感受數(shù)學(xué)美
——以微積分為例

文︳劉清之

感受數(shù)學(xué)美
——以微積分為例

文︳劉清之

數(shù)學(xué)大師華羅庚曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！狈▏?guó)數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為，“數(shù)學(xué)家不單單因?yàn)閿?shù)學(xué)有用而研究數(shù)學(xué)；他研究數(shù)學(xué)還因?yàn)橄矚g，而喜歡的原因則是因?yàn)閿?shù)學(xué)是美麗的！”是的，數(shù)學(xué)是非常有用而又具有獨(dú)特美的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科。筆者以微積分為例，和大家分享數(shù)學(xué)美。

一、簡(jiǎn)單美

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)，“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性”。他認(rèn)為只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡(jiǎn)單的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。在微積分里，函數(shù)的極限為符號(hào)分別表示當(dāng)自變量x趨向于a或趨向于∞時(shí)，函數(shù)（fx）的極限為A；函數(shù)y=（fx）的一階導(dǎo)數(shù)借助y′或表示，其n階導(dǎo)數(shù)可用符號(hào)或符號(hào)表示；函數(shù)（fx）在閉區(qū)間[a,b]上的定積分用表示，等等。這些符號(hào)形態(tài)優(yōu)美，簡(jiǎn)潔明了，為微積分的傳播創(chuàng)造了無(wú)障礙條件。

二、聯(lián)系美

龐加萊說(shuō)：“沒(méi)有數(shù)學(xué)這門(mén)語(yǔ)言，事物間大多數(shù)密切的類(lèi)似關(guān)系將永遠(yuǎn)不會(huì)被我們發(fā)現(xiàn)；我們也無(wú)從發(fā)現(xiàn)世界內(nèi)部的和諧?！痹谖⒎e分里，函數(shù)的不定積分與定積分是兩個(gè)內(nèi)涵完全不同的概念。牛頓和萊布尼茨借助積分上限函數(shù)搭建了兩者之間的一座橋梁，得到了微積分基本定理F（b）-F（a），從此建立了定積分與不定積分的密切聯(lián)系。有了它，各種積分（包括定積分、重積分、曲面積分、曲線(xiàn)積分等）的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求不定積分來(lái)解決。這是微積分學(xué)史上的一次重大發(fā)現(xiàn)，也說(shuō)明了世間的萬(wàn)事萬(wàn)物皆相通的哲理。對(duì)于學(xué)習(xí)者的我們來(lái)說(shuō)，應(yīng)該付出更大努力去推動(dòng)探究事物間聯(lián)系，以使我們一點(diǎn)點(diǎn)地、越來(lái)越好地理解聯(lián)系美。

三、抽象美

正如英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素所說(shuō)：“數(shù)學(xué)，不但擁有真理，而且具有至高的美，是一種冷而嚴(yán)格的美?！痹谖铱磥?lái)，這就是一種抽象美，給人無(wú)限的想象空間。如極限就給我們帶來(lái)了無(wú)限的想象空間，《莊子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！本褪亲詈玫捏w現(xiàn)。另外，數(shù)列的數(shù)學(xué)定義：設(shè){xn}為一數(shù)列，若存在常數(shù)a，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有不等式|xn-a|＜ε，則a為數(shù)列{xn}（當(dāng)n→∞時(shí)）的極限。定義里的ε是任意給定的，但要保證不等式成立，我們就一定要理解這個(gè)ε無(wú)論多么小，不等式也要成立才行。理解這個(gè)定義的過(guò)程，我們能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的抽象美。

四、應(yīng)用美

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家克萊因?qū)?shù)學(xué)美作過(guò)這樣的描述：“音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切。”微積分作為數(shù)學(xué)里的重要基礎(chǔ)理論，在物理和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，取得了輝煌的成就，海王星的發(fā)現(xiàn)就是數(shù)學(xué)理論發(fā)揮無(wú)比威力的例證之一。

總之，數(shù)學(xué)美內(nèi)容豐富，有外在的、內(nèi)在的，還有應(yīng)用的。在今后的學(xué)習(xí)中，我們要對(duì)數(shù)學(xué)美加深認(rèn)識(shí)與思考，發(fā)現(xiàn)美、利用美，讓數(shù)學(xué)這門(mén)工具學(xué)科更好地為人類(lèi)服務(wù)。

（作者單位：湖南師大附中）