放慢教學(xué)，等待童心—整體設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)研究作業(yè)，彌補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)的散狀割裂

江蘇省蘇州市金閶外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉東衛(wèi)

放慢教學(xué)，等待童心—整體設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)研究作業(yè)，彌補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)的散狀割裂

江蘇省蘇州市金閶外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉東衛(wèi)

吳亞萍老師提出：“數(shù)學(xué)教材大多是把數(shù)學(xué)知識(shí)的整體劃分成一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，以‘點(diǎn)’為單位，按知識(shí)點(diǎn)的難易程度來編排教學(xué)內(nèi)容，要求教師根據(jù)知識(shí)‘點(diǎn)’的安排在‘課’時(shí)單位內(nèi)進(jìn)行教學(xué)?！處熤粐@‘點(diǎn)’就事論事……學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成發(fā)展過程來龍去脈的了解和把握。……更令人擔(dān)憂的是，數(shù)學(xué)教學(xué)異化為單一解題教學(xué)的現(xiàn)象進(jìn)一步被強(qiáng)化?！處熅窒抻凇c(diǎn)’進(jìn)行備課的習(xí)慣方式，導(dǎo)致教師忽視‘點(diǎn)’背后的知識(shí)整體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系?！谑牵虒W(xué)中割裂知識(shí)整體之間豐富內(nèi)在關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象，也就在情理之中了。……”為此，筆者探索整體設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)研究作業(yè)的實(shí)施，以此來彌補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)的散狀割裂。

一、放慢進(jìn)度，以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)適當(dāng)補(bǔ)充知識(shí)的“來龍”

從知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量上來看，教材給學(xué)生的理解應(yīng)用制造了一定的困難；從編排意圖來看，編者旨在整體呈現(xiàn)三角形和特殊四邊形的面積計(jì)算方法，便于“轉(zhuǎn)化”思想的滲透。吳老師犀利指出：教材的呈現(xiàn)方式把“結(jié)果形態(tài)”的符號(hào)化知識(shí)不加轉(zhuǎn)化地直接搬進(jìn)教材。作為一線教師深有同感，此幾何單元忽略了四邊形分類與圖形特征之間的內(nèi)在聯(lián)系；三角形、四邊形的“內(nèi)角和”度數(shù)證明的動(dòng)手操作，對(duì)面積計(jì)算推導(dǎo)的推波助瀾。面積概念內(nèi)涵的理解，對(duì)“平行四邊形面積計(jì)算為什么與底和高有關(guān)”“三角形、梯形面積計(jì)算為什么要除以2”這兩個(gè)問題的回答至關(guān)重要。

為彌補(bǔ)教材的“忽略”，筆者在教學(xué)平行四邊形的認(rèn)識(shí)之前，補(bǔ)充了研究作業(yè)，課題為：①根據(jù)三角形按邊、角分類，對(duì)四邊形進(jìn)行分類；②根據(jù)你的分類剪三角形、四邊形若干個(gè)（提示：三角形剪不少于3個(gè)，四邊形不少于8個(gè)）；③利用你剪的三角形、四邊形，動(dòng)手操作證明三角形和四邊形的內(nèi)角和是多少度。以下為學(xué)生的研究過程，我們可以看到學(xué)生將邊的特征會(huì)與角的特征綜合思考進(jìn)行分類，如：

四條邊相等自然會(huì)想到四個(gè)角也相等，“正方形”呼之欲出，在課堂教學(xué)反饋時(shí)，教師利用吸鐵小棒教具，讓學(xué)生聚焦邊的特征，即一個(gè)空心的四邊相等的四邊形。在搭建小棒的過程中，四邊形的易變特性凸顯，如果任意拉動(dòng)四條邊，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)四邊形內(nèi)角有對(duì)角相等的規(guī)律。孩子們驚呼：是菱形嘛！又有學(xué)生感嘆：那不也是平行四邊形嘛！由此我們可以感悟：學(xué)生對(duì)于“下位概念”的認(rèn)知優(yōu)先于“上位概念”，如果就事論事地教學(xué)“下位概念”的內(nèi)涵與外延，其實(shí)是在重復(fù)孩子的原有學(xué)習(xí)狀態(tài)，“枯燥感”不言而喻。因此筆者非常崇拜吳老師提出的觀點(diǎn)：尋找圖形的特性和共性的過程，……有利于促進(jìn)學(xué)生形成具有穿透力的敏銳眼光，……還要補(bǔ)充一句：教師的教學(xué)熱情被孩子們的靈光閃現(xiàn)而點(diǎn)燃！

二、給足時(shí)間，以學(xué)生的起點(diǎn)為本體設(shè)計(jì)“因人而異”的研究作業(yè)

就上一論點(diǎn)的結(jié)尾，放慢教學(xué)進(jìn)度的目的在于給足學(xué)生研究的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間的充裕不能片面地說是把課堂的40分鐘還給學(xué)生。如果這些研究課題能在若干個(gè)40分鐘內(nèi)解決，那是不現(xiàn)實(shí)的。筆者以自己任教學(xué)生的實(shí)際起點(diǎn)為本，不斷調(diào)整研究作業(yè)的實(shí)施。如右圖是兩位學(xué)生的研究作業(yè)，完成得十分出色，而她們都是性格內(nèi)斂的女孩，在課堂中羞于大膽發(fā)言，表明觀點(diǎn)。如果把研究作業(yè)設(shè)置在家庭作業(yè)中，那么這些不張揚(yáng)的孩子們更能通過文字圖形盡情研究，展現(xiàn)自己的才華。筆者發(fā)現(xiàn)整個(gè)班級(jí)至少有三分之一的孩子是適合家庭研究作業(yè)的。以上左圖是小赫同學(xué)在研究了三角形、四邊形的內(nèi)角和后，拓展了六邊形內(nèi)角和的研究。筆者問她：“為什么不研究五邊形的內(nèi)角和？”她說：“在動(dòng)手操作移拼的過程中無法拼出兩個(gè)周角，六邊形正好能實(shí)現(xiàn)?！毙☆櫷瑢W(xué)提示：“因?yàn)樗倪呅慰梢苑指畛蓛蓚€(gè)三角形，一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形內(nèi)角和就是180°×2=360°；以此類推，五邊形可以分割成四邊形和三角形，那么五邊形內(nèi)角和是180°+ 360°=540°。何必再用剪拼的方法拓展證明呢？”這樣的生生互動(dòng)，讓大家熱血沸騰。小顧又說：“老師，我忽然想到等差數(shù)列的公式可以通過多邊形內(nèi)角和的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，我也明白了奧數(shù)老師教的公式了，根本不需要背嘛！”

給足時(shí)間讓孩子專注研究平面圖形的內(nèi)角和，為后續(xù)學(xué)習(xí)圖形面積的計(jì)算提供了更廣闊的思路。就如上右圖小雋同學(xué)，她在研究三角形內(nèi)角和的第一種方法，通過折的方法，將三個(gè)角拼合成平角。不要小看她的方法，這個(gè)方法給其他同學(xué)開拓了面積計(jì)算的推導(dǎo)過程。如右圖是小楓同學(xué)受到啟發(fā)后的驗(yàn)證，筆者利用他的思考過程引導(dǎo)學(xué)生互動(dòng)：三角形的面積包含了兩個(gè)相同長(zhǎng)方形的面積，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是三角形底和高的一半，即：因?yàn)镾長(zhǎng)方形=(a÷2)×(h÷2)，又因?yàn)镾三角形=2S長(zhǎng)方形，所以S三角形=(a÷2)×(h÷2)×2，化簡(jiǎn)后的三角形面積計(jì)算公式：S三角形=(a÷2)×h。

三、靜心關(guān)注，以學(xué)生在過程研究中的“智慧火花”為教學(xué)資源進(jìn)行深度開發(fā)

還是以面積計(jì)算推導(dǎo)為列，學(xué)生對(duì)“面積”的概念的理解還是有障礙的，特別是面積單位的理解還停留在表層。為此，筆者設(shè)計(jì)了研究作業(yè)：回憶長(zhǎng)方形面積計(jì)算猜測(cè)平行四邊形面積如何計(jì)算？前文中小雋的思考給了大家一個(gè)參考：平行四邊形有斜邊，是否能用“正三角形”作為面積單位來測(cè)量面積？這個(gè)猜想讓我想到潘曉明老師關(guān)于平行四邊形面積的教學(xué)案例中，提到有的同學(xué)認(rèn)為平行四邊形的面積與兩條邊有關(guān)，通過驗(yàn)證此猜想不成立，平行四邊形的面積與一條邊和它所對(duì)應(yīng)的高有關(guān)。當(dāng)時(shí)，我閱讀后，對(duì)教師的處理與學(xué)生的辯駁一直都沒有理解，在當(dāng)時(shí)自己任教的班級(jí)里嘗試后也感覺是“囫圇吞棗”。時(shí)隔四年，小雋同學(xué)給了我很大的啟發(fā)，現(xiàn)在做以下梳理：由于面積單位是規(guī)定單位的正方形，即邊長(zhǎng)為1厘米、1分米、1米等的正方形，因此長(zhǎng)方形的面積可以用正方形的方格紙直接測(cè)量；而平行四邊形有半格現(xiàn)象，所以孩子會(huì)自然而然地想到改變面積單位的形狀，用正三角形作為面積單位，可以得到整數(shù)個(gè)的面積單位。之后她又自我改變了思路，這樣的面積個(gè)數(shù)與邊的長(zhǎng)度無關(guān)，無法通過長(zhǎng)度的乘積得出面積單位的個(gè)數(shù)。除了用規(guī)定單位的正方形作為面積單位，在實(shí)際生活中還會(huì)用正圓來做面積單位解決實(shí)際問題。就如蘇教版中一個(gè)練習(xí)：這樣的8堆木材，一共有多少根？

筆者提示：這些木堆的橫截面是梯形，木棍的橫截面是正圓，并且有規(guī)律地平鋪于梯形的表面，那么木棍的根數(shù)與梯形的面積有關(guān)。再請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考：求梯形面積所需的條件，上下底的根數(shù)以及層數(shù)。

四、開拓視野，幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程

通過閱讀吳老師撰寫的《新基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要》中關(guān)于三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、梯形面積之間互相轉(zhuǎn)化的指導(dǎo)，以及整體的歸納。忽然明白自己的“小打小鬧”如果沒有全局觀的統(tǒng)領(lǐng)，那么孩子對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程將是“一知半解”的。因此筆者布置了研究作業(yè)：運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想推導(dǎo)三角形、梯形的面積計(jì)算公式，其中兩位學(xué)生的梯形面積推導(dǎo)值得一提，精彩在于中位線的認(rèn)識(shí)與理解，對(duì)學(xué)生面積計(jì)算的推導(dǎo)證明有著推波助瀾之力。梯形面積計(jì)算的方法得以拓展，即：中位線×高。

就以上觀點(diǎn)綜合所述，“急生活，讓我們丟了生活”，那么操之過急的教學(xué)，會(huì)讓我們迷失孩子本真。他們的“真心”需要我們教者放慢自己行走的速度，和“蝸?！币黄馉恐摺?/p>