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    高校本科生有限元方法課程的教改探討

    2017-03-06 21:14郭利明周新建張慶敏
    教育教學(xué)論壇 2017年5期
    關(guān)鍵詞:有限元方法本科生教學(xué)改革

    郭利明 周新建 張慶敏

    摘要:目前,有限元方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各類科學(xué)和工程計(jì)算。本文探討了開設(shè)有限元方法課程的必要性,探索了該課程內(nèi)容安排,提出了多媒體為輔助的教學(xué)模式,建立了合理的評價(jià)體系。

    關(guān)鍵詞:有限元方法;教學(xué)改革;本科生

    中圖分類號(hào):G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2017)05-0118-02

    引言

    自然科學(xué)和工程技術(shù)中的各種基本規(guī)律通常是以微分方程的形式給出,一般情況下,要得到這些方程的解析解是不可能的,因此數(shù)值求解微分方程是非常必要的。有限元方法[1,2]是數(shù)值求解偏微分方程的一種有效的方法。有限元方法的雛形可以追溯到1943年,Courant首次提出了三角形上的分片線性函數(shù)逼近的思想。20世紀(jì)50年代初,工程師們提出了有限元方法,并利用該方法來求解簡單的結(jié)構(gòu)問題。20世紀(jì)60年代,以馮康先生[3]為代表的中國學(xué)者和西方學(xué)者獨(dú)立并行地建立和完善了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。自此之后,有限元方法成為應(yīng)用數(shù)學(xué)、工程力學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)等不可或缺的工具。

    有限元方法不同于求解偏微分方程的差分方法,其主要有下述三大特點(diǎn):[4](1)從數(shù)學(xué)物理問題的變分原理出發(fā),而不是從方程出發(fā);(2)若考慮的數(shù)學(xué)物理問題區(qū)域是二維的,需要作三角形剖分,而不是僅僅作矩形剖分;(3)用剖分區(qū)域上基函數(shù)來逼近原問題的解,而不是單純地采用剖分節(jié)點(diǎn)的數(shù)值來逼近。有限元方法的這些特點(diǎn),決定了學(xué)習(xí)有限元方法需要較多的基礎(chǔ)知識(shí),例如變分方法,泛函分析,索伯列夫空間的理論,[5]橢圓邊值問題的現(xiàn)代理論等等。本科生對于有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度有限,因此在教學(xué)過程中,要結(jié)合本科學(xué)生的特點(diǎn),更強(qiáng)調(diào)有限元方法的應(yīng)用層面,在基本了解有限元方法原理的基礎(chǔ)上,重視采用有限元方法來解決簡單的數(shù)學(xué)物理問題。

    一、開設(shè)有限元課程的必要性

    目前,有限元課程的理論和實(shí)踐的學(xué)習(xí),主要應(yīng)用于研究生教育。本科生開設(shè)有限元課程的相對較少,以工科學(xué)生對應(yīng)用技術(shù)和軟件操作的學(xué)習(xí)為主。但是,如果學(xué)生僅僅是對照工具書來操作軟件的話,往往會(huì)因?yàn)椴焕斫饫碚摱鴰砀鞣N各樣的錯(cuò)誤。因此,筆者認(rèn)為對本科生開設(shè)有限元課程學(xué)習(xí)相關(guān)的理論和應(yīng)用,是非常必要的。特別是對于希望進(jìn)一步學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,了解部分有限元課程的知識(shí),對他們進(jìn)入研究生乃至博士生階段的學(xué)習(xí)都是很有幫助的。對于工科生來說,了解有限元知識(shí),加深對軟件操作的認(rèn)識(shí),會(huì)使其在廣大應(yīng)聘者中脫穎而出,得到用人單位的青睞。

    二、教學(xué)內(nèi)容的安排

    由于本科生對于有限元基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度有限,因此任課教師在講授有限元課程的時(shí)候,要幫助他們了解一些簡單的基礎(chǔ)知識(shí),在此基礎(chǔ)上加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)的培訓(xùn)。

    (一)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)

    首先要復(fù)習(xí)泛函分析的內(nèi)容,泛函分析課程對于本科生來說是難度比較大的課程,通過簡單的復(fù)習(xí),讓他們對這些基本知識(shí)有較為熟悉的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上,講解索伯列夫空間相關(guān)知識(shí),對于本科生來說,只要求了解基本定理,不要求掌握定理的證明。

    其次變分原理是本科生第一次接觸到的東西,且其在有限元方法的學(xué)習(xí)中占著很重要的位置,是需要重點(diǎn)講解的東西。對于變分原理的教學(xué)目標(biāo),要求本科生對于簡單的數(shù)學(xué)物理問題:如泊松方程,四階橢圓方程等,寫出相應(yīng)的變分形式。

    最后,以簡單的二維泊松方程和三角形單元為例,講解有限元方法的離散。學(xué)習(xí)有限元方法的離散,首先要了解三角形單元上的基函數(shù);其次,學(xué)習(xí)從單元上剛度矩陣到總體剛度矩陣的過渡,從而得到最后的線性方程組,求出該泊松問題的數(shù)值解。

    (二)教學(xué)實(shí)踐

    大學(xué)生實(shí)踐能力薄弱是目前普遍存在的問題。特別是一般的普通高校的學(xué)生,因?yàn)閷W(xué)校的硬件設(shè)施跟不上等問題,往往忽視了實(shí)踐環(huán)節(jié)。在高校中,經(jīng)常會(huì)碰到一些學(xué)生,雖然理論知識(shí)很扎實(shí),但是動(dòng)手實(shí)踐能力比較差。而教師如果單純地講授理論知識(shí)的話,會(huì)讓學(xué)生似懂非懂,對該課程的學(xué)習(xí)缺乏熱情,久而久之,產(chǎn)生厭學(xué)的情緒。

    上機(jī)實(shí)踐是學(xué)習(xí)有限元方法的必要環(huán)節(jié),通過上機(jī)實(shí)踐,學(xué)生可以加深對于理論的理解。對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說,其對MATLAB軟件有較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。建議對于該專業(yè)的學(xué)生,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)MATLAB軟件中自帶的利用有限元方法求解偏微分方程的軟件包:pdetool。但是pdetool有自身的局限性,有時(shí)候需要自己編寫MATLAB程序來用有限元方法來求解。根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn),讓本科生自己編寫有限元程序存在一定的難度。筆者的做法是:自己寫一段簡單的有限元程序,讓學(xué)生來讀程序,在一步步讀程序的過程中,學(xué)生會(huì)對有限元方法有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

    三、教學(xué)模式

    1.教學(xué)時(shí)間和教材建設(shè)。有限元方法課程可放在泛函分析、數(shù)學(xué)物理方程之后。有限元方法課程現(xiàn)有的教材,對于本科生來說比較難,因此在教學(xué)的過程中,需要教師廣泛搜集各種素材,根據(jù)自己的教學(xué)目標(biāo),相應(yīng)地刪除或者增加部分內(nèi)容,對教材進(jìn)行建設(shè),使之更適合本科生。

    2.教學(xué)方式。20世紀(jì)50年代,美國心理學(xué)家卡爾·羅杰斯提出了“以學(xué)生為中心”[6]的教育理念,對現(xiàn)代教學(xué)改革的實(shí)踐具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,無論在任何教學(xué)活動(dòng)中,都要把學(xué)生放在中心位置。教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生個(gè)體之間的差異和不同的需求,做到因材施教。有限元方法的課程學(xué)習(xí)的重要目的在于應(yīng)用,因此該課程適合采用多媒體來輔助教學(xué),多媒體教學(xué)方式不僅能把大量的信息更加直觀形象地展示給學(xué)生,吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,還可以提高教學(xué)成果。

    教學(xué)活動(dòng)是雙方面的活動(dòng),取決于教師主導(dǎo)性和學(xué)生的主動(dòng)性。因此在發(fā)揮教師主導(dǎo)性的同時(shí),要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性。興趣是最好的老師,如果學(xué)生對學(xué)習(xí)有著濃厚的興趣的話,往往是事半功倍。學(xué)習(xí)興趣的缺失是當(dāng)下教育,特別是大學(xué)教育最大的問題。作為大學(xué)教師,我們要盡可能地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,讓學(xué)生熱愛思考研究。具體到有限元方法課程的教學(xué),可以讓學(xué)生了解本門課程的發(fā)展歷史,問題背景等。從歷史背景的學(xué)習(xí)中,增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心和自豪感。讓學(xué)生把這門課程和其他相關(guān)的課程聯(lián)系起來,比如說有限元課程的學(xué)習(xí)會(huì)牽涉到泛函分析和數(shù)學(xué)物理方程。以前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程重視的是解析解,但是對于那些解析解不容易找到的方程,可以告訴學(xué)生采用有限元方法來數(shù)值求解。

    在講授了部分章節(jié)之后,可以引導(dǎo)學(xué)生以討論班的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。對學(xué)生進(jìn)行分組,每一小組負(fù)責(zé)一部分的內(nèi)容。上課的時(shí)候讓學(xué)生講,任課教師在下面聽,通過學(xué)生的講解,教師可以知道學(xué)生對于知識(shí)的掌握程度和薄弱環(huán)節(jié),做到有的放矢的教學(xué)。在學(xué)生的講解過程中也鍛煉了學(xué)生授課的能力。

    四、評價(jià)體系的改革

    傳統(tǒng)的評價(jià)學(xué)生的方式是靜態(tài)的,采用統(tǒng)一的試卷來決定一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。但是有限元方法屬于理論和實(shí)際相結(jié)合的學(xué)科,其內(nèi)容涉及面較廣。因此如果有限元方法的考核單純采用筆試,閉卷考試的方式很難全面地評估一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。為了更加全面地評價(jià)學(xué)生,筆者在授課過程中沿用綜合評價(jià)的方式,具體為:(1)平時(shí)作業(yè),課堂表現(xiàn)占20%;(2)期中考試占20%;(3)上機(jī)實(shí)驗(yàn)占20%;(4)期末考試成績占40%。目前,部分高校沒有開展全校性的期中考試,筆者特意加上期中考試是為了了解學(xué)生的情況,讓任課教師知道學(xué)生的長處和不足之處,從而來制定和改進(jìn)已有的教學(xué)過程。對于上機(jī)實(shí)驗(yàn)部分,可以給學(xué)生一些簡單有限元程序讓其在課下認(rèn)真的學(xué)習(xí)。上機(jī)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候,調(diào)換成其他的數(shù)學(xué)物理方程,讓學(xué)生寫出相應(yīng)的MATLAB程序,計(jì)算出該方程的數(shù)值解。

    五、結(jié)束語

    本文對本科生有限元方法課程的學(xué)習(xí),分析了其必要性,對于教學(xué)內(nèi)容做了部分調(diào)整,使其適合本科生現(xiàn)有的知識(shí)水平,采用多媒體教學(xué)方式,重視理論和實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)方式,針對有限元方程的課程目標(biāo),制定了合理的評價(jià)體系。通過實(shí)際教學(xué)實(shí)驗(yàn),筆者證明本文提出的教學(xué)改革是有效的。

    參考文獻(xiàn):

    [1]石鐘慈,王鳴.有限元方法[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

    [2]曾攀.有限元分析及應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

    [3]王烈衡,許學(xué)軍.有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

    [4]馮康.有限元方法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1974,(4):54-61.

    [5]陳國旺.索伯列夫空間導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,2013.

    [6]李嘉曾.“以學(xué)生為中心”教育理念的理論意義與實(shí)踐啟示[J].中國大學(xué)教學(xué),2008,(4):54-56.

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