APOS理論下的平均數(shù)概念教學研究

杭州師范大學 錢麗娜

APOS理論下的平均數(shù)概念教學研究

杭州師范大學 錢麗娜

概念教學在小學數(shù)學教學中非常重要，學生只有牢固地掌握概念，才能深入研究與該概念相關(guān)的內(nèi)容。不少研究者指出，數(shù)學概念具有“過程——對象”的二重性特點，概念的二重性決定了概念認知的二重性、數(shù)學思維的二重性。在這方面，美國杜賓斯基等人在教育研究實踐中發(fā)展起來的一種APOS理論對數(shù)學概念的學習有所啟示。本文試圖探討APOS理論下的小學數(shù)學概念教學，通過平均數(shù)這個重要的概念闡述APOS理論的應(yīng)用。

APOS理論；概念教學；平均數(shù)

一、研究背景

課標指出，數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學教學既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。數(shù)學概念是數(shù)學思維的核心，從某種意義上來說，數(shù)學概念是建成數(shù)學大廈必不可少的基石。在小學數(shù)學教材中有非常多的概念，有數(shù)的概念、形的概念、運算的概念等等，主要分布在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率這三大領(lǐng)域，這些概念在培養(yǎng)學生的數(shù)感、空間觀念、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)和創(chuàng)新意識方面有不可替代的作用?，F(xiàn)代心理學研究表明，一個人的創(chuàng)造力不僅取決于知識，還取決于思維方式。而概念本身更多的是知識層面含量，概念的產(chǎn)生形成過程更多的是思維的結(jié)果。傳統(tǒng)的概念教學中往往有兩種傾向，一種是傾向于按學生的認知結(jié)構(gòu)來組織教學，忽視了知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；一種是傾向于按知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)來組織教學，忽視了學生的認知順序。兩種傾向都會使學生對概念的認識缺乏本質(zhì)深刻的認識。而APOS理論就很好地將兩者有效結(jié)合了起來，體現(xiàn)了“過程”與“對象”的雙重性，這與當前的課標理念是一致的，課標指出“數(shù)學課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)”。讓學生通過自身動手實踐、自主探索、合作交流，經(jīng)歷概念的認識、形成、深化、整合，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

二、理論介紹

APOS理論是由美國杜賓斯基在二十世紀八十年代所提出來的，該理論是皮亞杰“自反抽象”理論的一種拓展。該理論是用于概念教學的一種新模式，不僅適用于數(shù)學概念教學，也適合其他諸如物理、化學、生物里的概念教學，在不同學科中有各自的用法及意義。APOS理論，是由Action（活動）、Process（過程）、Object（對象）、Scheme（圖示）四個單詞的首字母組成，這四個單詞也表明了概念學習的四個心理階段?；顒樱ˋction）階段，是概念建立的起點，活動不僅包括動手的活動，還包括思維活動（回憶、猜想、判斷等），對感知到的對象進行轉(zhuǎn)化；過程（Process）階段，不斷地重復活動，學生就會從自己的活動中得到不斷的反思，從而在大腦中進行內(nèi)部的心理建構(gòu)，這個階段中，學生已經(jīng)不再需要進行外部的刺激，而是思考每個過程，對概念形成一般性的認識，由感性上升到理性。對象（Object）階段，當概念發(fā)展到這個階段時，學生會把過程看作一個整體，作為一個一般的對象并操作，這時學生不僅能認識到概念本質(zhì)，還會看到這個概念其他的性質(zhì)，并且可以把這個對象作為獨立的對象和其他對象進行數(shù)學活動，操作別的對象并被更高級的對象進行操作，為后面的學習打下基礎(chǔ)。圖示（Scheme）階段，個體對活動、過程、對象以及頭腦中已有的相關(guān)圖示進行整合，判斷某些問題或者某類問題是否屬于這個圖示，從而做出不同的反應(yīng)。

三、理論應(yīng)用

下面就結(jié)合平均數(shù)教學來進行實例分析。

教材分析：平均數(shù)是人教版四年級第八單元的內(nèi)容，是統(tǒng)計中的一個重要概念。在統(tǒng)計中，平均數(shù)常用于表示統(tǒng)計對象的一般水平，它是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個統(tǒng)計量。用平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的情況，有直觀、簡明的特點，所以在日常生活中經(jīng)常用到，學生掌握并理解這一概念非常重要。將APOS理論應(yīng)用于平均數(shù)教學中，具體過程如下：

第一階段：活動（Action）階段。學生在生活中經(jīng)常會碰到面對幾組不同數(shù)量的物品，要使每組物品一樣多的情景。這時學生雖然沒有平均數(shù)的概念，但學生通過實際操作已經(jīng)知道，要使每組物品一樣多，通過移多補少就可以。在操作活動中，學生積累了活動經(jīng)驗，為學習平均數(shù)奠定了基礎(chǔ)，也成為學生反省抽象的基礎(chǔ)，學生可以在豐富的操作之后抽象出總數(shù)÷份數(shù)即可。

第二階段：過程（Process）階段。重復多次進行移多補少的活動以及不斷對這一活動進行反省以后，學生可以不借助實際物品，而在頭腦中進行想象的操作活動，即進行心理建構(gòu)，形成概念的過程模式。在過程階段，學生從大量的平均數(shù)實例中抽象出求平均數(shù)用總數(shù)÷份數(shù)計算比較方便。處于過程階段的概念表現(xiàn)為一系列步驟，有操作性，相對直觀，比較容易理解。

第三階段：對象（Object）階段。當學生意識到可以把這個過程看作一個整體進行思維，并意識到可以對這個整體進行轉(zhuǎn)換和操作的時候，學生已經(jīng)把這個過程作為普通的數(shù)學對象，形成一個“實體”。在這個時候，教師不但可以引導學生去探究它所具有的各種性質(zhì)，也可以此為對象實施特定的數(shù)學演算。如平均數(shù)概念一旦形成一個“實體”，進入對象狀態(tài)，便呈現(xiàn)一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，學生可以認識平均數(shù)中各部分之間的關(guān)系：總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)。

第四階段：圖示（Scheme）階段。此時的“平均數(shù)”概念以一種綜合的心理圖式存在于腦海中，在數(shù)學知識體系中占有特定的地位。這種心理圖式含有具體的移多補少的實例、抽象的過程、完整的定義及其結(jié)構(gòu)關(guān)系，乃至和其他概念的區(qū)別和聯(lián)系。在圖式階段，學生不僅能清楚地判斷何種問題情境用平均數(shù)計算以及計算方法，同時能清楚地知道平均數(shù)各部分之間的關(guān)系，還可以理解平均數(shù)表示的含義，用平均數(shù)來理解一些生活現(xiàn)象。

四、思考

這個理論不僅指出學生的學習過程是建構(gòu)的，而且表明建構(gòu)的層次。這四個階段一般不能逾越，應(yīng)當循序漸進，同時，又不可只停留在具體、直觀、視覺化的階段，必須升華、逐級地抽象、不斷形式化，最后完成數(shù)學概念的建立。值得注意的是，首先，APOS理論并不適合所有的數(shù)學概念，它比較適合具有探究意味的概念，通過探究，可以將抽象的概念更加具體；其次，與高等數(shù)學領(lǐng)域的不同之處在于，初等數(shù)學中，在活動階段依賴于具體的操作對象，通過過程和對象階段不斷相互作用，形成一個新的抽象的對象，而在高等數(shù)學中可以依賴于抽象的操作對象進行活動，通過過程和對象階段不斷相互作用，形成一個新的抽象的對象。

[1]中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學課程標準：2011年版[M]． 北京：北京師范大學出版社, 2011．

[2]佟亮亮． APOS理論視角下數(shù)學概念教學模式的探究[D]．東北師范大學, 2013．

[3]白雪霏． APOS理論下的高中導數(shù)概念教學研究[D]．河北師范大學, 2014．

[4]莫韜． 基于APOS理論的圓錐曲線概念教學實證研究[D]． 廣西師范大學, 2007．