分運(yùn)動獨(dú)立的條件和理論基礎(chǔ)

王遠(yuǎn)征

(山東省煙臺第二中學(xué) 山東 煙臺 264000)

分運(yùn)動獨(dú)立的條件和理論基礎(chǔ)

王遠(yuǎn)征

(山東省煙臺第二中學(xué) 山東 煙臺 264000)

以微分方程的可加性為基礎(chǔ)，論述了分運(yùn)動獨(dú)立與否的條件是——合運(yùn)動的動力學(xué)方程可以寫成兩個(gè)分運(yùn)動的動力學(xué)方程之和，為用運(yùn)動的分解與合成解決復(fù)雜的運(yùn)動指明了理論基礎(chǔ)．

分運(yùn)動的獨(dú)立性 運(yùn)動的分解與合成 微分方程的可加性

在研究復(fù)雜運(yùn)動的時(shí)候，時(shí)常會出現(xiàn)兩個(gè)分運(yùn)動相互獨(dú)立的現(xiàn)象，即：一個(gè)分運(yùn)動的改變并不影響另一個(gè)分運(yùn)動的快慢，于是，有人就得出了“運(yùn)動的獨(dú)立性原理”的說法．而實(shí)際上，分運(yùn)動的獨(dú)立性是有條件的，分運(yùn)動不獨(dú)立的現(xiàn)象比比皆是．

【例1】一個(gè)小球以水平的初速度v0拋出，其受到的空氣阻力和速度的平方成正比，試求該小球在水平和豎直兩個(gè)方向的運(yùn)動情況．

分析：物體的動力學(xué)方程為

在x方向上，滿足的方程為

(1)

同時(shí)在y方向上，滿足的方程為

(2)

無論我們將兩個(gè)方程施加何種運(yùn)算，既不能在方程(1)中消掉vy，也不能在方程(2)中消掉vx，這說明，兩個(gè)分運(yùn)動就不是獨(dú)立的．故而，運(yùn)動的獨(dú)立性原理不是一個(gè)真正的有普遍意義上的規(guī)律．

但是，如果兩個(gè)分運(yùn)動要是獨(dú)立的話，就可以先分別研究出兩個(gè)分運(yùn)動的情況，進(jìn)而求出合運(yùn)動的情況，不光是我們處理復(fù)雜運(yùn)動的重要手段，而且確實(shí)可以使解題過程大為簡化，特別是在中學(xué)階段，這幾乎是處理復(fù)雜運(yùn)動問題的唯一手段．

【例2】如圖1所示，在勻強(qiáng)磁場中由靜止釋放一個(gè)帶正電的微粒，證明它的運(yùn)動軌跡是擺線．

圖1 磁場中靜止釋放正電荷的運(yùn)動軌跡

分析：微粒的初速度是零，我們將運(yùn)動是零的狀態(tài)看作是向左速度v0和向右速度也是v0的兩個(gè)運(yùn)動的疊加，并設(shè)定v0的大小滿足

qv0×B=mg

所以，向右的運(yùn)動是以v0為初速度的勻速直線運(yùn)動，向左的運(yùn)動因?yàn)橹皇苈鍌惼澚Φ淖饔?，因而做勻速圓周運(yùn)動．而這兩個(gè)分運(yùn)動的合運(yùn)動正好組成擺線運(yùn)動．

我們剛才的計(jì)算，就建立在兩個(gè)分運(yùn)動的獨(dú)立性之上．現(xiàn)在，關(guān)鍵的問題是，我們怎么知道這兩個(gè)分運(yùn)動是獨(dú)立的呢？我們的處理方法一定是正確的呢？答案非常簡單：我們分別列出兩個(gè)分運(yùn)動的動力學(xué)方程為

qv0×B+mg=0

(3)

(4)

式中v1代表初速度向左的分運(yùn)動的速度．而合運(yùn)動的動力學(xué)方程一定可以寫成如下的形式

(5)

一般的，如果一個(gè)運(yùn)動的動力學(xué)方程可以寫成兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動方程之和．則兩個(gè)分方程解的和就是總方程的解——即兩個(gè)分方程描述了兩個(gè)分運(yùn)動，總方程就描述了物體的合運(yùn)動．

有了這樣的認(rèn)識，我們在用運(yùn)動的合成與分解處理復(fù)雜的運(yùn)動時(shí)，就不再是僅憑著感覺和臆測，而是有了嚴(yán)密的根據(jù)．

2016-11-15)