譜方法的理論簡(jiǎn)介

摘要：譜方法的作用是求解偏微分方程。它的特點(diǎn)是具有穩(wěn)定性和收斂性，還可以實(shí)現(xiàn)Fourier計(jì)算。在許多科學(xué)研究領(lǐng)域中，問(wèn)題最終都會(huì)歸結(jié)為求解偏微分方程，譜方法正是一種有效的計(jì)算方法。本文主要介紹譜方法的思想和基本理論。

關(guān)鍵詞：譜方法；收斂性；穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）06-0084-02

一、譜方法的研究概況

譜方法的產(chǎn)生有著悠久的歷史，來(lái)源于變分問(wèn)題的近似解法——伽遼金方法。經(jīng)過(guò)譜方法的發(fā)展演變，譜方法分為常用的三種方法，即伽遼金譜方法、多項(xiàng)式近似解法和配點(diǎn)法。一方面，在許多工科研究中，譜方法被應(yīng)用于求解大型偏微分方程，這使得譜方法得到了深入的發(fā)展；另一方面，由于計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，求解偏微分方程更多的是用編程來(lái)計(jì)算，這樣可以減少譜方法的計(jì)算量。隨著計(jì)算機(jī)的普及，譜方法有了更多的實(shí)用價(jià)值。譜方法不僅在計(jì)算物理、計(jì)算力學(xué)等領(lǐng)域取得了顯著的研究成果，且在空氣學(xué)、工學(xué)、海洋科學(xué)等領(lǐng)域也得到了應(yīng)用。

在譜方法的研究中，除了研究數(shù)值解以外，研究非線性微分方程的穩(wěn)定性同樣重要。許多專家在譜方法穩(wěn)定性方面做了詳細(xì)的研究。例如Kreiss、Oliger[1]、Orszag[2]三個(gè)人在穩(wěn)定性方面做了長(zhǎng)期的研究。還有另外的研究人員Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、Maday[3-8]，中國(guó)學(xué)者郭本瑜[9，10]等人對(duì)譜方法做了更為詳細(xì)深入的研究，并且將譜方法的理論應(yīng)用于一些線性微分方程或者非線性偏微分方程的求數(shù)值解上，賦予了譜方法新的實(shí)用價(jià)值，從而證明了譜方法是一種有效的數(shù)值計(jì)算方法。

譜方法的基函數(shù)是一組定義在同一個(gè)區(qū)間或定義在同一個(gè)n維長(zhǎng)方體上的正交多項(xiàng)式，因?yàn)檫@樣的正交多項(xiàng)式，譜方法只能應(yīng)用于求解區(qū)域是一維區(qū)間或者n維長(zhǎng)方體的問(wèn)題[11]，針對(duì)譜方法這一缺點(diǎn)，為了克服譜方法只能求解一維空間或n維長(zhǎng)方體問(wèn)題，一些研究人員做了一些研究。例如Orszang[12]提出了映照法，此方法是做一些合適的函數(shù)變換把將要求解的區(qū)域轉(zhuǎn)變成長(zhǎng)方體空間，從而符合譜方法的基函數(shù)定義范圍，從而可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。如果遇到復(fù)雜的求解區(qū)域，映照法并不適用，此時(shí)可以采用拼接法，即將一個(gè)復(fù)雜的求解區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域。在簡(jiǎn)單子區(qū)域上使用譜方法計(jì)算，再把若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域聯(lián)合求解。但是這個(gè)方法也有它的缺點(diǎn)，不適合于簡(jiǎn)單的區(qū)域。

隨著譜方法的日益成熟，譜方法又有了一些新的發(fā)展。在河槽中的流動(dòng)，球殼上的非對(duì)稱流等相關(guān)的研究領(lǐng)域得到了顯著的發(fā)展。

通過(guò)很多學(xué)者的研究，譜方法已經(jīng)在理論研究方面取得了一些重要的研究成果，使得譜方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展空間，但是差分法和有限元法的研究相比，譜方法還有一定的差距，特別是在非線性情形下，或問(wèn)題不是周期情況下的譜方法，特別是譜方法在求解偏微分方程數(shù)值解方面也需要更多深入的研究。

二、譜方法的穩(wěn)定性和收斂性理論

我們首先來(lái)建立譜方法求解偏微分方程的一般框架。為此我們先來(lái)介紹Lax-Milgram定理和它相應(yīng)的推廣Babuska定理和Lax-Richtmyer等價(jià)性定理[11]。

Lax-Milgram定理：設(shè)雙線性泛函a（u，v）滿足[11]：

（1）a‖u‖ ≤a（u，u），？坌u∈V （強(qiáng)制性）。

（2）a（u，v）≤β‖u‖ ‖v‖ ，？坌u，v∈V （有界性）。

其中α、β是正常數(shù)，則線性邊值問(wèn)題：求u∈V，使a（u，v）=〈f，v〉，？坌v∈V存在唯一解而且有‖u‖ ≤

c‖f‖ 。V′是V的對(duì)偶空間。

Lax-Milgram定理可以證明解的唯一性，同時(shí)說(shuō)明了解關(guān)于右端f的穩(wěn)定性、連續(xù)性、依賴性。定理中的條件對(duì)泛函要求嚴(yán)格，我們將條件擴(kuò)展成要求更低的inf-sup條件，就有了Babuska定理。在定理中，U、V分別是兩個(gè)Hilbert空間，定理如下：

Babuska定理：若對(duì)雙線性泛函a（u，v），u∈U，v∈V，存在常數(shù)α、β、M使得[12]：

（1）a（u，v）≤M‖u‖ ‖v‖ ，？坌u∈U，v∈V。

（2）0< a（u，v），？坌v≠0，v∈V。

（3）0

則雙線性泛函問(wèn)題：求u∈U，使a（u，v）=〈f，v〉，？坌v∈V有唯一解，且有估計(jì)式‖u‖ ≤ ‖f‖ ′

Lax-Richtmyer等價(jià)性定理概括為：一個(gè)適定的線性問(wèn)題的相容逼近收斂的充要條件是逼近的同時(shí)是穩(wěn)定的。

Lax-Richtmyer定理的應(yīng)用在于若構(gòu)造的近似格式是相容的，近似格式的收斂性可以轉(zhuǎn)化為研究近似格式的穩(wěn)定性。

三、結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)譜方法理論做了一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，當(dāng)然譜方法仍在繼續(xù)發(fā)展中，它的應(yīng)用前景很廣泛，也極具實(shí)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]Kreiss H O，Oliger J. Comparison of accurate methods for the intergration of hyperbolic equations[J].Tellus，1972，24（01）：199-215.

[2]Orszag S A. Comparison of pseudospectral and spectral approximations[J].Stud.Appl. Math，1972，51（02）：253-259.

[3]Canuto C，Quarteroni A. Approximation results for orthogonal polynomials in Sobolev spaces[J]. Math.Compu，1982，38（03）：67-86.

[4]Maday Y，Quarteroni A. Legendre and Chebyshev spectral approximations of Burgers equation[J]. Numer.Math，1981，37（02）：321-332.

[5]Canuto C，Quarteroni A. Error estimates for spectral and pseudo-spectral approximations of hyperbolic equations[J]. SIAM J.Numer.Anal，1982，19（06）：629-642.

[6]Canuto C，Quarteroni A. Spectral and pseudo spectral methods for parabolic problems with nonperiodic boundary conditions[J].Calcolo，1981，18（04）：197-217.

[7]Maday Y，Quarteroni A. Approximation of Burgers equation by pseudo-spectral methods[J].Numer.Anal，1982，16（04）：375-404.

[8]Kuo P Y. The convergence of the spectral scheme for solving twe-dimensional vorticity equations[J].Compu.Math，1983，1（04）：353-362.

[9]郭本瑜.Navier-Stokes方程的譜解法[J].中國(guó)科學(xué)，1985，A（08）：715-728.

[10]郭本瑜.KDV-Burgers方程譜方法的誤差估計(jì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1985，28（01）：1-15.

[11]李印.譜方法的理論分析及其研究[J].沈陽(yáng)：東北大學(xué)碩士論文，2010.

[12]Orszag S A. Spectral Methods for Problems in Complex Gemetries[J].J Comp Phys，1980，37（18）：70-92.