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    從“算術(shù)”到“代數(shù)”的飛躍

    2017-02-26 01:00:08浦?jǐn)⒌?/span>特級教師
    初中生世界 2017年37期
    關(guān)鍵詞:單項(xiàng)式同類項(xiàng)算術(shù)

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    從“算術(shù)”到“代數(shù)”的飛躍

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    在小學(xué)數(shù)學(xué)里,我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)、圖形與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)三方面的知識,在數(shù)的研究上,重點(diǎn)是數(shù)的認(rèn)識和計(jì)算,所以小學(xué)數(shù)學(xué)的這塊內(nèi)容可以簡稱為“算術(shù)”.進(jìn)入初中后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),知識板塊由原來的三個變成代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率四個,在數(shù)的研究上,從小學(xué)的算術(shù)數(shù)上升到了初中的代數(shù).初中代數(shù)需要經(jīng)歷三次飛躍,其中,第一次是從小學(xué)的算術(shù)數(shù)引進(jìn)負(fù)數(shù)變成有理數(shù),完成數(shù)擴(kuò)充的飛躍,第二次是從小學(xué)具體的數(shù)引進(jìn)抽象的字母,用字母代替數(shù),從特殊到一般,完成數(shù)到式的飛躍,所以初中數(shù)學(xué)的這塊內(nèi)容可以簡稱為“代數(shù)”.由此可以看出,第3章《代數(shù)式》是小學(xué)算術(shù)與初中代數(shù)的分水嶺,也是同學(xué)們在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中必須跨越的第二道坎.那么如何才能學(xué)好本章內(nèi)容呢?

    一、掌握概念本質(zhì)是基礎(chǔ)

    本章中涉及如下幾個重要概念:一是“代數(shù)式”;二是“單項(xiàng)式”“多項(xiàng)式”與“整式”;三是“代數(shù)式的值”;四是“同類項(xiàng)”.

    用加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算符號把數(shù)與表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式,單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.從這個定義中可以看出,在式子中只能出現(xiàn)“數(shù)”“字母”“運(yùn)算符號”三者,一旦出現(xiàn)等于號或不等號,就不是代數(shù)式.

    單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.整式是屬于代數(shù)式中的比較簡單的一類,整式一定是代數(shù)式,但代數(shù)式不一定是整式,代數(shù)式與整式是一般與特殊的關(guān)系.

    只有數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式,單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是單項(xiàng)式;幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式都屬于整式,它們與整式也是特殊與一般的關(guān)系,單項(xiàng)式是最簡單的代數(shù)式.對于單項(xiàng)式有系數(shù)與次數(shù)的概念;對于多項(xiàng)式有項(xiàng)、次數(shù)的概念,因?yàn)槎囗?xiàng)式的項(xiàng)是一個單項(xiàng)式,所以還有項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的次數(shù)的概念.

    用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母,計(jì)算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.用字母表示數(shù)就產(chǎn)生了代數(shù)式,讓“數(shù)”的問題走向“式”的問題,包括“式的認(rèn)識”與“式的計(jì)算”;而代數(shù)式的值是讓字母回歸到具體的數(shù).代數(shù)式與代數(shù)式的值正好完成了“從特殊到一般”,再“從一般回到特殊”的完整過程.

    所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).項(xiàng)是針對多項(xiàng)式而言的,實(shí)際上就是幾個單項(xiàng)式,所以,同類項(xiàng)只會出現(xiàn)在多項(xiàng)式中.需要注意的是兩個“相同”的條件必須同時滿足,才能確定為同類項(xiàng).

    二、掌握思想方法是關(guān)鍵

    本章中隱含了許多非常重要的思想方法.用字母表示數(shù)本身就是“字母代數(shù)”思想,又體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思想;由于引進(jìn)了字母,字母具有一般性,所以在研究代數(shù)式的問題中,往往需要“分類討論”;在求解代數(shù)式的值時,有時需要用到“整體思想”,包含整體代入、整體求解等方法;在研究單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類項(xiàng)時,往往需要用到“方程思想”.

    例1 我們知道:1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52…根據(jù)前面各式規(guī)律,可以猜測:1+3+5+7+9+…+(2n-1)=.(其中n為自然數(shù)).

    【分析】本題是一個規(guī)律探索題,在前面的學(xué)習(xí)中多次遇到,在本章再來研究,可以加深對“字母表示數(shù)”的理解.我們發(fā)現(xiàn)等號的左邊全是連續(xù)奇數(shù)相加的式子,右邊正好是奇數(shù)個數(shù)的平方,這樣用字母表示數(shù),從特殊到一般,所求左邊式子是n個連續(xù)奇數(shù)的和,就可以得出右邊式子是n2的結(jié)論.

    例2 已知a、b互為相反數(shù),c、d互為倒數(shù), ||x=1,求代數(shù)式a+b+x2-cdx的值.

    【分析】因?yàn)閍、b互為相反數(shù),所以a+b=0,因?yàn)閏、d互為倒數(shù),所以cd=1,因?yàn)?||x=1,這里的x可正可負(fù),需要進(jìn)行分類討論,x=±1,所以代數(shù)式a+b+x2-cdx的值為0或者2.

    例3 已知代數(shù)式3x2-4x+6的值為9,求x2-x+6的值.

    【分析】因?yàn)?x2-4x+6=9,從等式中無法直接求出x的值,所以可以從整體的角度思考,得到3x2-4x=3,從而x2-x=1,把這個式子整體代入x2-x+6,求出代數(shù)式x2-x+6的值為7.

    例4 關(guān)于x的多項(xiàng)式(m-2)x4-xn+x-1是二次三項(xiàng)式,求m,n的值.

    【分析】這里是關(guān)于x的代數(shù)式,所以,應(yīng)該把m、n作為待定字母.由多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)的定義可知,m-2=0,并且n=2,此處根據(jù)定義得出m-2=0就體現(xiàn)了方程思想,所以m=2,n=2.

    三、掌握解題策略是保障

    本章中的題目類型主要有如下幾類.

    第一類是列代數(shù)式.此類問題本質(zhì)上是把通用的文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)獨(dú)有的符號語言,在列代數(shù)式的過程中,要遵循先讀先寫的原則,并且嚴(yán)格按照代數(shù)式的書寫規(guī)定進(jìn)行,此處不再舉例.

    第二類是關(guān)于單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、代數(shù)式等相關(guān)概念的認(rèn)識.

    例5 如果關(guān)于x,y的單項(xiàng)式2mxay與-5nx2a-3y的差是一個單項(xiàng)式.

    (1)求(7a-22)2017的值;(2)若 2mxay-5nx2a-3y=0,求(2m-5n)2018的值.

    【分析】關(guān)于x,y的單項(xiàng)式2mxay與-5nx2a-3y的差是一個單項(xiàng)式,說明這兩個單項(xiàng)式是同類項(xiàng),可以合并進(jìn)行整式減法運(yùn)算.根據(jù)同類項(xiàng)的定義,得2a-3=a,所以a=3.(1)由a=3,知(7a-22)2017=(-1)2017=-1;(2)因?yàn)?mxay-5nx2a-3y=0,說明這兩項(xiàng)是同類項(xiàng),可以合并進(jìn)行減法運(yùn)算,所以2m-5n=0,故(2m-5n)2018=0.

    第三類是利用直接代入法或間接代入法(整體)求代數(shù)式的值.此類問題只要嚴(yán)格按照解題步驟,特別需要注意把哪個式子作為一個整體,如上面的例3.

    第四類是根據(jù)同類項(xiàng)的概念,利用去括號等步驟合并同類項(xiàng),進(jìn)行整式的加減運(yùn)算.這類問題是程序性操作問題,課本上都有規(guī)范的解決問題的例子,只要嚴(yán)格按照先去括號、再根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則合并同類項(xiàng),直到整式中沒有同類項(xiàng)可以合并就可以了.

    江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心)

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