隨機(jī)微分方程在圖像恢復(fù)中的應(yīng)用

崔蕊

摘 要：圖像在傳送、保存、應(yīng)用過程中受實(shí)際因素影響時(shí)，會(huì)出現(xiàn)圖像不清晰的現(xiàn)象。但是在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要辨識(shí)度高和清晰程度高的圖像，因此需要對(duì)不清晰圖像恢復(fù)方法進(jìn)行研究。在圖像恢復(fù)模型中，偏微分方程的模型居多，利用費(fèi)曼一卡茨公式可以建立偏微分方程與隨機(jī)微分方程的關(guān)系，所以文章采取隨機(jī)微分方程對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)微分方程；熱方程；灰度圖像

一、引言

圖像是指各種圖形和影像的總稱。在傳送、保存、應(yīng)用圖像過程中受實(shí)際因素影響，就會(huì)出現(xiàn)圖像不清晰的現(xiàn)象。但在實(shí)際生活中，人們希望能夠得到高質(zhì)量的圖像，因此有必要對(duì)圖像復(fù)原領(lǐng)域進(jìn)行研究，從而在圖像應(yīng)用時(shí)得到高質(zhì)量的圖像。圖像恢復(fù)包括很多方法，本文主要研究灰度圖像的復(fù)原問題。

雖然在圖像復(fù)原領(lǐng)域偏微分方程模型應(yīng)用廣泛，但在圖像復(fù)原中應(yīng)用偏微分方程模型仍有很多弊端，本文利用費(fèi)曼—卡茨公式在偏微分方程與隨機(jī)微分方程之間建立關(guān)系，以解決相關(guān)問題。本文用隨機(jī)微分方程的方法對(duì)噪聲圖像進(jìn)行濾波，使圖像滿足人們的需要。

二、 噪聲圖像的數(shù)學(xué)模型

定義u：D→R2是初始采集的灰度圖像，u0：D→R2是帶有高斯噪聲的圖像（即傳輸過程中得到的不清晰圖像），可以這樣表示：u0=u+η，其 中η代表高斯白噪聲。圖像復(fù)原問題等價(jià)于已知u0，以此為條件復(fù)原初始采集的灰度圖像u。用隨機(jī)微分方程構(gòu)造的模型為圖像復(fù)原提供一個(gè)新思路。

筆者利用費(fèi)曼—卡茨公式在偏微分方程與隨機(jī)微分方程之間建立關(guān)系，建立了隨機(jī)微分方程模型。

三、隨機(jī)微分方程模型的熱方程解法

圖像復(fù)原問題等價(jià)于對(duì)圖像進(jìn)行濾波，高斯濾波過程等價(jià)于求解熱方程的初值解，利用費(fèi)曼—卡茨公式構(gòu)造圖像復(fù)原模型，二維高斯函數(shù)與污染圖像卷積的結(jié)果是圖像復(fù)原之后的結(jié)果。定義X過程是反射型隨機(jī)過程?？梢杂孟率奖硎荆?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2017/03/08/zdka201636zdka20163666-1-l.jpg" style="">

五、圖像復(fù)原質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

目前針對(duì)圖像恢復(fù)模型的優(yōu)良度的評(píng)價(jià)還沒有達(dá)成統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，本文列舉以下兩條評(píng)價(jià)方法。

1.圖像邊緣和紋理細(xì)節(jié)的保留能力

我們利用圖像邊緣和紋理細(xì)節(jié)來辨別圖像，所以需要了解圖像邊緣和紋理細(xì)節(jié)，如果經(jīng)過恢復(fù)模型處理后的圖像邊緣于不清晰，細(xì)節(jié)不完整，從整體上看，圖像就會(huì)被損壞，這個(gè)模型就不值得應(yīng)用。所以，可利用圖像的界限和細(xì)節(jié)的保留度來考量模型的優(yōu)良度。

2.模型的穩(wěn)定性和計(jì)算復(fù)雜性

利用隨機(jī)微分方程與偏微分方程方法都可以對(duì)被高斯噪聲污染的圖像進(jìn)行濾波，達(dá)到去噪的目的，說明兩種模型對(duì)污染圖像的濾波過程都有效。從評(píng)價(jià)方式來說，由于偏微分方程中的熱擴(kuò)散模型采用相同的擴(kuò)散速度來平滑圖像，導(dǎo)致圖像邊緣不清晰，不能保留邊界，因此，隨機(jī)微分方程的方法優(yōu)于偏微分方程。

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