懸臂式動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)方法

張針粒，楊 愷，李 強(qiáng)

（武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064）

懸臂式動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)方法

張針粒，楊 愷，李 強(qiáng)

（武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064）

眾多學(xué)者對(duì)端部具有集中質(zhì)量的懸臂結(jié)構(gòu)提出過(guò)設(shè)計(jì)方法，但對(duì)于懸臂式動(dòng)力吸振器而言，質(zhì)量塊并不滿足質(zhì)點(diǎn)假設(shè)。為了提出具有更高精度的設(shè)計(jì)方法，首先根據(jù)懸臂式吸振器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出Euler-Bernoulli梁假設(shè)、剛體假設(shè)、動(dòng)/靜撓度近似一致三條假設(shè)。在此基礎(chǔ)上，使用能量法推導(dǎo)懸臂式動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)方法。該方法考慮了質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)，簡(jiǎn)潔明了，便于工程應(yīng)用。針對(duì)常見(jiàn)的圓形和矩形截面懸臂式吸振器，設(shè)計(jì)五組參數(shù)進(jìn)行充分驗(yàn)證。結(jié)果表明，對(duì)于質(zhì)量塊和懸臂梁不同的長(zhǎng)度、不同的截面，所提設(shè)計(jì)方法均有很高的精度，最大誤差小于3%。對(duì)于其他橫截面形狀的吸振器，差別僅在于截面慣性矩的計(jì)算方法不同。因此，所提設(shè)計(jì)方法具有簡(jiǎn)明、精度高，通用性好的特點(diǎn)，為懸臂式吸振器設(shè)計(jì)方法的實(shí)用化提供了一條新的途徑。

振動(dòng)與波；懸臂式；動(dòng)力吸振器；能量法

動(dòng)力吸振的原理是通過(guò)制造主振動(dòng)系統(tǒng)的反共振點(diǎn)來(lái)消除主振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，影響吸振性能的最重要因素是吸振頻率。因此，準(zhǔn)確設(shè)計(jì)吸振頻率是吸振器設(shè)計(jì)的首要前提。

懸臂式吸振器因調(diào)頻極為方便，而廣泛應(yīng)用。眾多學(xué)者提出了不同的懸臂式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。Wang采用微分求積單元進(jìn)行多階梯梁的計(jì)算，同時(shí)具有很高的計(jì)算精度和效率[1]。Lou基于直接模態(tài)攝動(dòng)法，將梁方程轉(zhuǎn)化為一組非線性方程組，不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，且計(jì)算結(jié)果具有較高的精度，對(duì)任意邊界條件均適用[2]。崔燦用分段思想，建立了任意變截面梁橫向振動(dòng)方程，結(jié)合Newton-Raphson迭代法進(jìn)行計(jì)算[3]。以上基于變截面梁的數(shù)值計(jì)算方法可以獲得較高的精度，但分析設(shè)計(jì)參數(shù)與吸振頻率之間的定量關(guān)系比較困難，計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。

懸臂式動(dòng)力吸振器可視為等截面懸臂梁上附加一質(zhì)量塊。Park，王文初基于Euler-Bernoulli梁假設(shè)推導(dǎo)了頻率方程的解析解，但懸臂梁上的質(zhì)量塊被簡(jiǎn)化成了質(zhì)點(diǎn)，同時(shí)也需要求解超越方程[4–5]。李曉勇、師漢民針對(duì)端部具有集中質(zhì)量懸臂梁結(jié)構(gòu)，提出了簡(jiǎn)明的頻率計(jì)算公式[6–7]。以上解析設(shè)計(jì)方法都應(yīng)用了質(zhì)量塊的質(zhì)點(diǎn)假設(shè)，只有當(dāng)質(zhì)量塊的尺寸相對(duì)于懸臂梁是小量時(shí)，簡(jiǎn)化的頻率方程才具有較高的精度。

為了提高懸臂式動(dòng)力吸振器頻率設(shè)計(jì)方法的精度，張針粒運(yùn)用等效質(zhì)量、等效剛度的方法，提出了一個(gè)解析計(jì)算模型，該方法考慮了質(zhì)量塊的彈性變形，較為復(fù)雜[8]。研究表明，質(zhì)量塊的剛度比懸臂梁高出多個(gè)數(shù)量級(jí)，其彈性變形可以忽略。本文首先提出了三條近似假設(shè)，然后運(yùn)用能量守恒原理，提出了懸臂式吸振器的顯式解析設(shè)計(jì)方法，為吸振器設(shè)計(jì)方法的簡(jiǎn)潔化、實(shí)用化提供了一條新的途徑。

1 設(shè)計(jì)方法

懸臂式動(dòng)力吸振器由懸臂梁和質(zhì)量塊組成，結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 懸臂式動(dòng)力吸振器

根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，應(yīng)用以下假設(shè)：

(1)假設(shè)懸臂梁為Euler-Bernoulli梁；

(2)假設(shè)質(zhì)量塊為剛體；

(3)假設(shè)吸振器自由振動(dòng)時(shí)的動(dòng)撓度曲線與在質(zhì)量塊質(zhì)心處集中載荷作用下的靜撓度曲線一致。

圖1所示結(jié)構(gòu)可分為懸臂梁和質(zhì)量塊兩部分，分析其受力狀態(tài)，見(jiàn)圖2。

圖2 懸臂和質(zhì)量塊受力狀態(tài)

從圖2可得懸臂梁的彎矩方程M(x)如下

式中F為質(zhì)量塊質(zhì)心處假定施加的集中力；L1為懸臂梁長(zhǎng)度；L2為質(zhì)量塊長(zhǎng)度。

應(yīng)用假設(shè)1，在小變形假設(shè)情況下梁的撓度微分方程為

式中y1(x)為懸臂梁撓度方程；E為材料彈性模量；I為梁截面慣性矩。

懸臂梁左端a點(diǎn)固定，撓度和轉(zhuǎn)角均為零，因此撓度方程y1(x)的初始條件為

由撓度微分方程及初始條件，得撓度曲線為

由式得懸臂梁在b處的撓度和轉(zhuǎn)角為

應(yīng)用假設(shè)2，則質(zhì)量塊自身彈性變形為零，其位置由懸臂梁在b處的撓度和轉(zhuǎn)角決定。因此，質(zhì)量塊的撓度方程為

綜上所述，懸臂梁和質(zhì)量塊在x處的靜撓度可表示為

式中yb為懸臂梁在b處的撓度，yb=y1(L1)。

應(yīng)用假設(shè)3，則懸臂梁和質(zhì)量塊的動(dòng)撓度曲線可類似寫(xiě)為

式中Yb為懸臂梁在b處的振動(dòng)值。

由于線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，懸臂梁在b處的振動(dòng)可表示為

式中ωn為吸振器固有圓頻率；Y為懸臂梁b處振動(dòng)幅值；ψ為振動(dòng)初相位。

懸臂梁b處的最大振動(dòng)位移和速度為

則懸臂梁的動(dòng)能為

式中ρ1為懸臂梁的線密度，ρ1=ρS1；ρ為材料密度；S1為懸臂梁的截面積；m為懸臂梁的質(zhì)量，m=ρ1L1。質(zhì)量塊的動(dòng)能為

式中ρ2為質(zhì)量塊的線密度，ρ2=ρS2；S2為質(zhì)量塊的截面積；M為質(zhì)量塊的質(zhì)量，M=ρ2L2。

整個(gè)系統(tǒng)的最大動(dòng)能為

整個(gè)系統(tǒng)的彈性勢(shì)能存儲(chǔ)在懸臂梁中，最大位移處勢(shì)能達(dá)到最大

式中k為懸臂梁剛度。

由材料力學(xué)知，長(zhǎng)度為L(zhǎng)1的梁剛度為

將式(15)代入式(14)，得最大彈性勢(shì)能為

吸振器在振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的能量在動(dòng)能和勢(shì)能之間進(jìn)行周期性的轉(zhuǎn)移，但總能量始終保持不變。設(shè)T1、T2、V1、V2分別是振動(dòng)中兩個(gè)不同時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能，則根據(jù)總能量守恒有

選取兩個(gè)特殊時(shí)刻：在靜平衡處，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，而動(dòng)能達(dá)到其最大值Tmax；在最大位移處，系統(tǒng)的動(dòng)能為零，而勢(shì)能達(dá)到其最大值Vmax。因此系統(tǒng)的最大動(dòng)能與最大勢(shì)能相等：

將式(13)和式(16)代入式(18)，得懸臂吸振器的固有頻率為

式(19)中fn為吸振器固有頻率，fn=ωn/(2π)。

式(19)是本文推導(dǎo)的懸臂式吸振器設(shè)計(jì)方法。當(dāng)質(zhì)量塊很小，滿足質(zhì)點(diǎn)假設(shè)時(shí)，L2=0。此時(shí)，式(19)退化為

式(20)與師漢民給出的端部具有集中質(zhì)量的懸臂結(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算公式相同[7]。

2 方法驗(yàn)證

本節(jié)以常見(jiàn)的圓形、矩形兩種截面形式的懸臂式吸振器為例，討論不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響，即討論所給設(shè)計(jì)方法的有效性。在模型計(jì)算中，以有限元結(jié)果作為精確值對(duì)本文結(jié)果進(jìn)行評(píng)估。有限元計(jì)算中，實(shí)體單元采用20節(jié)點(diǎn)的SOLID186高精度2階單元，且計(jì)算時(shí)劃分了精細(xì)的網(wǎng)格，以保證足夠的精度。

算例1：圖3為圓形截面懸臂式吸振器結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了三組驗(yàn)證（參數(shù)見(jiàn)表1），驗(yàn)證目的如下：

A組：通過(guò)有限元計(jì)算得到靜/動(dòng)撓度曲線，驗(yàn)證本文提出的3條假設(shè)的合理性；

B組：通過(guò)有限元固有頻率計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證質(zhì)量塊長(zhǎng)度在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，本文設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性；

C組：通過(guò)有限元固有頻率計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證懸臂梁長(zhǎng)度在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，本文設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性。

圖3 圓截面懸臂式吸振器

表1 圓截面懸臂式吸振器參數(shù)

根據(jù)A組參數(shù)建立有限元模型，進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，提取吸振器軸線上的位移，得到動(dòng)撓度。通過(guò)撓度方程計(jì)算得到理論撓度。FEA動(dòng)撓度和理論撓度曲線（均以懸臂梁和質(zhì)量塊連接處的位移歸一化）如圖4所示。

圖4 圓截面懸臂式吸振器撓度曲線

從中可以看出，二者基本重合，最大誤差3%，表明本文設(shè)計(jì)方法應(yīng)用的三條假設(shè)合理。

根據(jù)B組和C組參數(shù)建立有限元模型，進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，得到圓截面懸臂式吸振器的固有頻率。利用本文設(shè)計(jì)方法得到理論頻率。固有頻率隨質(zhì)量塊長(zhǎng)度或懸臂長(zhǎng)度的變化曲線見(jiàn)圖5和圖6。

圖5 固有頻率隨質(zhì)量塊長(zhǎng)度的變化

圖6 固有頻率隨懸臂梁長(zhǎng)度的變化

從中可以看出：

（1）當(dāng)質(zhì)量塊的長(zhǎng)度尺寸在大范圍變化時(shí)，理論預(yù)測(cè)頻率與有限元頻率吻合良好，最大誤差僅2.5%；

（2）當(dāng)懸臂梁的長(zhǎng)度尺寸在大范圍變化時(shí)，理論預(yù)測(cè)頻率與有限元頻率幾乎完全一致，最大誤差僅0.3%。

算例2：圖7為圓形截面懸臂式吸振器結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了二組驗(yàn)證（參數(shù)見(jiàn)表2），驗(yàn)證目的如下：

圖7 矩形截面懸臂式吸振器

D組：通過(guò)有限元固有頻率計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證質(zhì)量塊截面在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，本文設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性；

E組：通過(guò)有限元固有頻率計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證懸臂梁截面在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，本文設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性。

根據(jù)D組和E組參數(shù)建立有限元模型，進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，得到矩形截面懸臂式吸振器的固有頻率。利用本文設(shè)計(jì)方法得到理論頻率。固有頻率隨質(zhì)量塊長(zhǎng)度或懸臂長(zhǎng)度的變化曲線見(jiàn)圖8和圖9。

表2 矩形截面懸臂式吸振器參數(shù)

圖8 固有頻率隨質(zhì)量塊截面的變化

圖9 固有頻率隨懸臂梁截面的變化

從中可以看出：

（1）當(dāng)質(zhì)量塊的截面尺寸在大范圍變化時(shí)，理論預(yù)測(cè)頻率與有限元頻率吻合良好，最大誤差僅2.2%；

（2）當(dāng)懸臂梁的長(zhǎng)度尺寸在大范圍變化時(shí)，理論預(yù)測(cè)頻率與有限元頻率幾乎完全一致，最大誤差僅0.05%。

3 結(jié)語(yǔ)

（1）基于Euler-Bernoulli梁假設(shè)、剛體假設(shè)、動(dòng)/靜撓度近似一致三條假設(shè)，使用能量法推導(dǎo)了懸臂式動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)方法。所提方法考慮了質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)參數(shù)，簡(jiǎn)潔明了，便于工程應(yīng)用。

（2）針對(duì)常見(jiàn)的圓形和矩形截面懸臂式吸振器，設(shè)計(jì)了五組參數(shù)進(jìn)行充分驗(yàn)證。結(jié)果表明，對(duì)于質(zhì)量塊和懸臂梁不同的長(zhǎng)度、不同的截面，所提設(shè)計(jì)方法均有很高的精度，最大誤差小于3%。

（3）當(dāng)懸臂梁長(zhǎng)度變化時(shí)，所提方法的預(yù)測(cè)精度更高。示例中，懸臂梁長(zhǎng)度變化時(shí)，理論預(yù)測(cè)幾乎與有限元頻率完全一致，最大誤差僅0.3%，顯著高于質(zhì)量塊的長(zhǎng)度變化時(shí)的預(yù)測(cè)誤差2.5%。

（4）對(duì)于其他橫截面形狀的吸振器，差別僅在于截面慣性矩不同，所提設(shè)計(jì)方法具有通用性。

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(簡(jiǎn)訊)

泛德聲學(xué)第二屆全國(guó)噪聲與振動(dòng)控制工程培訓(xùn)在滬舉辦

上海泛德聲學(xué)工程有限公司每年舉辦一次免費(fèi)培訓(xùn)，去年為首屆，于2015年7月2日到3日在上海松江立詩(shī)頓酒店舉辦，今年是第二屆，于2016年12月16日在上海工程技術(shù)大學(xué)舉辦。來(lái)自國(guó)內(nèi)化工、汽車、食品、機(jī)械、日用等行業(yè)的EHS部門(mén)、設(shè)備部門(mén)、生產(chǎn)部門(mén)的環(huán)保專業(yè)人員40余名參加了第二屆培訓(xùn)。本次培訓(xùn)約請(qǐng)了中船第九設(shè)計(jì)研究院呂玉恒教授級(jí)高工講授噪聲控制的基礎(chǔ)知識(shí)及主要控制方法，上海泛德聲學(xué)工程有限公司任百吉總經(jīng)理以及鄭江、王勝工程師結(jié)合工程實(shí)例講解了隔聲、吸聲、消聲、隔振、阻尼減振等常用技術(shù)，介紹了聲學(xué)軟件的應(yīng)用以及有源噪聲控制的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用，同時(shí)參觀了上海工程技術(shù)大學(xué)和上海泛德公司的聲學(xué)試驗(yàn)室、聲學(xué)產(chǎn)品和制造設(shè)備等。

上海泛德聲學(xué)公司是一家專門(mén)從事噪聲與振動(dòng)控制工程治理以及聲學(xué)實(shí)驗(yàn)室的設(shè)計(jì)、制造、安裝、測(cè)試等專業(yè)性公司，十多年來(lái)，他們?cè)趯?shí)際工程中了解到一些有噪聲污染的企業(yè)，有的已采取或正在采取或準(zhǔn)備采取降噪措施的，但往往受到專業(yè)的限制，會(huì)碰到一些困難，希望能較快了解噪聲控制的基本技術(shù)。為適應(yīng)這種需要，培訓(xùn)這方面的技術(shù)人員顯得十分必要。泛德聲學(xué)免費(fèi)培訓(xùn)得到了全國(guó)各地有關(guān)企業(yè)的熱情支持和響應(yīng)。特別是諸如拜耳醫(yī)藥、巴斯夫、江森自控、瑪氏食品、圣戈班、阿克蘇諾貝爾、霍尼韋爾、高露潔、不凡帝、蒂森克虜伯等世界500強(qiáng)企業(yè)都派員參加培訓(xùn)，更體現(xiàn)了培訓(xùn)的必要性。這種培訓(xùn)形式是為企業(yè)創(chuàng)建了一個(gè)良好的交流溝通平臺(tái)。通過(guò)培訓(xùn)，學(xué)員們普遍反映很有收獲，理論和實(shí)際相結(jié)合，很有針對(duì)性，學(xué)到了知識(shí)，溝通了信息，建立了聯(lián)系，加強(qiáng)了合作，有機(jī)會(huì)下次還要來(lái)。

中船第九設(shè)計(jì)研究院工程有限公司 呂玉恒

2016.1 2.18.報(bào)導(dǎo)

Design Method of Cantilever-beam Type Dynamic VibrationAbsorbers

ZHANG Zhen-li,YANGKai,LIQiang
(Wuhan Second Ship Design Institute,Wuhan 430064,China)

Many scholars put forward the design method for the cantilever structure with concentrated mass at the end. But for the cantilever-beam type dynamic vibration absorber(CBDVA),the mass block does not satisfy the particle assumption.In this paper,to obtain the design method with higher accuracy,three hypotheses are proposed:(1)the absorber is an Euler-Bernoulli beam;(2)the mass block is a rigid body;(3)the dynamic and static deflections of the absorber are approximately equal.Based on the hypotheses,a new design method of CBDVA is derived using the energy method.The method considers the structural parameters of the mass block,which is simple,clear and convenient for engineering application.Results of five numerical examples for mass block and cantilever beam absorbers with different lengths and different sections show that the proposed method is accurate and the maximum error is less than 3%.This work has provided a new way for the practical design of CBDVA.

vibration and wave;cantilever-beam type;dynamic vibration absorber;energy method

O238

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2017.01.034

1006-1355(2017)01-0158-05

2016-10-10

張針粒（1984－），男，武漢市人，博士，主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)噪聲控制。E-mail:zhenlizhang@foxmail.com