shí)更好，可以多賣出b/2n（n≥0）件產(chǎn)品。

（1）寫出銷售量S和n之間的函數(shù)關(guān)系

（2）如果a為10，b為4000，此時(shí)商家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，投入多少廣告費(fèi)，才能實(shí)現(xiàn)獲利最大？

解：（1）函數(shù)關(guān)系的求解，首先可以設(shè)在廣告費(fèi)為n千元時(shí)銷量為Sn，因此在（n-1）千元時(shí)的銷量為Sn-1。

因?yàn)镾n-Sn-1=b/2n

所以可知Sn-Sn-1為一等差數(shù)列

所以S=b+b/2+b/22+b/23+...+b/2n=（2-1/2n）b。

因此當(dāng)為n千元時(shí)函數(shù)關(guān)系式為S=b+b/2+b/22+b/23+...+b/2n。

（2）當(dāng)b=4000時(shí)，根據(jù)（1）得出的結(jié)論可知此時(shí)S=4000（2-1/2n）。設(shè)此時(shí)的獲利為t，因此可以得出t=10*S-1000n=40000（2-1/2n）-1000n

要求出最大值Tn，

則必須滿足Tn≥Tn+1且Tn≥Tn-1

求解的n≥5且n≤5，故此n=5

帶入式子求得S=7875

即做5000元的廣告，生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，獲利最大。

三、結(jié)語

綜上所述，作為高中生的我們，要取得好的成績的必須學(xué)好數(shù)學(xué)數(shù)列，文章主要介紹了在一般等差、等比數(shù)列、an-an-1=f（n）形式的等差等比數(shù)列的遞推關(guān)系應(yīng)用的解題途徑和方式。希望可以幫助更多的高中生，能夠在面對數(shù)列問題時(shí)，冷靜的找出其中的遞推關(guān)系，并作出正確的分析，提升解題正確率，同時(shí)也提升整體的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

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（作者單位：萊蕪市第一中學(xué) 55級1級部12班）