帶電粒子在洛倫茲力和重力作用下的運動軌跡

姚東亮

(烏魯木齊八一中學(xué) 新疆 烏魯木齊 830002)

帶電粒子在洛倫茲力和重力作用下的運動軌跡

姚東亮

(烏魯木齊八一中學(xué) 新疆 烏魯木齊 830002)

用數(shù)學(xué)方法證明了一種物體在復(fù)雜作用力下的運動軌跡.

軌跡 微分方程組 擺錢

在高中物理教學(xué)當(dāng)中,我們常會遇到這樣一類問題:如圖1所示，一個質(zhì)量為m,帶電荷量為+q的物體處在垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場B中的光滑絕緣斜面上,物體從靜止出發(fā),則物體在斜面上最大速度是多少?

圖1 題圖

這個問題的本質(zhì)就是帶電物體在洛倫茲力及恒力作用下的運動軌跡問題.為使問題簡化,我們?nèi)サ粜泵?直接讓物體從磁場中由靜止下落,某時刻t物體受力情況,運動情況及建立坐標(biāo)系如圖2所示,物體從原點出發(fā),設(shè)此時刻洛倫茲力與豎直方向夾角為θ,則在豎直、水平方向上分別有

即

圖2 帶電物體受力分析

而速度與加速度分別是位移對時間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),因此有

對此微分方程組兩邊再對時間求一次導(dǎo)有

這一組微分方程的解即為物體軌跡關(guān)于時間的參數(shù)方程，(5)、(6)兩式的齊次方程的特征方程為

λ3+k2λ=0

λ1=0

λ2=ki

λ3=-ki

所以基礎(chǔ)解系組為sinkt,coskt,又λ1=0,所以設(shè)式(5)的特解形式為

x=C4xt

代入式(5)有

C4xk2=kg

則有

為式(5)、(6)的通解.下面通過初始條件來確定常數(shù)項.

本問題的初始條件為，當(dāng)t=0時，有

由x0=0，推得

C1x+C3x=0C1x=-C3x

-C2xk2sinkt-C3xk2coskt=0

C3x=-C1x=0

同理可求

C1y=-C3y

C2y=0

則

這是擺線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程, 即帶電粒子軌跡為一條擺線，如圖3所示.

圖3 帶電粒子運動的軌跡圖像

所以當(dāng)coskt=-1時有最大速度

TheTrajectoryofChargedParticlesundertheLorentzForceandtheGravity

Yao Dongliang

(Urumqibayihighschool，Urumqi，xinjiang830002)

This paper mathematically proved the object trajectory under complex force.

trajectory;simultaneous differential equations;cycloid

2016-08-31)