合理分類建模是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的法寶
——例談一元二次方程解答應(yīng)用題

江蘇省啟東市長江中學(xué) 黃 燕

合理分類建模是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的法寶
——例談一元二次方程解答應(yīng)用題

江蘇省啟東市長江中學(xué) 黃 燕

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，本文作者在引導(dǎo)學(xué)生利用一元二次方程解答應(yīng)用題時，大膽嘗試“分類建?！辈呗?，并取得了一定的收獲，值得大家予以關(guān)注。

增長；利潤；幾何；分類；解題

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，但涉及應(yīng)用類的實際問題比較繁雜，不少學(xué)生往往被這一表象“震懾”，在解題時經(jīng)常出現(xiàn)不該發(fā)生的錯誤現(xiàn)象。實際問題是現(xiàn)實生活中不可缺少的組成部分，學(xué)生只有掌握正確的解題思路，才能在現(xiàn)實生活中真正感悟?qū)W好數(shù)學(xué)的樂趣。筆者在引導(dǎo)學(xué)生利用一元二次方程解答應(yīng)用題時，采取“分類建?！辈呗裕〉昧艘欢ǖ氖斋@，現(xiàn)淺談具體措施，期盼大家不吝賜教。

一、增長率問題

最近幾年，南通市數(shù)學(xué)中考命題出現(xiàn)了一種趨勢：把“增長率”作為應(yīng)用題考點的比重有所提升，我們可以從素材的選取、試題的呈現(xiàn)方式、命題的立意和解決問題的方法等方面揭示試題的命題特點。“增長率”問題在人教版初中數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)的形式都滲透在“一元二次方程”應(yīng)用題教學(xué)中，主要包括兩種模型：一是同一個數(shù)量中，經(jīng)過一次增長（降低）的增長率（降低率）問題；二是同一數(shù)量經(jīng)過兩次增長（降低）的問題。面對此類應(yīng)用題，學(xué)生只有把握解題要領(lǐng)，才能找到解決實際問題的有效途徑。

例題：黃海村2001年的人均收入為1250元，2003年的人均收入為1500元，求人均收入的年平均增長率。

分析：設(shè)人均收入平均年增長率為x，2001年的人均收入為1250元，到2002年底，增添的收入為1250x元，所以，2002年底，共有收入1250（1+x）元，2003年底，共有收入1250（1+x）2元，由題意列方程得：1250（1+x）2=1500。接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)增長率問題的一般模型，1250是初始數(shù)，1500是結(jié)束的數(shù)目，2是增長的次數(shù)。

二、利潤率問題

理清等量關(guān)系是把握利潤率問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)生只要找到題中的數(shù)量，建立等量關(guān)系算式，就能進(jìn)行計算了。一般而言，利潤=實際價格-成本價格；利潤=實際價格×利率；利潤率=（實際價格-成本價格）/實際價格。

例題：奧邦超市銷售一批名牌T恤衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，超市總經(jīng)理決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件T恤衫降價1元，超市每天可多售出2件。如果這個超市每天要盈利1200元，請你為奧邦超市核算一下，每一件T恤衫應(yīng)降價多少元？

分析：T恤衫原來每件盈利40元，每天可售出20件，那么每天的利潤為40×20元。為了增加盈利，擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，超市總經(jīng)理決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件T恤衫降價1元，超市每天可多售出2件。如果每件降價x元，那么每件T恤衫利潤是（40-x）元，超市每天可多售出（20+2x）件。每天的盈利=每件利潤×銷售量，也就是（40-x）（20+2x）=1200,最后讓學(xué)生解這個方程得：x1=10，x2=20,并根據(jù)“為了增加盈利，擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存”這一題意，本題應(yīng)該取x2=20，即每件T恤衫應(yīng)降價20元才能實現(xiàn)銷售目標(biāo)。

在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展求異思維的過程中，可以把上述習(xí)題作如下變換：奧邦超市銷售一批名牌T恤衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了增加盈利，擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，超市總經(jīng)理決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件T恤衫每降價3元，超市每天可多售出5件。若超市每天要盈利925元，請你幫助商場算一算，每件T恤衫應(yīng)降價多少元？

分析：T恤衫原來每件盈利40元，每天可售出20件，那么每天的利潤為40×20元。為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，超市總經(jīng)理決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價3元，超市每天可多售出5件。如果每件降價x，每件利潤是（40-x）元，超市每天可多售出（20+5/3x）件。每天的盈利=每件利潤×銷售量，也就是（40-x）（20+5/3x）=925，學(xué)生解得：x1=3，x2=25，再按照“為了增加盈利，擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存”這一題意，該題應(yīng)取較大的值x2=25，即每件T恤衫應(yīng)降價25元。

上述兩題的題型基本一致，都用每天的盈利=每件利潤×銷售量這一關(guān)系式進(jìn)行計算，設(shè)每件T恤衫都是降價x元,但兩者的區(qū)別就是：（第一題）“每件T恤衫每降價1元，超市每天可多售出2件”與（第二題）“每件T恤衫每降價3元，超市每天可多售出5件”，前一句好理解，后一句在前一句的基礎(chǔ)上，得一元對應(yīng)的件數(shù)為5/3件，問題就不難解決了。因此，得出降價一元對應(yīng)的件數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。

三、幾何類問題

初中數(shù)學(xué)題庫中的幾何題一般隸屬于平面類，幾乎與空間想象方面關(guān)系不大。因此，可以讓學(xué)生采用線性思維方式找到解題思路，既有計算長度、角度的，也有證明的；既涉及面積、體積的計算公式，也有勾股定理、相似形中有關(guān)比例性質(zhì)等題型。

例題：一個直角三角形的面積是7平方分米，兩條直角邊相差5分米，求這個三角形斜邊的長是多少分米。

分析：假如讓學(xué)生設(shè)斜邊為未知數(shù)，思維比較抽象，轉(zhuǎn)彎太多，方程也不好列，因此，我在教學(xué)過程中讓學(xué)生設(shè)間接未知數(shù)，設(shè)其中的一條直角邊為x分米，并根據(jù)“兩條直角邊相差5分米”，得到另外一條直角邊為（x+5）分米；然后根據(jù)“面積是7平方分米”列出方程：,當(dāng)學(xué)生解出未知數(shù)后，再結(jié)合實際情況取舍未知數(shù)的值，最后求出斜邊長。同時，也得出了解答此類題目的正確思路：先用長度關(guān)系設(shè)未知數(shù)，后用面積關(guān)系列方程。

在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)與一元二次方程有關(guān)的生活化問題，但不少學(xué)生遇到這類問題時總是忐忑不安，難以下筆。其實，只要在縝密審題的基礎(chǔ)上學(xué)會分解題目，各個擊破，并通過分類的途徑找到已知與未知之間的關(guān)系，從而列出相應(yīng)的方程求解，一切問題就迎刃而解了。