基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度及IOWGA算子的組合預(yù)測(cè)方法及應(yīng)用

胡文權(quán)，葛文，唐旭，徐長(zhǎng)虹，崔逍

(1.寧波市測(cè)繪設(shè)計(jì)研究院，浙江 寧波 315402； 2.寧波諾丁漢大學(xué)，浙江 寧波 315100)

基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度及IOWGA算子的組合預(yù)測(cè)方法及應(yīng)用

胡文權(quán)1*，葛文1，唐旭2，徐長(zhǎng)虹1，崔逍1

(1.寧波市測(cè)繪設(shè)計(jì)研究院，浙江 寧波 315402； 2.寧波諾丁漢大學(xué)，浙江 寧波 315100)

針對(duì)傳統(tǒng)組合模型建模準(zhǔn)則單一、權(quán)值固定不變的缺陷，引用最優(yōu)加權(quán)組合建模理論，在誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均(IOWGA)算子的基礎(chǔ)上，結(jié)合對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度，研究了一種改進(jìn)的IOWGA算子的組合模型。其核心思想是以對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度為準(zhǔn)則，基于單一模型各時(shí)刻擬合、預(yù)測(cè)的精度高低進(jìn)行有序賦權(quán)。文中對(duì)優(yōu)性組合的判定方法及組合模型預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)準(zhǔn)則亦進(jìn)行了研究。將組合模型應(yīng)用到寧波市某路基沉降預(yù)測(cè)中，取得了良好的效果，提高了預(yù)測(cè)精度，驗(yàn)證了模型的有效性。

對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度；IOWGA算子；組合模型；沉降預(yù)測(cè)

1 引 言

有序加權(quán)平均(OWA)算子是一種集結(jié)信息算子，它能有效地集結(jié)數(shù)據(jù)信息。自美國(guó)學(xué)者Yager提出該算子后，相關(guān)研究得到了國(guó)內(nèi)外專家的高度重視。目前，理論研究和實(shí)際應(yīng)用較多的是誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均(IOWGA)算子[1]和誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均(IOWHA)算子[2]?；诖祟愃阕拥慕M合模型，主要考慮依據(jù)單一預(yù)測(cè)方法在不同時(shí)刻的擬合、預(yù)測(cè)精度進(jìn)行有序賦權(quán)，此種建模方法可以避免因權(quán)值不變而導(dǎo)致精度降低、與實(shí)際不符等缺陷。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的組合模型[3]大都以誤差平方和最小作為建模準(zhǔn)則。近年來(lái)，依據(jù)相關(guān)性指標(biāo)而建立的組合模型得到了越來(lái)越多的應(yīng)用。本文采用相關(guān)性指標(biāo)對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度[4]作為優(yōu)化準(zhǔn)則，由此建立的組合模型的預(yù)測(cè)值更接近實(shí)際值，事實(shí)證明，用它作為優(yōu)化準(zhǔn)則具有可行性，將其應(yīng)用到沉降預(yù)測(cè)中，提高了預(yù)測(cè)精度，得到了良好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

2 基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度的IOWGA算子的組合模型的構(gòu)建

2.1 IOWGA算子

定義1令

(1)

定義2設(shè)(，，…，)為n個(gè)二維數(shù)組，令：

IOWGAw(，，L)

(2)

沉降預(yù)測(cè)中常以預(yù)測(cè)精度ait作為預(yù)測(cè)值xit的誘導(dǎo)值并與之組成二維數(shù)組，，…， 。將預(yù)測(cè)精度序列a1t，a2t，…amt按大小順序排序，設(shè)a-index(it)是第i個(gè)大的預(yù)測(cè)精度的下標(biāo)。據(jù)定義2可知：

(3)

其中，t=1，2，…，N，則稱式(3)為沉降量的組合預(yù)測(cè)值。IOWGA算子綜合考慮了各單一模型精度時(shí)高時(shí)低的特點(diǎn)，充分利用了其有用信息。

對(duì)式(3)兩邊取對(duì)數(shù)，得到：

(4)

xa-index(it)=lnxt-lnxa-index(it)

(5)

由式(4)和式(5)可得：

(6)

N期總的組合預(yù)測(cè)對(duì)數(shù)誤差平方和S為：

(7)

因此，基于IOWGA算子的組合預(yù)測(cè)模型的公式可表示如下：

(8)

根據(jù)上述定義的組合預(yù)測(cè)對(duì)數(shù)誤差信息方陣，上式可簡(jiǎn)記為：

(9)

其中，R=(1，1，…1)T。據(jù)矩陣論相關(guān)理論可知，若上述的組合對(duì)數(shù)誤差信息矩陣E為正定矩陣，則上式存在唯一最優(yōu)解[9]：

L*=E-1R/RTE-1R

(10)

2.2 基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度的IOWGA算子的組合模型

為了進(jìn)一步挖掘IOWGA算子在組合建模時(shí)的優(yōu)勢(shì)，本文試圖將相關(guān)性指標(biāo)中的對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度和IOWGA算子相結(jié)合，根據(jù)大小排序后的單項(xiàng)預(yù)測(cè)值加權(quán)計(jì)算組合預(yù)測(cè)值，實(shí)際建模時(shí)，以預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)變量且以對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度作為建模準(zhǔn)則，構(gòu)建一種基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度的IOWGA算子的組合模型。令

(11)

式(11)中，γi為第i種預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)數(shù)序列的灰色關(guān)聯(lián)度，γ為組合預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)數(shù)序列的灰色關(guān)聯(lián)度。上式中的ρ為分辨系數(shù)，取值范圍為：ρ∈(0，1)，通?？扇ˇ?0.5。

組合預(yù)測(cè)信息矩陣為：

(12)

由et和上式定義的對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度定義式，式(11)可改寫為：

(13)

分析上式可知對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度γ可由以權(quán)系數(shù)L=(l1，l2，…，lm)T為自變量的函數(shù)表示，簡(jiǎn)記為γ(L)。據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度的相關(guān)原理可知，對(duì)數(shù)灰色關(guān)聯(lián)度γ是判斷組合方法有效的重要指標(biāo)，其值越大表示組合預(yù)測(cè)方法越有效。對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度與IOWGA算子相結(jié)合的組合模型的組合權(quán)值可由下列表達(dá)式[10]求出。

(14)

該模型是一個(gè)非線性規(guī)劃模型，利用相關(guān)優(yōu)化軟件可以求解各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的加權(quán)系數(shù)。

2.3 最優(yōu)組合模型

(15)

若γ(L)>γmax，則所組建的模型為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)，若γ(L)<γmin，則所組建的模型為劣性組合預(yù)測(cè)，若γmin≤γ(L)≤γmax，則所組建的模型為非劣性組合預(yù)測(cè)。實(shí)際預(yù)測(cè)中根據(jù)上述定義判斷組合模型的優(yōu)劣性。

3 組合預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

對(duì)模型預(yù)測(cè)效果的評(píng)價(jià)同樣是一項(xiàng)重要的工作。預(yù)測(cè)精確性主要反映了預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，實(shí)際中常采用以下幾種誤差評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)評(píng)定組合預(yù)測(cè)的精度和準(zhǔn)確度[11]。

(1)均方誤差(MSE)

(16)

(2)預(yù)測(cè)誤差平方和(SSE)

(17)

(3)平均絕對(duì)誤差(MAE)

(18)

(4)平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)

(19)

(5)均方百分比誤差(MSPE)

(20)

4 實(shí)例及分析

某市的一段高速公路于2012年6月建成，為了解其軟土路基沉降變化情況，在道路兩側(cè)及中間布設(shè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)。按一定周期監(jiān)測(cè)其沉降量。

本文采用沉降變化顯著的監(jiān)測(cè)點(diǎn)作為研究對(duì)象，取其初始階段的19期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合、預(yù)測(cè)，其中選取前15期數(shù)據(jù)作為模型建立的依據(jù)，對(duì)后4期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)并將其與實(shí)際監(jiān)測(cè)值對(duì)比分析。

分別采用雙曲線法及灰色預(yù)測(cè)法兩種單一模型進(jìn)行擬合、預(yù)測(cè)。其兩種單一模型都是軟土路基沉降預(yù)測(cè)[12]中常用的模型。

雙曲線法的表達(dá)式：

(21)

式中：S0—原始沉降量(t=0)；St—t時(shí)刻的沉降量；t—時(shí)間間隔；α、β—由實(shí)測(cè)值求得的系數(shù)。由前15期數(shù)據(jù)可得雙曲線模型為：

St=34.48+t/(1.255+0.03t)。據(jù)得出的表達(dá)式，計(jì)算監(jiān)測(cè)點(diǎn)每期的沉降數(shù)據(jù)。前15期數(shù)據(jù)擬合值如表1所示，后4期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值如表2所示。

單一模型擬合值與實(shí)際值對(duì)比 表1

單一模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比 表2

根據(jù)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度及對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值可組成二維數(shù)組，，…，t=1，2，…15，根據(jù)式(2)可計(jì)算各時(shí)刻IOWGA算子的組合預(yù)測(cè)值。據(jù)式(14)可得基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度的組合模型表達(dá)式為：

解算上述非線性規(guī)劃問(wèn)題，可得：

l1=0.7762，l2=0.2238

表明建立組合模型時(shí)，預(yù)測(cè)精度高的模型權(quán)值為 0.776 2，精度低的模型權(quán)值為 0.223 8。

由表1和表2的數(shù)據(jù)結(jié)果可知，各單一模型的預(yù)測(cè)精度時(shí)高時(shí)低，都包含有用信息，故建立組合模型時(shí)，不可依據(jù)模型種類賦權(quán)，應(yīng)根據(jù)模型各時(shí)刻擬合、預(yù)測(cè)的精度賦權(quán)。根據(jù)式(3)，可得出各時(shí)刻組合預(yù)測(cè)值如表3所示。

組合預(yù)測(cè)值 表3

根據(jù)單一模型及組合模型的殘差信息計(jì)算各預(yù)測(cè)模型的精度評(píng)價(jià)指標(biāo)值如表4、表5所示。

模型擬合精度評(píng)價(jià)指標(biāo) 表4

模型預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)指標(biāo) 表5

根據(jù)表1、表2、表3中的數(shù)據(jù)繪制擬合、預(yù)測(cè)曲線圖如圖1所示。

圖1 模型預(yù)測(cè)曲線圖

由表1、表2、表3和圖1可知，組合模型的預(yù)測(cè)值更接近實(shí)測(cè)值，曲線預(yù)測(cè)趨勢(shì)與實(shí)測(cè)值曲線更吻合，更加符合實(shí)際情況。由表4、表5模型精度評(píng)價(jià)值可知，組合模型擬合、預(yù)測(cè)階段的誤差評(píng)價(jià)值均小于單一模型，表明組合模型能有效提高預(yù)測(cè)精度。

單一模型在不同時(shí)刻精度有高有低，表明每一個(gè)單一模型都包含有沉降量的有用信息。實(shí)例表明，基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度及IOWGA算子的組合預(yù)測(cè)方法，充分考慮到在不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)單一模型預(yù)測(cè)精度不同的特點(diǎn)，并以對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度為建模準(zhǔn)則，此種建模方法能夠有效利用各模型的有用信息。

計(jì)算單一模型及組合模型的對(duì)數(shù)關(guān)聯(lián)度值分別為：γ1=0.882 6，γ2=0.699 1，γIOWGA=0.910 5。由最優(yōu)組合模型的定義可知，組合模型為優(yōu)性組合。

5 結(jié) 論

(1)基于對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度及IOWGA算子的組合模型依據(jù)各時(shí)刻的擬合、預(yù)測(cè)精度進(jìn)行有序賦權(quán)，克服了傳統(tǒng)方法的缺陷，提高了預(yù)測(cè)精度，有效利用了模型的有用信息。實(shí)例證明，由此建立的組合模型的預(yù)測(cè)值更接近實(shí)際值。

(2)對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度是相關(guān)性指標(biāo)的一種，將它作為優(yōu)化準(zhǔn)則不僅豐富了模型組建方法而且具有可行性。

(3)模型評(píng)價(jià)準(zhǔn)則是組合模型的重要一方面，本文介紹的幾種模型評(píng)價(jià)準(zhǔn)則能全面反應(yīng)模型預(yù)測(cè)效果的好壞。

(4)由優(yōu)性判定準(zhǔn)則可知，組合模型的對(duì)數(shù)灰關(guān)聯(lián)度值最大，表明由此建立的組合模型是優(yōu)性組合模型。

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Based on Combined Forecasting Methods and Application of Gray Association and IOWHA Operators

Hu Weiquan1，Ge Wei1，Tang Xu2，Xu Changhong1，Cui Xiao1

(1.Ningbo Institute of Surveying & Mapping，Ningbo 315042，China； 2.The University of Nottingham Ningbo China，Ningbo 315100，China)

The traditional combination of modeling guidelines for single weights fixed defects，citing the optimal weighted combination of theoretical modeling，the induced ordered weighted geometric mean (IOWGA) operator based on the combination of gray association study a combination of an improved model IOWGA operator. Its core idea is based on gray association guidelines，each time fitting based on a single model，the level of accuracy of prediction orderly empowerment. Excellent article on composition and method for determining the effect of a combination of model predictive evaluation criteria also studied. The combined model is applied to Ningbo City，a subgrade settlement prediction，and achieved good results，to improve the prediction accuracy，to verify the validity of the model.

on the gray association；IOWHA operator；combined model；predict settlement

1672-8262(2017)01-129-06

O221，TU196

A

2016—08—31 作者簡(jiǎn)介：胡文權(quán)(1988—)，男，助理工程師，主要從事城市基礎(chǔ)測(cè)量及數(shù)據(jù)處理工作。 基金項(xiàng)目：寧波市自然科學(xué)基金(2015A610116)