不同目標(biāo)函數(shù)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究

魏 嘯，丁曉紅

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

不同目標(biāo)函數(shù)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究

魏 嘯，丁曉紅

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

針對復(fù)雜傳熱結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，可使用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過基于密度法和SIMP插值模型的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，得出高導(dǎo)熱材料的合理分布形態(tài)。研究了以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為目標(biāo)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果顯示，高導(dǎo)熱材料集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上，該結(jié)果符合傳熱學(xué)基本理論。

傳熱結(jié)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)；密度法；SIMP插值模型

隨著微電子元件高度集成化的快速發(fā)展，傳統(tǒng)對電子元件進(jìn)行的強(qiáng)制對流換熱方式已無法達(dá)到散熱要求，解決問題的有效途徑是通過對高導(dǎo)熱材料的合理布置，在普通導(dǎo)熱材料表面形成高效散熱通道，達(dá)到對熱量的高效傳導(dǎo)。

高導(dǎo)熱材的合理布置，不僅可提高導(dǎo)熱效率，還可減少導(dǎo)熱材料的使用率，降低成本。傳統(tǒng)散熱通道結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，一般通過傳熱學(xué)基本知識和工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來完成。這種方法難以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜散熱通道結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。針對復(fù)雜散熱通道的設(shè)計(jì)，可使用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到高自由度的散熱通道拓?fù)湫螒B(tài)，再結(jié)合工程實(shí)際要求，對拓?fù)湫螒B(tài)進(jìn)行尺寸優(yōu)化，進(jìn)而得到最佳散熱通道。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，一般以材料的分布為優(yōu)化目標(biāo)，在一定的設(shè)計(jì)域內(nèi)尋求最優(yōu)的分布形態(tài)。目前在工程中具有成熟理論的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有：有密度法[1]、均勻化方法[2-3]及Level set方法[4-5]等。這些方法在傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中均有應(yīng)用。如Sigmund[6]在傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)用密度法，對較為簡單的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題進(jìn)行了研究。Iga[7]以均勻化理論為基礎(chǔ)，建立了總勢能為目標(biāo)函數(shù)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，從而確定了最佳散熱通道。Yamada[8-9]在Level set方法的基礎(chǔ)上，建立了熱擴(kuò)散最大為目標(biāo)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，對導(dǎo)熱結(jié)構(gòu)剛度最大化問題進(jìn)行了研究。

本文依托多物理場分析軟件COMSOL Multiphysics，結(jié)合密度法和SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization Model)插值模型,對以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為目標(biāo)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了對比研究，從而得到較為合理的散熱通道形態(tài)。

1 傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 二維熱傳導(dǎo)問題

本文以二維熱傳導(dǎo)問題為例，對傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行研究。

如圖1所示，Ωd為設(shè)計(jì)域，其內(nèi)有生熱率載荷Q。設(shè)計(jì)域Ωd邊界上存在第一類邊界條件和第二類邊界條件。第一類邊界ΓT，邊界溫度為T0。第二類邊界Γq，熱流密度為q。傳熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題可描述為：設(shè)計(jì)域Ωd為低導(dǎo)熱材料，在區(qū)域Ωd上合理布置高導(dǎo)熱材料，形成散熱通道，從而將該區(qū)域內(nèi)的熱量傳送到邊界。

圖1 二維熱傳導(dǎo)問題

1.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

在基于密度法[1]的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中，引入了偽密度的概念。偽密度并不是實(shí)際存在的物理量，而是假設(shè)的物理量。引入偽密度的目的是為了使數(shù)值求解過程更加方便直接。在各類物理場求解問題中，可將偽密度變量與實(shí)際的某一材料物理參數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而在計(jì)算求解過程中建立偽密度和材料物理參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

通常在結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化中將偽密度變量與彈性模量通過插值的方式進(jìn)行關(guān)聯(lián)，兩者之間的關(guān)系可以是線性的，也可是非線性的，如SIMP插值或RAMP(Rational Approximation of Material Properties)插值。將偽密度與材料物理參數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，而不是直接用材料物理參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的優(yōu)勢就是，在數(shù)學(xué)模型表示方法上更加簡潔直觀，且通用性好，即可在不同的物理場模型中都能得到應(yīng)用。

在傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題中，在偽密度值與材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系。常用的方法是采用SIMP插值模型，即固體各向同性材料懲罰函數(shù)模型。該插值模型是一種對中間變量具有懲罰效果的非線性插值模型。其方法是在導(dǎo)熱系數(shù)的最大值和最小值之間插入一個指數(shù)函數(shù)。為保證插值模型具有較好的懲罰效果，通常偽密度值 限定在0和1之間。偽密度λ與熱傳導(dǎo)系數(shù)λ之間的函數(shù)關(guān)系為

λ=g(x)=(λmax-λmin)xp+λmin

(1)

式中,λmax、λmin分別是在傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化中所用的導(dǎo)熱系數(shù)的最大值和最小值。p是偽密度變量x的懲罰系數(shù)。當(dāng)p=1時，插值模型對偽密度x不具有懲罰效果；當(dāng)p>1時，插值模型對偽密度x具有懲罰效果，并隨著p的增大懲罰效果也隨之增大；當(dāng)p<1時，插值模型對偽密度 具有增強(qiáng)效果，使得0～1內(nèi)的偽密度 對材料熱系數(shù)的影響力相近。

從而可將基于密度法的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型表示為

(2)

其中，x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，f:Rn→R1,x為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，即偽密度變量;f(λ)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);g(x)為插值模型;vi為離散單元i的體積;v0是體積約束上限值。

2 傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)

對于傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，諸多學(xué)者從不同目標(biāo)函數(shù)出發(fā)，進(jìn)行了不同的討論。張暉[10]以溫度最小化為設(shè)計(jì)目標(biāo)，對設(shè)計(jì)域內(nèi)溫度分布的均勻性進(jìn)行了研究。程雪濤[11]以散熱弱度和溫度方差為設(shè)計(jì)目標(biāo)，討論了溫度梯度均勻化和溫度場均勻化問題。工程中傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)要求滿足的條件主要有：最高溫度最小、溫度梯度分布均勻和溫度場分布均勻等。目前，對傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題的研究，多以散熱弱度為設(shè)計(jì)目標(biāo)[12]。這無法滿足工程中對不同工況設(shè)計(jì)的要求。本文以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標(biāo)，對不同工況下的傳熱結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對比其傳熱性能。

(1)算術(shù)平均溫度最小化

(3)

(2)單位面積內(nèi)能最小化

(4)

其中,x為偽密度設(shè)計(jì)變量;fei(x)是設(shè)計(jì)域Ωd內(nèi)的質(zhì)量內(nèi)能;|Ωd|是設(shè)計(jì)域Ωd的面積;Eei(x)是質(zhì)量內(nèi)能場函數(shù)。

(3)平均溫度梯度最小化

(5)

3 不同目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算例

建立如圖3所示3種傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型。設(shè)計(jì)域Ωd均100 mm×100 mm的正方形。設(shè)計(jì)域中心存在生熱率為Q=3×107W/m3的中心熱源。模型邊界條件均為第一類邊界條件，圖2(a)和圖2(b)分別為一邊和四角散熱邊界模型，邊界溫度均為T0=0 ℃。低導(dǎo)熱材料導(dǎo)熱系數(shù)為λmin=1 W/(m·K)。

圖2 傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于密度法的COMSOL傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化其他設(shè)計(jì)參數(shù)[13]如表1所示。

分別以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標(biāo)，對以上2種工況進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

表1 傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)

3.1 一邊散熱邊界優(yōu)化結(jié)果

如圖3～圖5所示，拓?fù)湫螒B(tài)一～形態(tài)三分別是以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化以及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標(biāo)，拓?fù)鋬?yōu)化產(chǎn)生的高導(dǎo)熱材料分布形態(tài)。圖4形態(tài)一可看出，在熱源和散熱邊界之間產(chǎn)生了高導(dǎo)熱材料主枝，主枝兩側(cè)對稱分布了若干細(xì)小枝，高導(dǎo)熱材料的分布較為分散，充滿了設(shè)計(jì)域的左半部。圖5形態(tài)二，除了在熱源和散熱邊界之間產(chǎn)生了高導(dǎo)熱材料主枝外，主枝兩側(cè)對稱分布了兩個分枝。高導(dǎo)熱材料的分布較為集中。圖6形態(tài)三只產(chǎn)生了熱源和散熱邊界之間較粗的一條主枝，高導(dǎo)熱材料分布集中，這在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中較為合理。從以上3種形態(tài)可看出，高導(dǎo)熱材料主要集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上[14-15]。

圖3 算術(shù)平均溫度最小

圖4 單位面積內(nèi)能最小

圖5 平均溫度梯度最小

圖4～圖6所示，溫度場一～溫度三分別是以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化以及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標(biāo)，拓?fù)鋬?yōu)化分析生產(chǎn)的溫度場分布，可看出優(yōu)化后溫度場一～溫度三最高溫度分別為15.7 ℃、14.8 ℃、8.87 ℃，最高溫度均出現(xiàn)在熱源處。溫度場一和溫度場二的溫度分布落差較大，溫度場三溫度分布較為平緩。

從以上拓?fù)湫螒B(tài)和溫度場分布分析可得出，以平均溫度梯度最小為優(yōu)化目標(biāo)產(chǎn)生的高導(dǎo)熱材料分布形態(tài)要比其他兩種優(yōu)化目標(biāo)產(chǎn)生的優(yōu)化結(jié)果更加合理。

3.2 四角散熱邊界優(yōu)化結(jié)果

圖6～圖8所示為四角散熱邊界工況下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。從形態(tài)一～形態(tài)三可看出，該工況下，不同目標(biāo)優(yōu)化產(chǎn)生的高導(dǎo)熱材料分布形態(tài)都為明顯的“X”形。但以算術(shù)平均溫度最小化和單位面積內(nèi)能最小化為優(yōu)化目標(biāo)產(chǎn)生的形態(tài)，在設(shè)計(jì)域四邊生產(chǎn)了細(xì)小分枝，而以平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標(biāo)產(chǎn)生的形態(tài)，在設(shè)計(jì)域四邊無細(xì)小分枝，而且主枝形態(tài)比前兩個形態(tài)，更加清晰平滑。

圖6 算術(shù)平均溫度最小

圖7 單位面積內(nèi)能最小

圖8 平均溫度梯度最小

優(yōu)化后溫度場一～溫度三最高溫度分別為23.3 ℃、25 ℃、12.4 ℃，最高溫度均出現(xiàn)在熱源處。溫度場一和溫度場二的溫度分布落差較大，溫度場三溫度分布較為平緩。

在四角散熱邊界工況下，三類目標(biāo)函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化產(chǎn)生的高導(dǎo)熱材料形態(tài)基本都為“X”形，但以平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標(biāo)產(chǎn)生的形態(tài)更加清晰，無細(xì)小分枝產(chǎn)生，且溫度場最高溫度最低，該目標(biāo)下，高導(dǎo)熱材料分布更加合理。

4 算例結(jié)果對比

對以上不同工況下，采用不同目標(biāo)函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行對比，如表2所示。

(1)通過對比可看出，以平均溫度梯度最小為目標(biāo)函數(shù)，拓?fù)鋬?yōu)化產(chǎn)生的結(jié)果，在高導(dǎo)熱材料形態(tài)分布和溫度場分布兩方面都要比其他兩種目標(biāo)函數(shù)下產(chǎn)生的結(jié)果好;

(2)不同目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化產(chǎn)生的結(jié)果顯示，一邊散熱工況下，溫度場最高溫度要比四角散熱工況下最高溫度底;

(3)四角散熱邊界工況，拓?fù)鋬?yōu)化后，溫度場最高溫度比其它工況的高。這是因?yàn)樯徇吔缗c熱源之間的路徑比其他工況長的緣故;

(4)從兩種工況拓?fù)鋬?yōu)化產(chǎn)生的高導(dǎo)熱材料分布形態(tài)可知，高導(dǎo)熱材料主要集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上。

表2 算例結(jié)果對比

5 結(jié)束語

通過基于密度法和SIMP插值模型的COMSOL傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，得出高導(dǎo)熱材料的合理分布形態(tài)。研究了以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為目標(biāo)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。研究結(jié)果顯示，相比其他兩種優(yōu)化目標(biāo)產(chǎn)生的結(jié)果，以平均溫度梯度最小化為目標(biāo)，優(yōu)化后的高導(dǎo)熱材料分布形態(tài)更加清晰、無細(xì)小枝出現(xiàn)，符合實(shí)際工程要求。而且溫度場最高溫度也低于其他兩種目標(biāo)下的最高溫度。其次，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果還顯示，高導(dǎo)熱材料集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上，該結(jié)果符合傳熱學(xué)基本理論。

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Topology Optimization of Transfer Structure for Different Objective Functions

WEI Xiao，DING Xiaohong

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

The heat transfer structure is generally designed with basic knowledge of heat transfer theory and engineering practice and experience. Method of topology optimization design can be used in design of complex heat transfer structure. Reasonable arrangement form of high thermal conductivity material is found by heat transfer structure topology optimization design based on density method and SIMP interpolation model. Topology optimization problems of heat transfer structure are studied and the problems are usually for minimizing arithmetic mean temperature, internal energy of per unit area and average temperature gradient. Topology optimization results show that the high thermal conductivity material is distributed on the shortest path between the heat source and the thermal boundary, which accords with the basic theory of heat transfer.

heat transfer structure; topology optimization design; density method; SIMP interpolation model

2016- 04- 11

魏嘯(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)。丁曉紅(1965-)，女，博士，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：機(jī)械系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.02.041

TN304

A

1007-7820(2017)02-156-05