高中課程標(biāo)準(zhǔn)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的國(guó)際比較研究

宋丹丹　曹一鳴

【摘要】選取十二個(gè)國(guó)家高中階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容為研究對(duì)象，從廣度、深度、內(nèi)容設(shè)置等方面比較研究，首先界定了廣度和深度的量化方法，建立了內(nèi)容主題和認(rèn)知要求兩個(gè)維度.主要的研究結(jié)論有：在冪函數(shù)部分，其他課標(biāo)用多項(xiàng)式函數(shù)、分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、平方根函數(shù)等形式代替冪函數(shù)出現(xiàn)；在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容設(shè)置方面，各國(guó)課標(biāo)都一致表現(xiàn)出一些共同特性，但也存在差異.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；課程標(biāo)準(zhǔn)；國(guó)際比較

1研究問(wèn)題

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是三類重要的基本初等函數(shù)，因此也是高中數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)內(nèi)容之一.近年來(lái)，我們對(duì)中國(guó)、澳大利亞、芬蘭及法國(guó)、美國(guó)、英國(guó)等國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書進(jìn)行了量化比較研究[1-3].本文是這一系列研究的一部分，主要針對(duì)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容，以課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容主題及認(rèn)知要求為切入點(diǎn)，對(duì)澳大利亞、加拿大、芬蘭、法國(guó)、德國(guó)、日本、韓國(guó)、荷蘭、南非、英國(guó)、美國(guó)、中國(guó)這十二個(gè)國(guó)家高中階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較分析.具體來(lái)說(shuō)，本文主要研究以下問(wèn)題：各個(gè)國(guó)家冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的廣度和深度分別是多少，有何特征？這些國(guó)家是如何對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行設(shè)置的？1.1研究對(duì)象與方法

研究國(guó)家和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)版本的選取

本文主要選擇了五大洲以下12個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)作為研究對(duì)象，具體國(guó)別分別是：（亞洲）中國(guó)、日本、韓國(guó)；（歐洲）法國(guó)、芬蘭、英國(guó)、德國(guó)、荷蘭；（美洲）美國(guó)、加拿大；（非洲）南非；（大洋洲）澳大利亞.這12個(gè)國(guó)家來(lái)自不同的洲，擁有著不同的人文背景和社會(huì)環(huán)境，經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度也不盡相同，可以很好地展示不同國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的共性與差異.所選取的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本材料主要來(lái)源于曹一鳴、代欽、王光明教授主編的《十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介（高中卷）》[4]，選擇國(guó)際比較樣本的主要依據(jù)是大部分高中生升學(xué)時(shí)所必須要求的內(nèi)容，其中特別關(guān)注理科、工程類學(xué)生.具體所選擇的版本如下：

1.2研究工具及方法

本文采用定量分析和定性分析相結(jié)合的方法，具體的研究方法有定性分析中的個(gè)案研究法和比較研究法，以及定量分析中的統(tǒng)計(jì)分析法.按照課程論學(xué)者泰勒的思想，主要從“內(nèi)容主題”和“認(rèn)知要求”兩個(gè)方面進(jìn)行研究.

（一）廣度

課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的領(lǐng)域和范圍的廣泛程度.為了便于統(tǒng)計(jì)結(jié)果，本文利用下面的公式計(jì)算課程標(biāo)準(zhǔn)的廣度.

G=aimax{ai}

，其中ai表示各個(gè)國(guó)家的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量總和，即廣度值，max{ai}表示所有國(guó)家的課程標(biāo)準(zhǔn)廣度值中的最大值.

廣度的統(tǒng)計(jì)涉及到對(duì)知識(shí)點(diǎn)的界定，由于我國(guó)對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的處理比較系統(tǒng)和詳細(xì)，本文以我國(guó)高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容為主，并結(jié)合其他國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容，逐步形成完善的知識(shí)點(diǎn)框架，并統(tǒng)計(jì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的平均深度值.

（二）深度

課程深度泛指課程內(nèi)容所需要達(dá)到的思維深度.我國(guó)課標(biāo)對(duì)知識(shí)與技能所涉及的行為動(dòng)詞水平分為了解、理解和掌握三個(gè)層次，并詳細(xì)說(shuō)明了各個(gè)層次對(duì)應(yīng)的行為動(dòng)詞.很多國(guó)家的課標(biāo)并未對(duì)教學(xué)內(nèi)容的具體要求上做出明確的劃分層次.綜合我國(guó)對(duì)教學(xué)內(nèi)容要求層次的劃分方式，并參考新修訂的布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)[11]，本文提出認(rèn)知要求維度的分類為：A.了解；B.理解；C.掌握；D.靈活運(yùn)用.將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深度由低到高分為四個(gè)認(rèn)知要求層次：了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用，并規(guī)定水平權(quán)重分別為 1、2、3、4.然后，利用下面的公式計(jì)算課程標(biāo)準(zhǔn)的深度.

S=∑4i=1nidin∑4i=1ni=n；i=1，2，3，4

其中，di=l，2，3，4 依次表示為“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活應(yīng)用”這四個(gè)認(rèn)知要求層次；ni表示屬于第di個(gè)深度水平的知識(shí)點(diǎn)數(shù)，ni的總和等于該課程標(biāo)準(zhǔn)所包含的知識(shí)點(diǎn)數(shù)總和n，從而得出課程標(biāo)準(zhǔn)的深度.

3高中課標(biāo)中函數(shù)內(nèi)容比較研究結(jié)果

3.1冪函數(shù)內(nèi)容的廣度、深度比較結(jié)果

3.3對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的廣度、深度比較結(jié)果

中國(guó)、澳大利亞、日本、韓國(guó)和荷蘭在對(duì)數(shù)函數(shù)的廣度統(tǒng)計(jì)中排名靠前.這些國(guó)家課標(biāo)都提及對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)，反函數(shù)的概念.另外，中國(guó)還要求反函數(shù)的定義域、值域、圖象以及對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，而澳大利亞、日本、韓國(guó)、荷蘭對(duì)反函數(shù)的定義域和值域不作要求.法國(guó)、南非處于中間層次.這兩個(gè)課標(biāo)都不涉及對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算、對(duì)數(shù)表、對(duì)數(shù)的應(yīng)用.在反函數(shù)方面，法國(guó)只講解其概念和圖象，南非還講解其定義域、值域.美國(guó)、芬蘭、德國(guó)在對(duì)數(shù)函數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)數(shù)相差不多，但側(cè)重點(diǎn)不一樣.美國(guó)側(cè)重于反函數(shù)內(nèi)容，德國(guó)側(cè)重于對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算，芬蘭側(cè)重于對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).加拿大和英國(guó)排在最后，加拿大只提到了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，而英國(guó)在對(duì)數(shù)函數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)數(shù)為零.

3.4冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容設(shè)置

從整體上來(lái)看，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是高中階段要學(xué)習(xí)的比較重要的基本初等函數(shù)，也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的幾類重要模型，另外，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)有助于加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解和應(yīng)用.有些國(guó)家并未把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)作為連續(xù)內(nèi)容出現(xiàn)在課程標(biāo)準(zhǔn)中，說(shuō)明它們之間并無(wú)必要的邏輯關(guān)系.

對(duì)于冪函數(shù)這部分內(nèi)容，除澳大利亞、芬蘭、荷蘭、英國(guó)、中國(guó)提及“冪函數(shù)”以外，有些國(guó)家并沒(méi)有提到冪函數(shù)，如加拿大、印度、俄羅斯、新加坡、南非、德國(guó).有些國(guó)家則以其他函數(shù)形式代替：法國(guó)以多項(xiàng)式函數(shù)出現(xiàn)；日本沒(méi)有專門的冪函數(shù)概念，則是以分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)形式出現(xiàn)，安排在《數(shù)學(xué)Ⅲ》中，而且三角函數(shù)安排在指對(duì)數(shù)函數(shù)之前；韓國(guó)也沒(méi)有專門的冪函數(shù)概念，則是以分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)形式出現(xiàn)；美國(guó)以根式函數(shù)出現(xiàn).對(duì)于冪函數(shù)的處理，一直存在著爭(zhēng)議，中國(guó)之前刪除了冪函數(shù)的內(nèi)容，現(xiàn)在又把這部分的內(nèi)容加回來(lái)，有利于完善高中涉及的函數(shù)模型，便于學(xué)生在利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)考慮更全面，所以中學(xué)生需要對(duì)冪函數(shù)有初步的認(rèn)識(shí).像美國(guó)以根式函數(shù)、法國(guó)以多項(xiàng)式函數(shù)、日本以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)、韓國(guó)以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)等其他具體函數(shù)形式代替冪函數(shù)內(nèi)容，這樣處理的好處不僅在于具體實(shí)用，便于數(shù)學(xué)模型的建立，而且與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系緊密，這一點(diǎn)值得我們借鑒.

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)部分的概念原理無(wú)論在表述上還是數(shù)量上，各國(guó)都不盡相同.除芬蘭是單獨(dú)講解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)以外，大部分國(guó)家都是先學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)，然后利用反函數(shù)或互逆關(guān)系來(lái)引出對(duì)數(shù)函數(shù)，這樣使得對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)變得容易了.其中，澳大利亞把指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，沒(méi)有利用互為反函數(shù)來(lái)解釋；法國(guó)在指對(duì)數(shù)函數(shù)上求導(dǎo)數(shù)等.還有一些國(guó)家注重和生活情境相聯(lián)系，如德國(guó)、荷蘭.英國(guó)在名稱上有所不同，以“指數(shù)型函數(shù)”名稱出現(xiàn).美國(guó)強(qiáng)調(diào)利用指對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行建模.針對(duì)指對(duì)數(shù)函數(shù)的具體說(shuō)明如下.

4結(jié)束語(yǔ)

我國(guó)從2003年進(jìn)行高中數(shù)學(xué)課程改革，到目前已經(jīng)進(jìn)行了十余年的實(shí)踐，并取得顯著成效，通過(guò)國(guó)際比較研究來(lái)審視我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程改革的特色和不足，從而為接下來(lái)我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)提供參考.雖然中國(guó)在課程的基本理念中提到要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，但落實(shí)在具體的函數(shù)模型應(yīng)用方面，只強(qiáng)調(diào)“體會(huì)”層次.如對(duì)于冪函數(shù)的處理，美國(guó)以根式函數(shù)、法國(guó)以多項(xiàng)式函數(shù)、日本以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)、韓國(guó)以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)等其他具體函數(shù)形式代替冪函數(shù)內(nèi)容，這樣處理的好處不僅在于具體實(shí)用，便于數(shù)學(xué)模型的建立，而且與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系緊密，這一點(diǎn)值得我們借鑒.

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作者簡(jiǎn)介

宋丹丹（1990—），浙江人，碩士，北京市東直門中學(xué)教師；曹一鳴（1964—），江蘇南通人，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師.