恰當(dāng)運(yùn)用“反例”教學(xué)

四川省成都市七中萬達(dá)學(xué)校 邱 勇

恰當(dāng)運(yùn)用“反例”教學(xué)

四川省成都市七中萬達(dá)學(xué)校 邱 勇

反例的運(yùn)用可以強(qiáng)化推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)思維的批判性，發(fā)展逆向思維和發(fā)散思維，全面提高解題能力，而構(gòu)造反例，恰好符合初中學(xué)生的思維習(xí)慣。

反例；構(gòu)造

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，它有自己獨(dú)特的思維方式和邏輯推理體系。初中學(xué)生因?yàn)槠淠挲g與知識水平的關(guān)系，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中總有憑借其學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)妄下結(jié)論的習(xí)慣，這與數(shù)學(xué)的本質(zhì)精神是背道而馳的。根據(jù)初中學(xué)生的知識水平和思維習(xí)慣，我認(rèn)為在教學(xué)過程中滲透反例教學(xué)可以比較好地改變學(xué)生隨意猜測的壞習(xí)慣。反例的運(yùn)用可以強(qiáng)化推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)思維的批判性，發(fā)展逆向思維和發(fā)散思維，全面提高解題能力，而構(gòu)造反例恰好符合初中學(xué)生的思維習(xí)慣。我們通常認(rèn)為找一個反例比找一個證明更需要想象力和創(chuàng)造性，然而初中學(xué)生卻不同，他們對舉反例樂此不疲。舉反例的過程，恰好就是他們數(shù)學(xué)能力逐步提高的過程。

一、運(yùn)用“反例”可以幫助學(xué)生深入理解概念

數(shù)學(xué)概念本身是抽象的，引入概念之后，還必須有一個去粗取精、去偽存真、由表及里的改造、深化過程，必須在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上對概念做辨證的分析，用不同的方式進(jìn)一步揭示概念的本質(zhì)屬性。通過列舉或構(gòu)造反例，往往能夠從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識，從而嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的概念，這比僅僅用正面來解讀概念要深刻得多。

例如：命題“帶有正號的數(shù)是正數(shù)”。對于這個命題，初中學(xué)生僅從經(jīng)驗(yàn)去做出判斷是很容易出現(xiàn)誤解的，如果我們引導(dǎo)學(xué)生舉個反例試試，學(xué)生將很容易想到“﹢0”不是正數(shù)，“﹢（﹣7）”也不是正數(shù)。

又如：學(xué)生在歸納絕對值的代數(shù)意義時，經(jīng)常出現(xiàn)“正數(shù)的絕對值是一個正數(shù)”這樣的不準(zhǔn)確表述，這時我們只要舉出一個反例學(xué)生就會馬上明白這個表述是不準(zhǔn)確的，甚至是錯誤的，從而進(jìn)一步歸納為“正數(shù)的絕對值等于它本身”這一準(zhǔn)確表述。

二、運(yùn)用“反例”可以幫助學(xué)生揭示概念的內(nèi)涵

教學(xué)實(shí)踐中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在使用概念時含糊不清，錯引濫用，如正多邊形的概念：每條邊都相等，每個角也都相等的多邊形是正多邊形”。很多學(xué)生認(rèn)為這個概念中的兩個條件可以只取其中一個，我們也可以通過舉反例的方式來予以澄清：（1）菱形的四條邊都相等，但它不是正四邊形。（2）矩形的四個角都相等，但它也不是正四邊形?？梢娬噙呅伪仨殱M足上述兩個條件，缺一不可。

三、運(yùn)用“反例”可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握概念間的關(guān)系

例如：“中心對稱”和“中心對稱圖形”就是一對容易混為一談的概念，對于初學(xué)者來說，容易產(chǎn)生這樣一種錯誤的理解，即“中心對稱”和“中心對稱圖形”是等同的概念。其實(shí)不然，我們可以構(gòu)造下面的反例予以澄清。

兩個等邊三角形“成中心對稱”，但等邊三角形本身并非“中心對稱圖形”，究其原因，“成中心對稱”是兩個圖形之間的位置關(guān)系，而“中心對稱圖形”是一個圖形本身所具有的一種屬性，因而它們是兩個不同的概念。

四、運(yùn)用“反例”可以幫助學(xué)生駁斥錯誤的命題

在命題學(xué)習(xí)中，用生動的反例駁斥錯誤的命題是非常簡潔、有效的。更重要的是，長期堅(jiān)持采用反例來思考問題，有助于學(xué)生克服胡亂猜想的壞習(xí)慣。我們來看一個七年級學(xué)生遇到的命題：“有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的點(diǎn)都表示有理數(shù)”。對于七年級的學(xué)生來講，在學(xué)習(xí)數(shù)軸時對無理數(shù)知之甚少，但無理數(shù)π已經(jīng)在他們的知識體系中扎下了根。我們只要把無理數(shù)π標(biāo)在數(shù)軸上，這個命題就不攻自破了（具體方法是：直徑為1個單位長度的圓從原點(diǎn)沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)A所表示的數(shù)為π）。

五、運(yùn)用“反例”可以幫助學(xué)生正確掌握基本定理

反例可用來說明正確命題的使用范圍，這對初學(xué)者來說非常有益，不僅能澄清一些錯誤的認(rèn)識，對基本定理和基本性質(zhì)做出正確的理解，也能促使學(xué)生們形成嚴(yán)密推理、重視條件的習(xí)慣，避免發(fā)生“失之毫厘，謬之千里”的錯誤。

例如判定三角形全等的邊角邊定理：如果兩個三角形有兩條邊及其夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。

對于“邊角邊定理”，學(xué)生往往對“邊角邊”這一條件不完全理解，因而在運(yùn)用過程中錯誤地用“邊邊角”去證明兩個三角形全等。事實(shí)上，如果我們引導(dǎo)學(xué)生親自去構(gòu)造兩個“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的不全等的三角形，就能正確理解“邊角邊定理”了。

反例的引入、構(gòu)造可以促使學(xué)生對命題進(jìn)行再分析，重視和體驗(yàn)這樣的過程，不僅能增加知識、拓寬思路、活躍思維、提高自學(xué)能力，也能提高分析問題和解決問題的能力。我在教學(xué)實(shí)踐中，通過“反例”使學(xué)生澄清對某些概念和性質(zhì)的模糊認(rèn)識 ，加深理解教材內(nèi)容 ，搞清命題成立條件，克服對數(shù)學(xué)知識理解的偏差。合理使用反例還可以使教學(xué)更加豐富生動，可以使一些看似困難的問題意外地得到輕松解決 ，可以使學(xué)生對教學(xué)中出現(xiàn)的定義、概念、定理等理解得更加透徹，并通過這些反例提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。但是值得注意的是，“反例”在教學(xué)中的作用也不是萬能的，教學(xué)中應(yīng)用“反例”一要注意主次。學(xué)生的主要任務(wù)是學(xué)習(xí)概念、定理和方法，對于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格的證明和推導(dǎo)。舉反例重在說明結(jié)構(gòu)、辨清是非，因此我們不可一味把太多的注意力放在構(gòu)造或列舉反例上，反例應(yīng)該作為圍繞主要內(nèi)容而進(jìn)行的有效的輔助學(xué)習(xí)手段。二要注意適當(dāng)。反例應(yīng)是經(jīng)過挑選的，既要簡單又要能說明問題。學(xué)生自己構(gòu)造的反例難度應(yīng)當(dāng)適當(dāng)，以免浪費(fèi)很多時間和精力。

[1]郭要紅.反例的來源與潛在功能[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（6）.

[2]李文銘.初等幾何教學(xué)研究[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社.

邱勇（1976-10），男，漢族，四川成都人，大學(xué)本科，中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。）