三浮陀螺伺服測(cè)試誤差系數(shù)估計(jì)方法

王永彤，朱志剛，郭宗本，徐 超

（北京航天控制儀器研究所，北京100039)

三浮陀螺伺服測(cè)試誤差系數(shù)估計(jì)方法

王永彤，朱志剛，郭宗本，徐 超

（北京航天控制儀器研究所，北京100039)

為了更好地解決工程實(shí)際中三浮陀螺極軸伺服測(cè)試時(shí)誤差系數(shù)估計(jì)問題，采用了Kalman濾波和遞推最小二乘的方法。試驗(yàn)結(jié)果證明，Kalman濾波方法能夠有效地估計(jì)出極軸伺服測(cè)試時(shí)的陀螺誤差系數(shù)。用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法分析了該模型以及各系數(shù)的顯著性，結(jié)果顯示對(duì)Dvz和Dzz的估計(jì)是顯著的。

三浮陀螺；伺服測(cè)試；Kalman濾波；誤差系數(shù)估計(jì)；顯著性分析

0 引言

伺服轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)試是高精度單自由度機(jī)電陀螺測(cè)試方法之一，該方法的優(yōu)點(diǎn)是：1)測(cè)試精度不受陀螺力矩器精度的限制；2)精度潛力大，由于不直接測(cè)量漂移角速度，而是測(cè)量漂移角速度隨時(shí)間的積分，在一定程度上可以用時(shí)間換精度；3)測(cè)量過程更接近陀螺在平臺(tái)系統(tǒng)中的工作狀態(tài)，對(duì)實(shí)際應(yīng)用有更好的指導(dǎo)意義。為提高測(cè)試精度、豐富陀螺精度鑒定手段，以及給更高精度機(jī)電陀螺奠定測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)，提高工程化應(yīng)用，亟待開展陀螺的伺服轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)試方法、數(shù)據(jù)處理及誤差系數(shù)標(biāo)定的研究。

當(dāng)陀螺輸入軸平行地理極軸做伺服測(cè)試時(shí)，陀螺誤差系數(shù)的辨識(shí)可以采用諧波系數(shù)法、最小二乘估計(jì)法和Kalman濾波估計(jì)方法［1］。用諧波系數(shù)法時(shí)，需要陀螺沿輸入軸相對(duì)地理系旋轉(zhuǎn)至少一周才能解出誤差系數(shù)，由于耗時(shí)長(zhǎng)、實(shí)時(shí)性差，難以滿足工程應(yīng)用。最小二乘估計(jì)法使量測(cè)估計(jì)的精度達(dá)到最佳，不使用與估計(jì)量有關(guān)的動(dòng)態(tài)信息和統(tǒng)計(jì)信息，優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，在對(duì)被估計(jì)量和量測(cè)誤差缺乏了解的情況下仍能適用［3］。Kalman濾波是線性最小方差估計(jì)，使用時(shí)需要知道被估計(jì)量驅(qū)動(dòng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性、系統(tǒng)狀態(tài)方程，以及量測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性［3］。最小二乘和Kalman濾波各有優(yōu)缺點(diǎn)，為提高陀螺誤差系數(shù)的估計(jì)精度，提升陀螺伺服試驗(yàn)效率，同時(shí)解決估計(jì)方法在實(shí)際測(cè)試中的實(shí)用性，還需進(jìn)行對(duì)比研究。本文根據(jù)陀螺漂移的實(shí)際特性并結(jié)合極軸伺服測(cè)試時(shí)的特點(diǎn)采用了與主軸角度相關(guān)的陀螺誤差模型，并在此基礎(chǔ)上采用Kalman濾波器與最小二乘法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。隨后，對(duì)模型的回歸方程及各系數(shù)進(jìn)行了顯著性分析。

1 陀螺極軸伺服試驗(yàn)

三浮陀螺在1g重力場(chǎng)下誤差模型如式（1)所示［1］：

式中，ωd為陀螺的綜合漂移，（°)／h；Df為不敏感比力的漂移角速度，（°)／h；Dx、Dy、Dz為與重力加速度成比例的誤差系數(shù)，（°)／h／g；Dxx、Dzz為與重力加速度平方成比例的誤差系數(shù)，（°)／h／g2；Dxy、Dxz、Dyz為與重力加速度乘積成比例的誤差系數(shù)，（°)／h／g2；gx、gy、gz分別為沿x軸、y軸、z軸的重力加速度分量，g；ωm為陀螺的動(dòng)態(tài)相關(guān)噪聲，（°)／h；ωε為陀螺誤差模型殘差，（°)／h。

x、y、z分別對(duì)應(yīng)陀螺儀的輸入軸IA，輸出軸OA，自轉(zhuǎn)軸SA。

陀螺伺服測(cè)試時(shí)常采用極軸伺服試驗(yàn)考察陀螺的精度［1］。陀螺極軸伺服試驗(yàn)有兩種安裝方位：陀螺儀輸入軸平行極軸指北和指南。陀螺儀坐標(biāo)系在地球坐標(biāo)系（O′XYZ)和地理坐標(biāo)系（OXeYeZe)中的方位如圖1所示。在這種安裝方式下，陀螺始終敏感地速。重力在陀螺輸入軸上投影為常值，在陀螺自轉(zhuǎn)軸和輸出軸上投影根據(jù)轉(zhuǎn)臺(tái)主軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位置呈現(xiàn)周期性變化。

在圖1中，φ為當(dāng)?shù)鼐暥?；ωe為地球轉(zhuǎn)速；O′XYZ為地球坐標(biāo)系；OXeYeZe（OUNW）為地理坐標(biāo)系，OXe指天，OYe在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)指北；oxyz為陀螺儀坐標(biāo)系，ox、oy、oz分別為陀螺儀的輸入軸IA、輸出軸OA、自轉(zhuǎn)軸SA；OX2Y2Z2為伺服轉(zhuǎn)臺(tái)主軸坐標(biāo)系，OX2、OZ2分別為轉(zhuǎn)臺(tái)主軸、耳軸，轉(zhuǎn)臺(tái)零位時(shí)OX2與OXe重合，OY2指向OZe反向，OZ2與OYe重合。

圖1 極軸伺服試驗(yàn)陀螺儀坐標(biāo)系方位圖Fig．1 Coordinates in servo test

陀螺極軸伺服試驗(yàn)時(shí)，有如下運(yùn)動(dòng)方程：

其中，˙θ為轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)臺(tái)主軸的旋轉(zhuǎn)角速度，可由角度差分得到，（°)／h；ωx為地速在陀螺輸入軸上的投影，（°)／h。

陀螺儀輸入軸平行極軸指北的零位方位定義為：陀螺輸入軸IA平行極軸指北，馬達(dá)軸SA指東。重力加速度g朝上為正，伺服轉(zhuǎn)臺(tái)沿主軸坐標(biāo)系OX2軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，轉(zhuǎn)角為θ，正東方向?yàn)榻嵌绕鹗剂阄?。地速在陀螺輸入軸上投影為ωe，重力加速度在陀螺各軸上的投影如下：

其中，gs＝gsinφ，gc＝gcosφ。

陀螺儀輸入軸平行極軸指南的零位方位定義為：陀螺輸入軸IA平行極軸指南，馬達(dá)軸SA指東。地速在陀螺輸入軸上投影為-ωe，重力加速度在陀螺各軸上的投影如下：

將式（3)帶入式（1)后采用諧波分析的方法，得到陀螺漂移是一個(gè)關(guān)于轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角θ的周期函數(shù)。陀螺漂移可以用式（5)表示，整理后得式（6)，式中各系數(shù)分為與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角無關(guān)的項(xiàng)、與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角一次諧波有關(guān)的項(xiàng)、與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角二次諧波有關(guān)的項(xiàng)。

其中，

ωdN為陀螺輸入軸指北時(shí)的綜合漂移。

其中，A0N、A1N、A2N、B1N、B2N如式（8)所示。

同理可得到陀螺輸入軸指南時(shí)的諧波系數(shù)方程，A0S、A1S、A2S、B1S、B2S如式（9)所示。陀螺誤差系數(shù)可由諧波系數(shù)通過代數(shù)運(yùn)算解出，因此辨識(shí)誤差系數(shù)的關(guān)鍵是得到諧波系數(shù)。

2 伺服測(cè)試陀螺誤差系數(shù)估計(jì)方法

2．1 Kalman濾波估計(jì)方法

三浮陀螺動(dòng)態(tài)相關(guān)噪聲ωm為1階馬氏過程，其相關(guān)函數(shù)為：

其中，RN（0)為均方值，α為反相關(guān)時(shí)間常數(shù)，τ為兩點(diǎn)之間的時(shí)間間隔。RN（0)和α可以通過試驗(yàn)進(jìn)行估算［2］。

將其白化離散后的表達(dá)式［3］為：

其中，T為離散時(shí)間；wk為白噪聲序列。

陀螺伺服測(cè)試時(shí)，陀螺漂移的系統(tǒng)模型和量測(cè)模型方程［1，3］分別為：

根據(jù)式（6)、式（7)和式（11)得到Kalman濾波方程中的各項(xiàng)如下：

θk為k時(shí)刻伺服轉(zhuǎn)臺(tái)主軸角度。

觀測(cè)量Zk為伺服轉(zhuǎn)臺(tái)角速率，由角度差分得出。Vk為伺服轉(zhuǎn)臺(tái)角速率的量測(cè)噪聲，角速率的隨機(jī)誤差主要由測(cè)角誤差造成，設(shè)測(cè)角誤差的峰峰值為ε，ΔT為動(dòng)平均時(shí)間［1］，角速率讀數(shù)誤差最大值為ε／ΔT，此誤差近似為正態(tài)分布，可視為白噪聲。ΔT選取時(shí)需考慮角速率的平滑效果和陀螺動(dòng)態(tài)誤差的相關(guān)時(shí)間，這里為2000s。量測(cè)方差估計(jì)為：

系統(tǒng)噪聲方差為：

由試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算可得，RN（0）＝1.3×10-7［（°)／h］2，α＝2000，T＝1s。

Kalman濾波方程如下［1，3］：

X0和P0初始值均賦0。

2．2 最小二乘估計(jì)方法

為了對(duì)比Kalman濾波效果，對(duì)三浮陀螺誤差系數(shù)用最小二乘方法進(jìn)行估計(jì)，式（7)表達(dá)可以如式（14)所示，Zi為第i次轉(zhuǎn)臺(tái)角速度量測(cè)值，Vi為第i次隨機(jī)量測(cè)噪聲，Hi＝［1 sinθisin2θicosθicos2θi］，為提高數(shù)據(jù)處理效率，采用遞推最小二乘方法［3］估計(jì)諧波系數(shù)。

為避免估計(jì)誤差跳躍劇烈，＾X0和P0可由初始數(shù)據(jù)經(jīng)最小二乘計(jì)算得到［3］，如式（16）

3 試驗(yàn)分析

3．1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

某陀螺極軸伺服試驗(yàn)的主軸角速度數(shù)據(jù)如圖2和圖3所示，采樣時(shí)間為1s。為獲取更多數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，測(cè)試時(shí)間較長(zhǎng)。其中，輸入軸指北、指南的數(shù)據(jù)樣本長(zhǎng)度分別為52.7h和39h，轉(zhuǎn)臺(tái)分別轉(zhuǎn)過579.3°（1.61圈)和523°（1.45圈)，轉(zhuǎn)臺(tái)繞主軸旋轉(zhuǎn)一周分別為32.8h和26.9h。用Kalman濾波估計(jì)方法，陀螺相關(guān)噪聲和諧波系數(shù)的收斂穩(wěn)定時(shí)間均在6.5h左右，收斂時(shí)間占主軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間的21％和 26％。辨識(shí)結(jié)果如圖4和圖5所示。各諧波系數(shù)體現(xiàn)了所包含陀螺誤差系數(shù)的綜合精度，如式（8)、式（9)所示。用遞推最小二乘估計(jì)方法辨識(shí)結(jié)果如圖6和圖7所示。為避免估計(jì)誤差起伏劇烈，用前4000個(gè)數(shù)據(jù)做最小二乘估計(jì)，將其設(shè)為遞推初值。各諧波系數(shù)收斂時(shí)間約為4.5h左右。將陀螺輸入軸指北、南兩次試驗(yàn)得到的諧波系數(shù)做代數(shù)運(yùn)算后，可以得到陀螺各誤差系數(shù)，結(jié)果如表1所示。

圖2 陀螺輸入軸指北時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)主軸角速度Fig．2 The angular velocity of the turntable which axis is parallel to the earth's north polar axis

圖3 陀螺輸入軸指南時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)主軸角速度Fig．3 The angular velocity of the turntable which axis is parallel to the earth's south polar axis

圖4 陀螺相關(guān)噪聲與諧波系數(shù)濾波收斂過程（陀螺輸入軸指北）Fig．4 The identification results of the model（the turntable's axis is parallel to the earth's north polar axis）

圖5 陀螺相關(guān)噪聲與諧波系數(shù)濾波收斂過程（陀螺輸入軸指南）Fig．5 The identification results of the model（the turntable's axis is parallel to the earth's north polar axis）

圖6 用遞推最小二乘法估計(jì)陀螺諧波系數(shù)收斂過程（陀螺輸入軸指北）Fig．6 The identification results of the model by recursive least?squares（the turntable's axis is parallel to the earth's north polar axis）

圖7 用遞推最小二乘法估計(jì)陀螺諧波系數(shù)收斂過程（陀螺輸入軸指南）Fig．7 The identification results of the model recursive least?squares（the turntable's axis is parallel to the earth's south polar axis）

表1 陀螺誤差系數(shù)估計(jì)結(jié)果（設(shè)Dxx＝0）Table 1 The determined coefficients of Gyro（Dxx＝0）

以陀螺輸入軸平行極軸指北的數(shù)據(jù)為例，用Kalman濾波辨識(shí)的系數(shù)經(jīng)擬合后與實(shí)測(cè)漂移相減的殘差如圖8所示，標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。與遞推最小二乘的相比，Kalman濾波擬合后的殘差標(biāo)準(zhǔn)差小，如圖9所示。

圖8 Kalman濾波擬合后的陀螺漂移殘差Fig．8 The drift residuals with Kalman filter

表2 陀螺漂移角速度殘差標(biāo)準(zhǔn)差（陀螺輸入軸指北）［（°）／h］Table 2 The standard deviation of the gyro drift residuals（the turntable's axis is parallel to the earth's north polar axis）

圖9 最小二乘方法擬合后的陀螺漂移殘差Fig．9 The drift residuals with LSM

3．2 顯著性分析

估計(jì)出陀螺誤差系數(shù)后，還需對(duì)誤差方程及各系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

假定第j次被測(cè)量yj和參數(shù)a0、a1、…、an之間呈線性關(guān)系n，j＝1，2，…，N，N＞n，xji為可測(cè)的已知變量，ai為n待估計(jì)的未知參數(shù)，ej是N個(gè)相互獨(dú)立服從同一正態(tài)分布N（0，σ2)的隨機(jī)變量。有觀測(cè)方程Y＝XA＋ε?？偲钇椒胶蜑榛貧w平方和為殘差平方和為可證明ST＝SR＋SE。

如果變量y與xi之間沒有線性關(guān)系，只需檢驗(yàn)假設(shè)H0：a1＝0，…，ai＝0，這可以通過比較SR和SE來實(shí)現(xiàn)?？梢宰C明X滿秩和假設(shè)H0成立時(shí)，SR／σ2～χ2（n)，SE／σ2～χ2（N-n-1)，SR和SE相互獨(dú)立，從而：

對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)算得F＞Fa，則在顯著水平α下，認(rèn)為回歸方程是有顯著意義的。反之，則認(rèn)為該線性回歸方程沒有顯著意義。

此外，還需對(duì)每個(gè)變量進(jìn)行考察，如果某個(gè)變量對(duì)y作用不明顯，在模型中它前面的系數(shù)ai可取值為0。檢驗(yàn)因子xi是否顯著可以等價(jià)于是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量上的第i個(gè)對(duì)角元與SE相互獨(dú)立，在假設(shè)H0∶ai＝ 0條件下，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：

如果F＞Fa，則認(rèn)為在顯著水平α下回歸系數(shù)顯著，反之則認(rèn)為不顯著。

在估計(jì)陀螺誤差系數(shù)時(shí)，根據(jù)陀螺極軸伺服試驗(yàn)的特點(diǎn)，XTX的最大值為5，因此將陀螺誤差模型轉(zhuǎn)化為式（14)。對(duì)該線性回歸模型及各系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。其中，y＝ωd，a0、a1、…、an分別為A0、A1、A2、B1、B2，Vi近似為正態(tài)分布。

陀螺輸入軸指北時(shí)，SEN＝0.044，SRN＝1.27× 105，N＝129727，n＝5，經(jīng)計(jì)算得回歸方程統(tǒng)計(jì)量FN＝7.5×106，在顯著水平α＝0.01下，F(xiàn)0.01（5，129721)＝3.02，因此認(rèn)為回歸方程是顯著的。

再檢驗(yàn)各誤差系數(shù)。統(tǒng)計(jì)量F的下角標(biāo)代表陀螺各系數(shù)，N指陀螺輸入軸指北。對(duì)角元素pii計(jì)算為經(jīng)計(jì)算得FA0N＝5.8×1012，F(xiàn)A1N＝3.4×1011，F(xiàn)A2N＝2.8×104，F(xiàn)B1N＝3.2×106，F(xiàn)B2N＝9.5×104。在顯著水平α＝0.01下，F(xiàn)0.01（1，129721)＝6.63。因此，各系數(shù)是顯著的。當(dāng)陀螺輸入軸指南時(shí)，也能得出同樣的結(jié)論。

4 結(jié)論

本文在三浮陀螺做極軸伺服測(cè)試時(shí)，用Kalman濾波器和遞推最小二乘方法估計(jì)陀螺誤差系數(shù)，并對(duì)最小二乘回歸方程以及各諧波系數(shù)進(jìn)行了顯著性分析，試驗(yàn)結(jié)果表明：

1)所采用的Kalman濾波器是一致漸進(jìn)收斂的，相對(duì)遞推最小二乘方法，用Kalman濾波估計(jì)法的陀螺漂移殘差標(biāo)準(zhǔn)差小。

2)在諧波系數(shù)估計(jì)的收斂時(shí)間方面，遞推最小二乘法比Kalman濾波收斂的快，但遞推最小二乘的收斂過程對(duì)各向量的初值較敏感，數(shù)據(jù)需要預(yù)先處理后才能進(jìn)入迭代運(yùn)算，而Kalman濾波對(duì)系統(tǒng)初值無特殊要求。

3)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，陀螺誤差模型的諧波系數(shù)回歸方程以及估計(jì)的各諧波系數(shù)是顯著的。由此可以判斷陀螺誤差系數(shù)Dyz和Dzz顯著，但是尚不能給出數(shù)值較小的Dxy、Dxz和Dy是否顯著的結(jié)論。

當(dāng)三浮陀螺進(jìn)行伺服測(cè)試時(shí)，在模型及參數(shù)準(zhǔn)確的前提下，用Kalman濾波的方法估計(jì)誤差系數(shù)是一種更好的選擇。需要注意的是，當(dāng)測(cè)試陀螺長(zhǎng)時(shí)間精度時(shí)，為了防止新量測(cè)值對(duì)估計(jì)值修正作用下降，陳舊量測(cè)值修正作用相對(duì)上升，可以根據(jù)最優(yōu)算法結(jié)合實(shí)際情況采用漸消記憶或限定記憶的方法辨識(shí)誤差模型。極軸伺服測(cè)試得到的陀螺某些誤差系數(shù)數(shù)值較小，一些二次項(xiàng)也無法用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)進(jìn)行顯著性分析，建議對(duì)這些誤差項(xiàng)在高g下進(jìn)行辨識(shí)。

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Calibration of SDFG Coefficient Based on Servo Test

WANG Yong?tong，ZHU Zhi?gang，GUO Zong?ben，XU Chao
（Beijing Institute of Aerospace Control Devices，Beijing 100039)

When single?degree?of?freedom rate?integrating gyro（SDFG)in servo test，to calibrate the coefficient of SDFG whose axis of rotation is nominally parallel to the earth's polar axis，Kalman filter and recursive least?squares method were adap?ted in this paper.The data show that the Kalman filter method is efficient.Subsequently，the regression equation and coefficients were analyzed by statistical test，and the results verified that the calibrated coefficient Dvzand Dzzis creditable.

single?degree?of?freedom rate?integrating gyro;servo test;Kalman filter;error coefficient estimation; prominence analysis

U666.16＋3

A

1674?5558（2017)05?01254

10.3969／j.issn.1674?5558.2017.01.018

王永彤，女，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

2016?03?16