天平在方程教學(xué)中的價(jià)值追尋

胡余芳

摘 要：方程是中小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，其內(nèi)涵豐富而抽象。在小學(xué)起始階段的“方程的意義”教學(xué)中，巧用天平能夠幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維發(fā)展的首次轉(zhuǎn)折。以此課為例，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)方程的心理狀態(tài)，追尋天平在方程意義教學(xué)中的價(jià)值，以便更好地開展方程的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：天平；方程；相等關(guān)系

方程是中小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，其內(nèi)涵豐富而抽象。在小學(xué)起始階段的“方程的意義”教學(xué)中，人教版教材設(shè)計(jì)了一組“用天平稱質(zhì)量”的情境圖，意圖通過(guò)天平演示引出等式；再通過(guò)逐步嘗試、調(diào)整，在相等與不等的比較中建立方程的概念。那么，怎樣才能巧用天平、用好天平？為此筆者作了如下探索：

一、課前思考與本質(zhì)解讀：天平的價(jià)值究竟何在

對(duì)于本課的教學(xué)，有太多的范例可循，通常都采用“天平演示寫出式子（相等與不等、有字母與無(wú)字母）——進(jìn)行兩次分類——抽象出方程的意義——進(jìn)行方程的應(yīng)用”的教學(xué)流程。然而這樣教學(xué)，我們不難發(fā)現(xiàn)，天平的作用僅僅體現(xiàn)在了“引出相等與不等式、提供分類素材”中，之后的學(xué)習(xí)脫離了天平，學(xué)生基本是在憑借“外形”模仿著列方程，所遇到的最大困難就是不能準(zhǔn)確、迅速地找到數(shù)量間的相等關(guān)系。

通過(guò)前測(cè)，筆者也發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)學(xué)生對(duì)方程都有認(rèn)知，有的還能用圖示、線段、文字等來(lái)描述。但是盡管學(xué)生對(duì)方程表征的內(nèi)容、方式很多元，也都很自然地與天平取得了聯(lián)系，體現(xiàn)了類似天平左右兩邊相等的現(xiàn)象。不過(guò)他們對(duì)方程的認(rèn)識(shí)還僅僅局限于初步感知，直覺思維；對(duì)于方程與等式、式子、不等式之間的聯(lián)系與區(qū)別不夠明確；更有甚者，在不少學(xué)生頭腦中，錯(cuò)誤地認(rèn)為，只要有未知數(shù)的都是方程。

東北師范大學(xué)前校長(zhǎng)史寧中教授認(rèn)為：“雖然方程在教科書中定義為‘含有未知數(shù)的等式，但應(yīng)當(dāng)知道方程的本質(zhì)是在講兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事有一個(gè)共同點(diǎn)，在這個(gè)共同點(diǎn)上兩個(gè)故事的數(shù)量相等?！边@就表明，光從定義出發(fā)去判斷一個(gè)式子是不是方程意義不大。認(rèn)識(shí)方程最大的意義在于：要讓學(xué)生知道方程是一種等價(jià)的思想，是把未知量視為已知數(shù)同等性質(zhì)可參與運(yùn)算的量，利用等量關(guān)系構(gòu)造出方程，進(jìn)而求得問(wèn)題的解。

鑒于以上認(rèn)識(shí)，筆者認(rèn)為：天平起著重要的“思維圖像”的作用，它能為方程意義的建構(gòu)搭建形象直觀的腳手架，能幫助學(xué)生深化對(duì)“相等關(guān)系”的理解，能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維發(fā)展的首次轉(zhuǎn)折。在本課的教學(xué)中，無(wú)論是方程建模本身的需要，還是遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，都需要借助天平，并把它貫穿于整堂課的始終，甚至延伸課后。

二、實(shí)踐探索與教學(xué)反思：天平的價(jià)值如何體現(xiàn)

方程建模的關(guān)鍵在于理解“相等關(guān)系”，學(xué)生能從現(xiàn)實(shí)情景中等價(jià)抽象出自然語(yǔ)言，再把自然語(yǔ)言用數(shù)學(xué)符號(hào)等價(jià)地表達(dá)出來(lái)。為此，我設(shè)計(jì)了“借天平”“離天平”“回天平”“憶天平”四個(gè)環(huán)節(jié)展開教學(xué)。

（一）“借天平”，溝通等式與方程

【課堂行進(jìn)】

1.出示教材五幅主題圖，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)式子表示圖意。

2.學(xué)生試寫，教師巡視。

3.匯報(bào)交流，反饋得到下列式子：

50+50=100、100+x>100、100+x>200、100+x<300、100+x=250

4.分析上述等與不等的產(chǎn)生情況，認(rèn)識(shí)等式。

5.小步子練習(xí)：根據(jù)天平演示的情況寫出等式。

【思緒整理】

學(xué)習(xí)方程的概念要從認(rèn)識(shí)等式開始，因此，教材安排的主題圖為引入方程概念奠定了初步的、感性的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。教學(xué)時(shí)，考慮到學(xué)生對(duì)方程不是“一無(wú)所知”，因此對(duì)五幅圖進(jìn)行了處理：去掉式子，只呈現(xiàn)情境，讓學(xué)生在四人小組內(nèi)自主體會(huì)圖意，先用語(yǔ)言描述，再寫出等式（方程）和不等式，進(jìn)而認(rèn)識(shí)等式，初步感知方程。同時(shí)通過(guò)“確定水的質(zhì)量”，使學(xué)生體會(huì)到只有在等式里才能明確得出水的質(zhì)量，而我們要研究的就是這樣的等式。再結(jié)合天平直觀圖中的小步子練習(xí)，為后續(xù)環(huán)節(jié)的展開作好鋪墊。

（二）“離天平”，豐富方程的外延

【課堂行進(jìn)】

1.根據(jù)相等關(guān)系寫出等式。

2.學(xué)生試寫，教師巡視。

3.匯報(bào)交流，呈現(xiàn)方程形式的多樣性，豐富表象。

【思緒整理】

數(shù)學(xué)概念是固定的，但呈現(xiàn)概念的方式是豐富的。生活中存在許多相等關(guān)系，要讓學(xué)生根據(jù)生活情境、文字信息、線段圖示等獲得更加多樣的等式，以豐富方程的外延。教學(xué)時(shí)，我選擇了四個(gè)具有代表性的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生提取相等關(guān)系，寫出等式，豐富表象。

（三）“憶天平”，構(gòu)建起方程模型

【課堂行進(jìn)】

1.“嫁接”天平，體會(huì)天平平衡與左右兩邊相等的同理。

2.學(xué)生嘗試、匯報(bào)交流，結(jié)合學(xué)生回答，動(dòng)態(tài)演示移動(dòng)過(guò)程。

3.整理剛才所學(xué)，抽象出方程概念。

4.揭示方程概念，閱讀課本加深印象。

【思緒整理】

離開天平寫等式的過(guò)程并不順利，要使學(xué)生面對(duì)豐富多樣的情境，也能進(jìn)入對(duì)方程模型的自覺運(yùn)用中，天平還得起到“扶手”的作用。因此，在寫完等式后的反饋說(shuō)理環(huán)節(jié)，仍要引導(dǎo)學(xué)生回憶天平的模型，把兩個(gè)具有相等關(guān)系的量放在天平的兩邊，使學(xué)生體會(huì)到“等式左右兩邊相等和我們剛才天平平衡、左右兩邊相等的道理是一樣的”“離開了天平，但生活中的例子有時(shí)還真可以想象成天平的樣子”，使學(xué)生不斷加深對(duì)方程本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，進(jìn)一步明晰方程概念的內(nèi)涵，感知方程的多樣性、拓展外延。

當(dāng)學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)后，就要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造：將原本在頭腦中相對(duì)粗淺、片面、原始的經(jīng)驗(yàn)通過(guò)概括、辨析等數(shù)學(xué)活動(dòng)逐步成長(zhǎng)為較為系統(tǒng)、明確的數(shù)學(xué)概念。然而這一過(guò)程也需要“漸入佳境”，因此，我有意識(shí)地拉長(zhǎng)這個(gè)知識(shí)抽象的時(shí)間跨度，設(shè)計(jì)了一個(gè)“整理剛才所學(xué)，抽象方程概念”的過(guò)程，把之前學(xué)習(xí)過(guò)程中所有出現(xiàn)的圖和式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，揭示概念，以保證不同的學(xué)生都能有多層次、多形式的嘗試體驗(yàn)。

（四）“回天平”，加深對(duì)方程的認(rèn)識(shí)

【課堂行進(jìn)】

1.明確判斷方程的方法，進(jìn)行判斷練習(xí)，總結(jié)方程與等式關(guān)系的韋恩圖。

2.回顧學(xué)習(xí)歷程，小結(jié)學(xué)習(xí)所得，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，得出結(jié)論：“這節(jié)課我們借助天平寫出了方程，生活中的數(shù)量關(guān)系就像一架隱形的天平也能寫出方程”。

3.再建天平，進(jìn)行知識(shí)整合，溝通前后聯(lián)系。

（1）聯(lián)想：怎樣使x+30、7x成為方程。

（2）思考：繼續(xù)稱，天平會(huì)怎樣？如果還想讓天平保持平衡應(yīng)該怎么做？

【思緒整理】

數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯性和內(nèi)在聯(lián)系，舊知是學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ)，新知是舊知的延伸和發(fā)展，知識(shí)之間的縱橫交錯(cuò)形成了系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是把平時(shí)學(xué)到的“分散”“雜亂”的知識(shí)通過(guò)理解和內(nèi)化，逐步擴(kuò)充、完善他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以，在揭示方程概念之后，我一方面通過(guò)一組判斷題及時(shí)地檢驗(yàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，另一個(gè)方面仍緊緊扣住“天平”的紐帶作用，把“方程”和之前學(xué)的“用字母表示數(shù)”聯(lián)結(jié)起來(lái)；還把天平游戲進(jìn)行了補(bǔ)充，使學(xué)生在有趣的情境中初步體會(huì)了等式的性質(zhì)，為下節(jié)課做好了鋪墊。

教學(xué)實(shí)踐證明，當(dāng)學(xué)生還處在懵懂狀態(tài)時(shí)，“借天平”喚醒了學(xué)生對(duì)等式的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生建立了初步的“相等”意識(shí)；當(dāng)學(xué)生取得足夠進(jìn)步時(shí)，“離天平”幫助學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)表達(dá)，為抽象出“方程”的意義做好了充分的準(zhǔn)備；當(dāng)形成數(shù)學(xué)概念時(shí)，“憶天平”再次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行內(nèi)化梳理，體會(huì)方程的內(nèi)涵，抽象出了方程的概念；當(dāng)進(jìn)行知識(shí)聯(lián)結(jié)時(shí)，“回天平”又進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生架構(gòu)起了知識(shí)的前后聯(lián)系。方程概念的內(nèi)涵和外延，在天平“步步為營(yíng)”的引領(lǐng)下得到了充分的探究，教學(xué)取得理想的效果。

總之，方程的本質(zhì)是等價(jià)關(guān)系，天平的本質(zhì)是平衡關(guān)系，我們可以把方程類比遷移到天平，甚至可以把天平看成是方程的形象表征。就讓我們用好天平、用足天平，讓天平成為方程建模的“最佳拍檔”吧！

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