以知識整合促思維躍遷

高金德+++徐鐸厚

摘 要：相對于知識的線性展開，知識間的整合對學生的思維發(fā)展具有更大的價值.因此，教師要開發(fā)整合課程，以幫助學生整合不同知識，促進思維方式的轉變和躍遷，發(fā)現(xiàn)知識之間的內在統(tǒng)一，使貌似互不相容

課程內容的編排和教學過程的推進，一般都按照由簡到繁、由低級到高級、由直觀到抽象的循“序”原則進行.這對于線性知識的學習非常有利，但當遇到知識間跨度較大的情況，師生則會遇到極大挑戰(zhàn).

就拿“方程”與“函數(shù)”來說，單純從某一個方面出發(fā)，而不考慮二者的內在統(tǒng)一性，就有可能走到“山重水復”的境地.在現(xiàn)實的課堂中，雖然有些教師在講授函數(shù)的時候，會涉及方程的知識，但大多采用拿來主義的方式為我所用，學生難以從更高的層面把握二者的本質聯(lián)系，無法整合思維慣性，難以形成上位思考.為此，我們開發(fā)實施了專門的整合課程，以幫助學生整合不同知識，促進思維方式的轉變和躍遷，發(fā)現(xiàn)知識之間的內在統(tǒng)一，體驗“峰回路轉”，享受“柳暗花明”.

一、順勢而為突遇障礙 智慧顯現(xiàn)盡在后續(xù)

教師：請同學們一起回答下面算式的結果.（板書：2-1=？）

學生驚訝.

教師：那如果我將上式改成下面一個等式，你會想到什么呢？（板書：x-1=1）

學生1：這是一個一元一次方程.

學生2：這個方程的解為x=2.

教師：很好，那如果我再將上式改成下面一個方程，你又會想到什么呢？（板書：x-y=1）

學生1：這是一個二元一次方程.

學生2：這個方程的解為x=y+1.

學生3：不對，x=y+1不是該方程的解，x的值應該是一個具體的值.所以這個方程沒有解.

學生4：不對，我看x=2，y=1就應該是這個方程的解.

教師：噢，還有其他表達形式的解嗎？

學生1：有，x=3，y=2； x=4，y=3；x=5，y=4等等都是該方程的解.

學生2：這些解的形式是成組出現(xiàn)的，并且有無數(shù)組.

教師：既然二元一次方程x-y=1有無數(shù)組解，那么我們究竟用怎樣的方式來表示這無數(shù)組解呢？用怎樣的呈現(xiàn)形式來更為直觀地描述這無數(shù)組解呢？

課堂現(xiàn)場：學生討論，無果，留下疑惑：方程的解都是具體的數(shù)值，而能滿足方程成立的數(shù)值有無數(shù)組，無數(shù)組解的表達是永遠不可能實現(xiàn)的.

教師：請同學們思考一下，在過去的學習中，哪些知識是用有限形式代表了無限形式的表達呢？

學生1：循環(huán)小數(shù)的表達是用有限形式代表無限形式的.比如：0.33……，因小數(shù)點后面有無限多個3而無法全部寫出，故用0.■表示即可.

學生2：無理數(shù)的表達也是用有限形式代表無限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一個無限不循環(huán)小數(shù)，如果把所有的小數(shù)點后面的部分用數(shù)字表達是無法全部寫出的，故用■或-■來表示即可.

學生3：在幾何作圖的時候也存在用有限形式替代無限形式的表達方式，比如直線AB的作圖，我們即可用下圖的作圖方式表達，端點A、B之外表示向兩方無限延伸.（學生作圖如下）

學生4：哦，看來不能用常規(guī)形式表達的時候，可以轉化其表達形式.所以我想二元一次方程x-y=1的無數(shù)組解也應該有辦法表達，只不過要選擇一種新的表達形式，那又該選擇怎樣的表達形式呢？

【設計意圖】通過教師將三個等式逐一列舉的過程，讓學生感受從算式到方程的微妙變化；讓學生意識到一元一次方程有唯一一組解，而二元一次方程則有無數(shù)組解.于是一個問題將呈現(xiàn)在學生面前：二元一次方程的無數(shù)組解該如何表達？窮極學生思維，把學生帶到“行到水窮處”的境地，讓他們體驗到“山重水復疑無路”的窘迫，引發(fā)學生欲罷不能、躍躍欲試的情感沖動.

二、歷史融入智慧復演 原理探究策略達成

教師：這個問題，在數(shù)學發(fā)展史上有很多人研究過，法國數(shù)學家費馬就是其中一位.1630年在其論文《平面與立體軌跡引論》中提到：“兩個未知量決定的方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線.”大家從這句話中，能否發(fā)現(xiàn)什么呢？

學生1：我認為這位數(shù)學家是從軌跡的角度研究方程的，即從直線或曲線的角度研究方程式.這樣一來，直線或曲線的形式將更為直觀地描述無數(shù)組解，跳出方程的解的常規(guī)思路.

學生2：可是如何從軌跡的角度研究方程呢？就比如我們剛才探討的二元一次方程x-y=1，它怎么能與軌跡聯(lián)系到一起呢？

學生3：我們原來學習一次函數(shù)的時候，往往要研究函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象是一條直線，可是這里沒有一次函數(shù)的解析式啊.怎樣才能把二元一次方程與一次函數(shù)建立聯(lián)系呢？這種聯(lián)系又要通過怎樣的方式方法來實現(xiàn)呢？

教師：很好，大家的思考非常有價值.我們研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其無數(shù)組解.對于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是該方程的解，像這樣形式的解有無數(shù)組.我們如果將其轉化成有序實數(shù)對（1，0），（2，1）形式，那么也就構成了點的坐標形式……

學生1：老師，您的意思是否是這樣的：把 x=1，y=0，x=2，y=1，通過有序實數(shù)對的形式轉化成點坐標（1，0），（2，1），并在直角坐標系中表示出來.這樣方程的兩組解就轉化成兩個點，這兩個點不正是方程的兩組解所對應的軌跡嗎.

學生2：如果能將更多組解轉化成其對應點的軌跡，那么方程對應的軌跡不就表示出來了嗎.可是無數(shù)組解一個一個地轉化不也是很麻煩的嗎？

教師：這個問題問得非常好，哪位同學能夠幫助他解決這個問題？

學生3：其實，將二元一次方程x-y=1進行恒等變形為y=x-1的形式，就有點一次函數(shù)的外形了.聯(lián)系到我們學過的一次函數(shù)圖象，就可以把x的值與對應的y的值看成是數(shù)對，在平面直角坐標系中找到對應的點.如此，二元一次方程無限組解的表達困難也就因新的表達方式迎刃而解.

教師：非常好，大家探究的正是方程和函數(shù)內在統(tǒng)一性的問題，請大家整理一下自己的發(fā)現(xiàn).

【設計意圖】一次函數(shù)及其圖象的引入有多種方式，本環(huán)節(jié)我們是通過二元一次方程引入一次函數(shù)，通過對方程的解引入函數(shù)圖象，讓學生更為深刻地知道函數(shù)圖象的形成原因.這種做法恰恰符合大數(shù)學家費馬的解析幾何的基本原理.同時，教材知識的安排一般按照從數(shù)、等式、方程、方程的解、函數(shù)、函數(shù)圖象這樣一種順序，因此以上環(huán)節(jié)的探究活動更符合學生的認知規(guī)律.

融入費馬解析幾何的基本原理，目的就是讓學生在融入數(shù)學家思想的前提下對已有的問題進行思考，這正是數(shù)學家智慧復演的現(xiàn)實體現(xiàn).在這樣一個過程中，我們自然達成二者的內在統(tǒng)一性：1、單組解與單個點的內在統(tǒng)一性，即二元一次方程的一組解唯一對應一次函數(shù)圖象的一個點. 2、無限組解與整個圖象的內在統(tǒng)一性.即二元一次方程組的所有組解與一次函數(shù)圖象完全對應統(tǒng)一.同時形成研究二元一次方程與一次函數(shù)的策略：站在“形”的角度研究二元一次方程的解——數(shù)，即用一次函數(shù)圖象來表達二元一次方程的無數(shù)組解；站在“數(shù)”的角度研究一次函數(shù)圖象——形，即用二元一次方程無數(shù)組解來認識一次函數(shù)的圖象.

如此一來，學生便有了一種“坐看云起時”的釋然，體驗到“柳暗花明又一村”的快樂.

三、策略運用勢不可擋 知識匯聚四方輻輳

教師：請同學們思考以下問題：

1.一次函數(shù)y=x-1與y=-2x+1在同一坐標系中的圖象如圖1所示，思考：問題1：從方程的角度看，兩條直線代表什么？

問題2：從函數(shù)圖象上看到的兩條直線的交點A，從方程的角度看，它又有怎樣的含義？

學生1：一次函數(shù)y=x-1的圖象可以認為是二元一次方程y=x-1所表達的無數(shù)組解，同理，一次函數(shù)y=-2x+1的圖象可以認為是二元一次方程y=-2x+1所表達的無數(shù)組解，點A可以認為是同時滿足兩個二元一次方程y=x-1和y=-2x+1的一組解.

學生2：如果進一步思考的話，聯(lián)立方程組y=x-1，y=-2x+1并求出該組解，即可得點A坐標.

教師：很好，那么我們又如何處理下面這個陌生的問題呢.

2.一次函數(shù)y=x-1與二次函數(shù)y=x2-x-2在同一坐標系中的圖象如圖2所示.思考：如何求出直線與拋物線的交點坐標A、B？

學生1：老師，二次函數(shù)是什么意思，我們還沒有學過啊.

學生2：我們可以認為后面一個是一個二元二次方程，它對應的曲線就是方程y=x2-x-2的無數(shù)組解.直線對應的是方程y=x-1的無數(shù)組解.點A、B正是同時滿足以上兩個方程的公共的兩組解.

因此聯(lián)立方程組y=x-1，y=x2-x-2，求解即得A、B的坐標.

教師：很好，下面涉及到高中函數(shù)內容的問題，不知大家敢嘗試嗎？

課件展示：3、觀察下列函數(shù)圖象（圖3—圖6），請說出其交點坐標的求解思路.

學生：在圖3中點A可以認為是二元一次方程y=x+1與二元三次方程y=x3的公共解，聯(lián)立方程組y=x+1y=x3求解，即得交點坐標，后面三個問題也是如此.

【設計意圖】學生在明晰費馬解析幾何基本原理的基礎上得出方程與函數(shù)的內在統(tǒng)一性之后，自然可在函數(shù)圖象交點問題的求解過程中形成策略.而這一策略的應用范圍是非常廣泛的，在更多的函數(shù)圖象中，凡是討論到交點的問題，聯(lián)立方程組是一條非常好的思路.

當這種策略根植于學生的內心世界中，面對同類問題，不管其中的知識是學過的，還是沒有學過的，都能迎刃而解.而牽扯到學生尚未學習過的知識，也能圍繞策略的運用而匯聚在一起，正如車輪上的輻條聚集在轂上那樣匯集到一處.學生通過策略的運用看到更為廣闊的知識天地，也將發(fā)現(xiàn)這些不同知識背后的聯(lián)系.

像這樣一種方式的課堂，問題的呈現(xiàn)不是簡單的羅列，而是在符合學生認知規(guī)律前提下由淺入深的設計；思維的呈現(xiàn)不是即時性的，而是一個有序的、突出其連續(xù)性的思維鏈條，前后呼應，互為印證，在解決問題的過程中打通知識之間的通道，搭建知識之間的橋梁；策略的呈現(xiàn)不是教師直接給予的，而是在深入思考問題的過程中凝聚而成的經(jīng)驗結晶；知識的呈現(xiàn)不是嚴格按照教材中規(guī)定的先后次序進行，而是在學生的思維及思維的躍遷中，自然而然地熔煉成一個相對完整的體系，看似打亂了章節(jié)知識的次序，實則建構了學生整體把握知識的意識.

數(shù)學知識在教材中的呈現(xiàn)有先后，但學生的思維發(fā)展有時需要躍遷，也正是這種跳躍催生新的知識，這在數(shù)學發(fā)展史上成為常態(tài).由此，基于教材而不拘泥于教材設計的整合課程，理應走進學生，成為促進學生發(fā)展的有效方式之一.在日常教學中，我們充分挖掘不同類型的知識之間的跨界價值，開發(fā)出很多這樣的整合課程，深受學生歡迎.

可見，數(shù)學教學改革，不應也不會專注于“術”的癡迷而失卻“道”的考量，迫切需要形而上的大格局意識.因為，沒有這種形而上的深度思考，就很難形成形而下的精準定位.當學生有了對知識之間的本質屬性的把握后，居高臨下，融會貫通，才能既見到樹木，又看到森林，貌似互不相容的“天塹”因變換解決問題的角度而成為“通途”.