地固系GNSS／SINS組合導(dǎo)航正常重力間接算法

丁磊香，許厚澤，王 勇，柴 華，蔡小波

（1.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量學(xué)與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，武漢430077；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

地固系GNSS／SINS組合導(dǎo)航正常重力間接算法

丁磊香1，2，許厚澤1，王 勇1，柴 華1，蔡小波1，2

（1.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量學(xué)與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，武漢430077；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

相比導(dǎo)航系，GNSS／SINS組合導(dǎo)航在地固系計算，編排效率提高約40％，Kalman濾波效率提高約10％，即使正常重力與姿態(tài)矩陣的計算效率偏低，在地固系計算比導(dǎo)航系計算綜合效率也提高約30％。針對地固系正常重力計算復(fù)雜的問題，提出了地固系正常重力間接算法，首先把三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)，然后在導(dǎo)航系計算正常重力，最后把正常重力轉(zhuǎn)換到地固系，姿態(tài)矩陣也在此過程計算完畢。試驗結(jié)果表明，間接法與傳統(tǒng)方法計算精度相當(dāng)，但間接法計算過程簡單直觀，計算效率可以提高3％～26％，尤其對于高速高精度的捷聯(lián)慣導(dǎo)，效率提高尤為明顯，具有重要的工程實(shí)用價值。

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)；正常重力；姿態(tài)矩陣；地固系；間接法

0 引言

GNSS／SINS組合導(dǎo)航具有采樣率高、數(shù)據(jù)量大的特點(diǎn)，對于實(shí)時導(dǎo)航以及大數(shù)據(jù)量的后處理，計算效率是重要的考量。相比導(dǎo)航系，GNSS／SINS組合導(dǎo)航在地固系計算，編排效率提高約40％，Kalman濾波效率提高約10％，即使正常重力與姿態(tài)矩陣的計算效率偏低，在地固系計算比導(dǎo)航系計算綜合效率也提高約30％［1?2］。另外，在GNSS／SINS組合導(dǎo)航中，GNSS的數(shù)據(jù)處理是在地固系進(jìn)行的，選取地固系作為SINS的計算坐標(biāo)系不需要GNSS導(dǎo)航結(jié)果的轉(zhuǎn)換［3］，地固系特別適合于GNSS／SINS組合應(yīng)用領(lǐng)域［2］。針對捷聯(lián)慣導(dǎo)在地固系中的計算，文獻(xiàn)［4］、文獻(xiàn)［5］做了有益的研究。

GNSS／SINS組合導(dǎo)航在地固系計算中，姿態(tài)矩陣是通過地理坐標(biāo)計算，地理坐標(biāo)由地固系直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到，而正常重力是由地固系直角坐標(biāo)計算［2?3］，計算公式和過程復(fù)雜，計算效率低。針對上述問題，本文提出了地固系正常重力的間接計算法，首先把地固系直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地理坐標(biāo)，然后在導(dǎo)航系下計算正常重力，最后把正常重力轉(zhuǎn)換到地固系，姿態(tài)矩陣也在此過程中計算。結(jié)果表明，在地固系中應(yīng)用間接法計算正常重力，計算公式和過程簡單直觀，計算效率可以提高3％～26％。

1 坐標(biāo)系的定義

地固系（e系)：原點(diǎn)在地球質(zhì)心，x軸指向格林尼治平均子午圈，y軸與x軸、z軸正交，z軸平行于地球自轉(zhuǎn)軸。

導(dǎo)航系又稱當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系（n系)：原點(diǎn)在載體中心，x軸沿參考橢球卯酉圈指向東，y軸沿參考橢球子午圈指向北，z軸沿橢球外法線指向天頂。

載體系（b系)：原點(diǎn)在載體中心，x軸指向載體的右方，y軸指向載體的前方，z軸指向載體的上方。

導(dǎo)航系向地固系的旋轉(zhuǎn)矩陣由式（1)表示：

其中，B為地理緯度，L為地理經(jīng)度。在本文中，把式（1)稱為姿態(tài)矩陣。

姿態(tài)角根據(jù)式（2)矩陣的相應(yīng)元素計算：

2 地固系正常重力與姿態(tài)矩陣的直接計算方法

地球的正常重力有嚴(yán)格的計算公式，由于公式復(fù)雜，計算量大，工程應(yīng)用中一般使用近似值。在地固系中，正常重力可以根據(jù)直角坐標(biāo)（x，y，z)得到，本文把此方法稱為傳統(tǒng)法或直接法。文獻(xiàn)［2］推導(dǎo)了直接法的計算公式，在此直接給出：

其中，

在式（4)～式（9)中，J2、fM、a、ω為地球正常橢球的基本參數(shù)，參數(shù)的具體含義參見文獻(xiàn)［6］，e為地球橢球的第一偏心率，可由基本參數(shù)求得。

由式（1)、式（2)可知，要得到姿態(tài)角，必須首先求得地理經(jīng)緯度。地理經(jīng)緯度可由地固系直角坐標(biāo)求得，由直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換經(jīng)緯度有許多不同解法［7?10］，一般分為3類：封閉解法、迭代法、近似算法，工程應(yīng)用一般使用近似算法。不同于文獻(xiàn)［2］的是，本文推薦使用文獻(xiàn)［10］的近似算法，此種計算方法既簡單，又有很高的計算精度，緯度的計算精度優(yōu)于10-12（10-7″)［11］，詳細(xì)的計算公式如下：

式中，B、L和H分別為大地坐標(biāo)中的緯度、經(jīng)度和大地高，a為地球正常橢球的長半軸，b為橢球的短半軸，e為橢球的第一偏心率，e′為橢球的第二偏心率。

把式（10)的值代入式（1)，即可求得姿態(tài)矩陣。

3 地固系正常重力的間接計算方法

間接法的計算過程如下：根據(jù)式（10)把地固系直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地理坐標(biāo)，然后在導(dǎo)航系下根據(jù)式（11)計算正常重力，最后通過式（15)把正常重力轉(zhuǎn)換到地固系。

根據(jù)索米里安公式可以計算橢球面任意一點(diǎn)的正常重力，再增加與大地高的有關(guān)項，可得到橢球面外任意一點(diǎn)的正常重力值。索米里安公式雖然是嚴(yán)密的，但并不適合于快速計算，一般展開成冪級數(shù)的形式，并省略高階項。橢球外任意點(diǎn)正常重力的近似值可寫為如下形式：

式中，B為緯度，H為大地高，系數(shù)k1～k5的值取決于橢球的參數(shù)。對于某一固定橢球，式（11)的系數(shù)是不變的，可直接應(yīng)用，在此直接寫出WGS?84橢球體對應(yīng)的系數(shù)值。

式（12)求出的重力值是個標(biāo)量，在導(dǎo)航系的正常重力可以表示為：

地理坐標(biāo)由式（10)求出，可根據(jù)地理坐標(biāo)直接求出式（1)，地固系的重力值為：

把式（1)代入式（14)，地固系的重力值可以表示為：

間接法正常重力的計算過程中，姿態(tài)矩陣已計算完畢，無需增加其他計算。

4 精度與效率比較

直觀上，間接法比直接法公式簡單，為客觀反映兩種方法的不同，對兩種方法的精度與計算效率進(jìn)行比較。

精度比較如下：兩種姿態(tài)計算方法完全相同，姿態(tài)精度無需比較，只需要比較正常重力的計算精度，以北緯30°（不失一般性，經(jīng)度設(shè)為零)橢球面一點(diǎn)的正常重力進(jìn)行比較，參考值為索米里安公式的計算值，比較結(jié)果如表1所示。

表1 正常重力的近似誤差比較Table 1 Approximate computation errors of normal gravity（unit：m／s2)

由表1可以得出，兩種方法的計算精度相當(dāng)，相比重力擾動和慣性傳感器誤差，近似誤差可以忽略不計。

效率比較如下：和文獻(xiàn)［1］方法相同，根據(jù)CPU時間比較兩種方法的效率。假設(shè)SINS的采樣頻率為100Hz，分兩種方式比較，第一種是只比較兩種方法正常重力和姿態(tài)矩陣的計算效率；第二種是比較兩種方法1s時長數(shù)據(jù)的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)編排效率。

表2為第一種方式的比較結(jié)果，通過表2可以看出，與直接法相比，應(yīng)用間接法計算正常重力和姿態(tài)矩陣，效率提高約28％。

表2 正常重力與姿態(tài)矩陣計算的CPU時間Table 2 CPU time consumed by the computation of normal gravity and attitude matrix（unit：s)

對于低速的載體，重力的變化比較平緩，1Hz的正常重力與姿態(tài)矩陣計算頻率就可以滿足要求；但對于高速載體以及高精度捷聯(lián)慣導(dǎo)，1Hz的正常重力與姿態(tài)矩陣計算頻率精度不能滿足要求。以速度50m／s載體為例，1Hz的計算頻率引起的經(jīng)緯度誤差約為1.6″，通過式（15)可計算出引起的正常重力誤差約為8mGal，與此相比，重力擾動的水平分量平均約為10mGal［12］，導(dǎo)航級加速度表零偏約為5μg～10μg。因此，1Hz的正常重力計算頻率顯然不能滿足高速高精度的捷聯(lián)慣導(dǎo)的需求。同樣條件下，1Hz的姿態(tài)矩陣計算頻率引起的姿態(tài)誤差約為2″，同樣不滿足高速高精度的捷聯(lián)慣導(dǎo)的需求。

第二種方式中，將比較正常重力和姿態(tài)矩陣不同計算頻率時捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的編排效率，比較結(jié)果如表3所示。

表3 不同計算頻率時編排的CPU時間Table 3 CPU time consumed by the computation of mechanization with different frequencies of normal gravity and attitude matrix（unit：s)

通過表3可以得出，不同計算頻率時編排效率提高分別為：3％、7％、18％、26％，正常重力與姿態(tài)矩陣計算頻率越高，間接法的效率越高，相比直接法，效率最大可以提高26％。

5 結(jié)論

捷聯(lián)慣導(dǎo)在地固系中計算時，正常重力傳統(tǒng)計算方法復(fù)雜、效率低，而且姿態(tài)矩陣需另行計算。本文提出了正常重力的間接計算法，計算方法簡單，在計算過程中，姿態(tài)矩陣的計算得以完成。比較結(jié)果表明，在捷聯(lián)慣導(dǎo)編排中，應(yīng)用間接法計算正常重力與姿態(tài)矩陣，不僅精度可以得到保證，而且計算過程簡單，相比直接法，效率可以提高3％～26％，尤其對于高速高精度的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，計算效率提高尤為明顯。

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Indirect Algorithm of SINS Normal Gravity under ECEF Frame

DING Lei?xiang1，2，XU Hou?ze1，WANG Yong1，CHAI Hua1，CAI Xiao?bo1，2
（1.State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics，Institute of Geodesy and Geophysics，Wuhan 430077; 2.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049)

Compared with the navigation frame，processing GNSS／SINS integrated navigation in earth?centered?earth?fixed（ECEF)frame is about 30％more efficient，even if the computations of normal gravity and attitude matrix are of low efficiency.To address the issue of computation complexity of normal gravity in ECEF frame，this paper proposes a new method which computes normal gravity and attitude matrix indirectly.Compared with traditional direct method，this new in?direct method，which is more compact and simpler in terms of algorithm，can reach the same accuracy level.Furthermore，the computational efficiency of this new method is also higher than that of the traditional method by a factor of 3％～26％. The increased efficiency is particularly obvious，especially for high?speed and high?accuracy SINS.

SINS;normal gravity;attitude matrix;ECEF;indirect algorithm

P227.9

A

1674?5558（2017)01?01237

10.3969／j.issn.1674?5558.2017.01.001

2016?01?21

國家自然科學(xué)基金（編號：41274084，41406115)

丁磊香，男，博士，大地測量學(xué)與測量工程專業(yè)，研究方向為GNSS／INS組合導(dǎo)航理論及應(yīng)用。