古塔變形的數(shù)學(xué)分析

摘 要：古塔受到長(zhǎng)年累月的各種外力因素影響后，容易發(fā)生各種變形，通過對(duì)古塔建立各種變形模型，以便對(duì)其變形情況進(jìn)行詳細(xì)的分析，為其保養(yǎng)、修復(fù)等工作提供必要的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：古塔變形；扭曲；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：O242.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A收稿日期：2016-09-18

作者簡(jiǎn)介：馮英華（1977—），男，山東壽光人，濰坊科技學(xué)院副教授，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

考慮到古塔可能的各種變形情況，本文從古塔的傾斜程度、彎曲程度、扭曲程度等變形情況進(jìn)行分析。在分析之前，管理部門通過委托測(cè)繪公司在近30天的時(shí)間里對(duì)古塔進(jìn)行了四次定點(diǎn)測(cè)量，得到了系列數(shù)據(jù)。

1.塔的傾斜情況

由于古塔最初是垂直于地面的，該塔的傾斜情況即是偏離了原來的位置有多少，根據(jù)每層的測(cè)量數(shù)據(jù)求出古塔各層的中心點(diǎn)坐標(biāo)，這些中心點(diǎn)中的大多數(shù)點(diǎn)所在的空間直線即為傾斜直線。

先利用MATLAB軟件畫出第一次測(cè)量年份各層中心點(diǎn)的散點(diǎn)圖（見下圖），可以看出其大致排列在一條空間直線上，我們?cè)O(shè)擬合函數(shù)為：

x=az+b

y=cz+d

其中a、b、c、d為待定系數(shù)。利用Matlab可求出該空間直線的方程為：

x=0.0107z+566.6336

y=-0.0072z+522.7259

該直線的方向向量為s={0.0107， -0.0072，1}，地面的法向量為n={0，0，1}，這兩向量之間的夾角即為傾斜角θ。

cosθ= ≈0.99917

則arccosθ≈0.012896，即這一年的傾斜角為0.738886度。

同理可求得其他年份的傾斜直線、傾斜角。

2.分析古塔的彎曲情況

我們可以用塔的中心點(diǎn)的彎曲情況來表示塔的彎曲變形情況，由于中心點(diǎn)彎曲變形，直接利用Matlab進(jìn)行擬合空間曲線難度較大，考慮到塔的中心點(diǎn)大多在塔中心的傾斜線所在的垂面內(nèi)，所以可以在此垂面內(nèi)重新建立平面直角坐標(biāo)系，將空間曲線擬合問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的曲線擬合問題，用第一層的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，假定各層的中心點(diǎn)都能投影在古塔傾斜直線的投影所成的那條直線上（個(gè)別中心點(diǎn)偏離引起的誤差忽略不計(jì)），并以該直線為軸，以第一層的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于軸的直線為軸建立一個(gè)新的直角坐標(biāo)系，則可以得到各觀測(cè)點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

然后我們?cè)谠撟鴺?biāo)系內(nèi)利用Matlab擬合出中心點(diǎn)彎曲形成的曲線形式，為了找出更為合適的曲線方程，我們分別進(jìn)行了第二次、第三次、第四次和第五次的曲線擬合判斷分析。

通過對(duì)四次測(cè)量中對(duì)應(yīng)的中心點(diǎn)的擬合，可以看出第五次擬合已經(jīng)非常精確，更能夠比較精確地體現(xiàn)出古塔的彎曲程度。同時(shí)考慮到建筑物在自然條件下通常上半部分比下半部分彎曲程度更大，所以我們選用擬合程度更好的第五次曲線。

設(shè)擬合函數(shù)為：

y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f

根據(jù)Matlab程序運(yùn)行可得每個(gè)測(cè)量年份的古塔彎曲擬合曲線。

利用曲率公式K= ，可得各層中心點(diǎn)的曲率。

從計(jì)算結(jié)果得出如下結(jié)論：在這四次測(cè)量中曲率從第一層逐漸變小，中間略有波動(dòng)，彎曲程度較小，從第十層往上彎曲程度逐漸變大。

3.分析古塔的扭曲情況

物體因受到外力作用而扭曲變形，相對(duì)于原來位置而發(fā)生的改變程度稱為扭曲度。在扭曲過程中，物體上的點(diǎn)投影到坐標(biāo)水平面上，點(diǎn)的投影相對(duì)于原來位置點(diǎn)的投影發(fā)生變化而形成的投影曲線稱為扭轉(zhuǎn)曲線。扭轉(zhuǎn)曲線上在一點(diǎn)處的曲率稱為該點(diǎn)的扭曲度。扭曲度的大小反映了物體的扭轉(zhuǎn)程度。

我們用古塔的中心點(diǎn)來研究古塔的扭曲情況，將各層中心點(diǎn)投影到xoy平面上，投影點(diǎn)所形成的曲線的彎曲情況即為古塔的扭曲情況。

根據(jù)投影點(diǎn)坐標(biāo)和Matlab可擬合出測(cè)量年份的二次曲線并求得方程。

利用曲率公式K= ，可得各中心點(diǎn)的曲率。

由于測(cè)量次數(shù)比較少，在擬合古塔變形趨勢(shì)時(shí)，擬合度不高。隨著以后測(cè)量次數(shù)的增加，需進(jìn)一步修正變形趨勢(shì)的曲線。

參考文獻(xiàn)：

[1]王文波.數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識(shí)詳解[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2007.

[2]何祝斌，苑世劍，滕步剛，等.多曲率旋轉(zhuǎn)殼體液壓脹形實(shí)驗(yàn)研究[J].塑性工程學(xué)報(bào)，2003（5）.