向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用研究

王海青

摘 要：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，向量是較為重要的一部分，也是在數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想中應(yīng)用較為廣泛的內(nèi)容，從而在一定程度上成為解決數(shù)學(xué)問題的重要方法。在高中數(shù)學(xué)的理論知識體系中，向量可以和很多知識進(jìn)行結(jié)合，從而形成一個較為完整的體系。將重點放在如何在解決高中數(shù)學(xué)問題時應(yīng)用向量，從而提高高中數(shù)學(xué)解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：向量；高中數(shù)學(xué)；解決問題

在高中數(shù)學(xué)中的運算以及幾何中，會大量應(yīng)用到向量的知識點。向量最大的特點就是可以將抽象與形象的思維進(jìn)行聯(lián)系，從而將抽象的知識變得更加直觀，進(jìn)而提高學(xué)生的理解能力。數(shù)學(xué)作為一門較復(fù)雜的學(xué)科，不僅需要學(xué)生具有一定的理解能力，還需要具備邏輯思維能力，那么向量就成了有效的學(xué)習(xí)工具。運用向量的解決方法，不僅可以使繁瑣的數(shù)學(xué)問題變得簡單，還會讓學(xué)生的解決過程變得更具有操作性。

一、向量的內(nèi)涵和特點

向量最開始來源于物理學(xué)科中，在數(shù)學(xué)中主要在幾何中應(yīng)用。在經(jīng)過較長時間的研究之后，學(xué)者開始將向量與空間進(jìn)行結(jié)合，從而使向量在數(shù)學(xué)學(xué)科中有了更加廣泛的應(yīng)用。如今，向量的種類多種多樣，比如單位向量、自由向量等，向量的運算則多種多樣，因此，我們可以看到，向量在數(shù)學(xué)中的運用十分廣泛。當(dāng)然，向量并不是只有優(yōu)點，也具有一定的缺陷。

首先，向量的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。在高中數(shù)學(xué)的計算問題中，有時條件并不適合運用向量。因此，向量并不是萬能的解決方法，在運用過程中也需要對題目條件進(jìn)行詳細(xì)的分析。其次，向量的運用并不能將數(shù)學(xué)的精華體現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)性很高的學(xué)科，如果在運用向量解題時可以直接得到結(jié)果，那么學(xué)習(xí)的意義便失去了。最后，當(dāng)數(shù)學(xué)題目很難時，向量的運用并不能將問題難度降低，而會將計算量大大提高。所以，在了解向量的過程中，要將向量的優(yōu)勢和缺點進(jìn)行統(tǒng)一分析，從而采用辯證的方式來看待向量的解題方法。

二、向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

1.向量在幾何中的應(yīng)用

向量的大小在一定程度上可以反映出相關(guān)線段的位置關(guān)系，或是點與點之間的長度關(guān)系。向量的分類有很多，根據(jù)其性質(zhì)可以分為平行關(guān)系、共線關(guān)系等。在幾何圖形中，向量的應(yīng)用十分廣泛，可以使幾何問題變得簡單直觀。

例如，在三角形中運用向量時，可以發(fā)現(xiàn)三角形的解題問題更加清楚明了。比如，三角形ABC中，三個頂點的坐標(biāo)分別是A（-3，1），B（2，0），C（0，-2）。線段BC、AC以及AB的中點分別是D、E、F，解FE、DF、DE三條線段的方程。我們可以發(fā)現(xiàn)，如果只是單憑幾何知識是很難解決該問題的，但如果可以將向量運用其中，就會發(fā)現(xiàn)問題簡單不少。首先，我們可以知道點D的坐標(biāo)是（1，-1），點E的坐標(biāo)是（-1.5，-0.5），點F的坐標(biāo)是（-0.5，0.5）。當(dāng)把一條線上的兩個坐標(biāo)都求出來之后，就會發(fā)現(xiàn)問題很簡單了。我們假設(shè)直線DE的方程上有一個點G，設(shè)點G的坐標(biāo)是（x，y），點G是DE上的一點，所以DG和DC是一種平行的關(guān)系，通過平行關(guān)系就會得到該直線的方程表達(dá)式。通過該例題可以發(fā)現(xiàn)，將線段轉(zhuǎn)換為向量，可以將幾何問題變得簡單。當(dāng)然，我們需要注意的是，在運用向量解決問題時，一定要將點和線的關(guān)系了解清楚。

2.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，三角函數(shù)是其重要的難點問題。通過向量的數(shù)量積知識點，可以將三角函數(shù)的問題變得簡單，下面我們通過舉例的方式說明這個問題。

例如，已知三角函數(shù)cosa+cosb-cos（a+b）=2，求解三角函數(shù)中a和b的值。我們根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)公式，可以很容易將原三角函數(shù)進(jìn)行變形，即（1-cosb）cosa+sinasinb=2-cosb。通過仔細(xì)觀察，我們可以看出，這個函數(shù)關(guān)系式和向量的數(shù)量積有著很大的相似度。所以，我們不妨假設(shè)向量A=（1-cosb，sinb），向量B=（cosa，sina）。我們將兩個向量相乘，然后將其絕對式進(jìn)行求解，從而可以求出cosa和cosb的關(guān)系式，進(jìn)而求出問題答案。因此，在三角函數(shù)的問題中運用向量是一個正確的選擇，不僅可以在一定程度上簡化三角函數(shù)的關(guān)系，還可以使得問題變得簡單直觀，從而提高學(xué)生的解題速度。因此，在相關(guān)三角函數(shù)的數(shù)學(xué)問題中，要努力將其應(yīng)用其中，從而簡化問題。

總之，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，向量占據(jù)著十分重要的地位，也有著較強(qiáng)的實用性。這就需要教師可以將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)膽?yīng)用，不管是在幾何圖形中，還是三角函數(shù)中，都可以適當(dāng)?shù)貙⑾蛄繎?yīng)用其中，從而在一定程度上達(dá)到簡化數(shù)學(xué)問題的目的，在實際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，也需要教師將向量的實際問題展開討論分析，在提高學(xué)生解題效率的同時，提高教師的教學(xué)質(zhì)量。

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編輯 溫雪蓮