有痕設(shè)計(jì) 無痕育人

【編者按】2016年11月，江蘇省第28屆“教海探航”征文頒獎(jiǎng)儀式暨全國(guó)名師課堂教學(xué)觀摩研討活動(dòng)在江蘇省南通市通州區(qū)舉行。此次活動(dòng)中，省內(nèi)外多位名師的展示課和講座受到與會(huì)教師的好評(píng)。為進(jìn)一步發(fā)揮名師的引領(lǐng)作用，我們約請(qǐng)了本次活動(dòng)中授課教師撰寫了相關(guān)文章，在“特別策劃”欄目中分四期連載刊發(fā)，本期呈現(xiàn)的是數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容。

【摘 要】數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心價(jià)值主要體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的理性精神以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法。從某種意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)科育人的過程鑲嵌于“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程之中。對(duì)學(xué)生而言，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)養(yǎng)成的基于理性思考、嚴(yán)謹(jǐn)求證的問題解決習(xí)慣將會(huì)讓他們受益終生。本文主要以運(yùn)用圓的基本性質(zhì)探究畫垂線的新方法為例，介紹了開展數(shù)學(xué)學(xué)科育人的部分做法。

【關(guān)鍵詞】圓的基本性質(zhì)；數(shù)學(xué)問題解決；數(shù)學(xué)學(xué)科育人

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）11-0025-04

【作者簡(jiǎn)介】孫琪斌，上海市嘉定區(qū)教研室（上海嘉定，201808）教研員，高級(jí)教師，山東省特級(jí)教師，上海市特級(jí)教師。

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”[1]，也是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的基本載體?；谶@樣的思考，我們認(rèn)為：（1）數(shù)學(xué)學(xué)科育人必須立足數(shù)學(xué)教材、立足數(shù)學(xué)問題、立足數(shù)學(xué)課堂、立足典型課例、立足對(duì)話交流；（2）數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心價(jià)值主要體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的理性精神、數(shù)學(xué)的思想方法以及從數(shù)學(xué)的角度解決問題的思維方式；（3）數(shù)學(xué)學(xué)科育人的過程鑲嵌于“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程之中。

下面以運(yùn)用圓的基本性質(zhì)探究“經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線”的方法為例，談?wù)勎覀冊(cè)陂_展數(shù)學(xué)學(xué)科育人方面的部分思考。

一、歸納提煉，提高抽象能力

本節(jié)課我們探討的是利用圓的性質(zhì)“經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線”。因此，首先要解決的就是對(duì)“圓的性質(zhì)”的知識(shí)的回顧。在課前的學(xué)情調(diào)研中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠比較容易地說出平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)；也能夠輕松地說出垂徑定理等教學(xué)內(nèi)容，但是當(dāng)我們問到“圓有哪些性質(zhì)？”的時(shí)候，許多學(xué)生都是一臉茫然。為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)課堂活動(dòng)：用一句話歸納概述圓的性質(zhì)。先由學(xué)生自主思考，然后小組合作向全班展示。

教師在學(xué)生活動(dòng)的基礎(chǔ)上做出分析和歸納。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（Klein）在“愛爾蘭根計(jì)劃書”中提出：每一種幾何學(xué)都聯(lián)系一種變換群，每種幾何學(xué)所研究的內(nèi)容就是在這些變換群下的不變性質(zhì)。從這個(gè)意義上說，圓的有關(guān)性質(zhì)，其實(shí)就是關(guān)于圓的對(duì)稱性的性質(zhì)。事實(shí)上，垂徑定理刻畫的是圓的軸對(duì)稱性；同圓或等圓中的四組量（兩條弧、兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弦的弦心距）之間的關(guān)系，所刻畫的是圓的旋轉(zhuǎn)不變性。由此，我們可以將圓的基本性質(zhì)抽象、提煉為一句話：圓的基本性質(zhì)，就是與圓的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（含中心對(duì)稱）有關(guān)的性質(zhì)。具體內(nèi)容如圖1所示。

（設(shè)計(jì)說明：從回顧整理圓的有關(guān)性質(zhì)，到用一句話、一張圖進(jìn)行歸納概述，數(shù)學(xué)的抽象已經(jīng)蘊(yùn)含其中。事實(shí)上，抽象概括能力、邏輯推理能力、基于數(shù)據(jù)的分析挖掘的實(shí)證能力，在人的一生的各個(gè)發(fā)展階段，都發(fā)揮著重要的作用。本課，我們結(jié)合圓的基本性質(zhì)的梳理回顧、提煉歸納，旨在運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的基本思想歷練學(xué)生的抽象概括以及交流表達(dá)能力。）

二、發(fā)現(xiàn)探究，提高解決問題的能力

1.溫故知新，在回顧線段垂直平分線的畫法的過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

教師可以提出如下問題串：

（1）學(xué)了圓的這些性質(zhì)，有用嗎？（調(diào)研過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)圓的這些性質(zhì)沒有用。）

（2）如圖2，還記得畫線段AB的垂直平分線的方法嗎？（尺規(guī)作圖）

在畫圖過程中有這么一句話：“分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧”，其中的半徑為什么要“大于AB”？你能運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？你能說出作圖方法背后的原理嗎？（操作幾何畫板，呈現(xiàn)兩圓相交、外切、相離的情景）

（3）在畫線段AB的垂直平分線的過程中，我們以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧。假如我們以線段AB的長(zhǎng)為半徑畫圓（如圖3），會(huì)出現(xiàn)什么圖形呢？你可以運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)解釋作圖方法背后的原理嗎？

（4）在畫線段AB的垂直平分線時(shí)，我們以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心畫弧所使用的半徑是相等的。如果使用的半徑不相等，那么直線MN與AB之間又有怎樣的關(guān)系呢？（如圖4）你能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

（5）如圖5，已知直線l與直線l外的一點(diǎn)A，依據(jù)圓的基本性質(zhì)，過點(diǎn)A作直線l的垂線，你們還可以設(shè)計(jì)出新的畫圖方法嗎？（以小組為單位設(shè)計(jì)）

（設(shè)計(jì)說明：在上述問題串中，問題（5）才是我們最終想要探討的問題，但前面的問題就像是一個(gè)個(gè)臺(tái)階，幫助學(xué)生從熟悉的舊知識(shí)中發(fā)現(xiàn)問題，并指向用圓的性質(zhì)來做出解釋。這種溫故而知新的設(shè)計(jì)極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性。）

2.且學(xué)且用，運(yùn)用圓的性質(zhì)探究畫垂線的新方法。

結(jié)合上面的問題（5）開展教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào)。具體方法如下。

方法1：如圖6，在直線l上任取一點(diǎn)B，連接AB。以AB為直徑作☉O，交直線l于點(diǎn)H。則直線AH即為所求。（依據(jù)：直徑所對(duì)的圓周角是直角。）

方法2：如圖7，①在直線上任取一點(diǎn)B，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫☉B(tài)，交直線于點(diǎn)C；②以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫☉C，將☉B(tài)與☉C的另外一個(gè)交點(diǎn)記為D，則直線AD即為所求。（依據(jù)：平分弧的直徑垂直平分弦。）

方法3：如圖8，在直線l上任取兩點(diǎn)B、C（B、C兩點(diǎn)不重合），以點(diǎn)A為圓心，以AB半徑畫圓交直線l于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，以AC半徑畫圓交直線l于點(diǎn)E。AE、AC分別交以AB半徑的圓A于F、G，連接EF、CG，EF與CG相交于點(diǎn)P，直線AP即為所求。（依據(jù)：可證點(diǎn)A、P均在線段EC的垂直平分線上。）

方法4：如圖9，任取一點(diǎn)B，使點(diǎn)B與點(diǎn)A位于直線l的兩側(cè)，以A為圓心、AB為半徑畫圓，交直線l于點(diǎn)C、D；作圓心角∠CAD的平分線AE，則直線AE即為所求。（依據(jù)：可證△ACH≌△ADH。）

方法5：如圖10，以點(diǎn)A為圓心畫圓，☉A與直線交于點(diǎn)C、D，取CD的中點(diǎn)E（本質(zhì)是作線段CD的垂直平分線），則直線AE即為所求。[依據(jù)：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對(duì)的弧。]

南通市通州區(qū)育才中學(xué)九年級(jí)七班的學(xué)生先后發(fā)現(xiàn)了上面的幾種方法。除了教材中的畫法外，在筆者多次的教學(xué)中，還有其他班的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如下畫法。

方法6：如圖11，在直線l上任取一點(diǎn)B，以B為圓心，BA為半徑畫圓B，交直線l與C、D，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，易得∠CAD=90°；以A為頂點(diǎn)，以AD為一邊作∠DAE=∠DCA，交線段CD于H，則直線AE即為所求。

方法7：2013年11月，在杭州市建蘭中學(xué)的課堂上，九年級(jí)學(xué)生何佳祺在下課前給出的畫法見圖12。（其中，借助了幾何畫板的直觀演示與師生互動(dòng)，該課教學(xué)視頻已經(jīng)被浙江出版聯(lián)合集團(tuán)、浙江電子音像出版社出版。）

取異于點(diǎn)A的點(diǎn)B，以AB為直徑作圓c1，交直線l于點(diǎn)D，AB與l的交點(diǎn)記為E。以A為圓心，DB為半徑作圓c2，交射線AD于點(diǎn)F。以A為圓心，DE為半徑作圓c3。以F為圓心，EB為半徑作圓c4，圓c4交圓c3于點(diǎn)G，則直線AG即為所求。

三、在有痕設(shè)計(jì)中無痕育人

2016年11月，在南通市通州區(qū)育才中學(xué)九年級(jí)七班上課時(shí)的教學(xué)小結(jié)環(huán)節(jié)，我再次帶著學(xué)生回到教學(xué)目標(biāo)，回到圓的基本性質(zhì)，再次詢問學(xué)生：同學(xué)們?cè)賮硐胍幌?，學(xué)習(xí)圓的這些性質(zhì)，有用嗎？

許多學(xué)生不約而同地回答：有用。

事實(shí)上，學(xué)生走上社會(huì)之后將會(huì)遇到許許多多的問題。這些在學(xué)校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)養(yǎng)成的基于理性思考、嚴(yán)謹(jǐn)求證的問題解決習(xí)慣將會(huì)伴隨他們一生。本節(jié)課，我們并沒有帶領(lǐng)學(xué)生做大量的習(xí)題，而是引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的基本性質(zhì)，回顧熟悉的基本作圖（基本作圖的背后都用到了圓的性質(zhì)），在回顧線段垂直平分線、角平分線的畫圖過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。在解決問題的過程中，學(xué)生身處其中所經(jīng)歷的困惑、領(lǐng)悟，則是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的關(guān)鍵。

當(dāng)學(xué)生帶著激動(dòng)的心情匯報(bào)展示其剛剛發(fā)現(xiàn)的研究成果時(shí)，當(dāng)他們?cè)诮處熞约皩W(xué)習(xí)同伴的眼里看到自己的成就時(shí)，那么對(duì)數(shù)學(xué)的興趣將在頃刻之間油然而生。喜歡數(shù)學(xué)課、愛做數(shù)學(xué)題、對(duì)數(shù)學(xué)感興趣、在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中理解數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)若能夠如此，那么學(xué)科育人已在其中。

關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科育人，需要注意兩個(gè)問題：其一，學(xué)科育人不能形式化，貼標(biāo)簽式的學(xué)科育人，效果甚微；其二，學(xué)科育人不能泛化，不能一提到學(xué)科育人，就是教學(xué)設(shè)計(jì)的每個(gè)細(xì)節(jié)，課堂上的分分秒秒都是學(xué)科育人。數(shù)學(xué)學(xué)科育人，最關(guān)鍵的就是育人無痕，潤(rùn)物無聲。

我們來做一個(gè)選擇題，以判斷自己是否已經(jīng)具備了無痕育人的潛質(zhì)：閱讀下面的三個(gè)語句，并從中選擇一個(gè)語句用在教案上。

（A）語句1；（B）語句2；（C）語句3；（D）玩文字游戲，沒有多少意思。

語句1：梳理圓的有關(guān)性質(zhì)，在溫故知新的過程中滲透問題意識(shí)；在用一句話、一張圖概述圓的有關(guān)性質(zhì)的過程中，滲透數(shù)學(xué)抽象；在經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線的過程中滲透轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法。

語句2：梳理圓的有關(guān)性質(zhì)，在溫故知新的過程中體會(huì)問題解決；在用一句話、一張圖概述圓的有關(guān)性質(zhì)的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象；在經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法。

語句3：從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的視角梳理圓的有關(guān)性質(zhì)，溫故知新；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思想方法嘗試使用一句話、一張圖概述圓的有關(guān)性質(zhì)。運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法研究過一點(diǎn)畫已知直線的垂線的方法。

假如您選擇了A或D，那么對(duì)于您而言，離數(shù)學(xué)學(xué)科的無痕育人可能還有距離。

為什么這樣說呢？我們且從其中的行為動(dòng)詞“滲透”談起?！冬F(xiàn)代漢語詞典》中對(duì)“滲透”一詞的解釋是：比喻一種事物或勢(shì)力逐漸進(jìn)入到其他方面（多用于抽象事物）。但是，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)本身固有的，而且是數(shù)學(xué)課程的核心。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科本身固有的思想方法，我們還需要“滲透”嗎？數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)如同血液浸潤(rùn)于數(shù)學(xué)的任何地方。事實(shí)上，描述數(shù)學(xué)思想方法的行為動(dòng)詞有很多，如“體會(huì)”“感受”“領(lǐng)悟”“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”等等。

若僅僅只是使用類似“滲透”這個(gè)行為動(dòng)詞表述與數(shù)學(xué)思想方法相關(guān)的目標(biāo)，問題也不是很大，但是當(dāng)我們習(xí)慣于運(yùn)用“貼標(biāo)簽”的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，習(xí)慣于開展“口號(hào)式”的數(shù)學(xué)學(xué)科育人，那么真正的問題就出現(xiàn)了。

其實(shí)，我們期望的選項(xiàng)是C。為什么這樣說呢？當(dāng)數(shù)學(xué)思想方法真正融入數(shù)學(xué)教師的靈魂深處的時(shí)候，當(dāng)數(shù)學(xué)思想方法能夠自然而然地呈現(xiàn)于數(shù)學(xué)教師的言談舉止之中的時(shí)候，當(dāng)我們能夠自覺、主動(dòng)地從數(shù)學(xué)抽象的視角設(shè)計(jì)“用一句話、一張圖概述圓的有關(guān)性質(zhì)”教學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，當(dāng)我們自覺運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法將經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線與畫線段的垂直平分線以及畫角的平分線等內(nèi)容聯(lián)系在一起的時(shí)候，當(dāng)我們能夠主動(dòng)運(yùn)用發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的理念設(shè)計(jì)“圓的復(fù)習(xí)”教學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)可能就走進(jìn)了知行合一的境界，我們的學(xué)科育人可能就走進(jìn)了無痕育人、潤(rùn)物無聲的境界。有些數(shù)學(xué)教師之所以喜歡在教學(xué)小結(jié)的時(shí)候，用“貼標(biāo)簽”的方式告訴學(xué)生“這節(jié)課我們還使用了類比的思想方法”，主要還是因?yàn)槠錆撘庾R(shí)內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法游離于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之外的緣故。

讀到這里，有些教師也許會(huì)說，無痕育人，真的無痕嗎？我們?cè)趥湔n時(shí)所設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)，如本課從畫線段的垂直平分線引出經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線的活動(dòng)，這屬于有痕設(shè)計(jì)還是無痕設(shè)計(jì)呢？學(xué)生又怎么可能想到從畫線段的垂直平分線的過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題呢？

我認(rèn)為，開展數(shù)學(xué)學(xué)科育人，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)的確是有痕的；我們選擇資源、使用資源的角度與方法，也是有痕的；我們?cè)谡n堂上進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)也是有痕的；但是我們期望的教學(xué)效果是無痕的。我們期望的境界是學(xué)生在經(jīng)歷用一句話、一張圖概述圓的有關(guān)性質(zhì)的教學(xué)活動(dòng)的過程中，數(shù)學(xué)的抽象可以浸潤(rùn)到他們的靈魂深處；我們期望能夠引導(dǎo)學(xué)生在參與“分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧”的數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，能夠從兩圓相交、外切、相離等位置關(guān)系的角度體會(huì)“大于AB”這個(gè)規(guī)定的道理。我們期望能夠借助從畫線段垂直平分線的過程中兩次畫弧所使用的半徑相同的問題引出“假如兩次畫弧所使用的半徑不相等呢？所畫出的直線還是線段的垂直平分線嗎？”等問題，自然而然地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程。當(dāng)他們走入社會(huì)后，在生活中、在學(xué)術(shù)上遇到了問題，我們期望，我們這些數(shù)學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)歷，以及內(nèi)化于心的數(shù)學(xué)問題解決意識(shí)，能夠幫助他們解決生活上的問題、學(xué)術(shù)上的問題。

有痕設(shè)計(jì)、無痕育人，我們所期待的數(shù)學(xué)學(xué)科育人，大致如此。

注：本節(jié)課的原始素材（利用圓的性質(zhì)畫已知直線的垂線的問題）最初由安徽省馬鞍山市成功學(xué)校數(shù)學(xué)組的高道才、范宏業(yè)老師提供（2013.09）。本節(jié)課先后在杭州市建蘭中學(xué)（2013.11）、上海市民辦華二初級(jí)中學(xué)（2013.12）、南通市通州育才中學(xué)（2016.11）、北京市第十八中學(xué)（2016.12）等學(xué)校與九年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行過交流。對(duì)于上述學(xué)校的師生，一并致謝。

【參考文獻(xiàn)】

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