圓錐曲線焦點問題“面面觀”

沈輝

圓錐曲線的焦點既給圓錐曲線定“位”，又直接影響著圓錐曲線中某些“量”的變化；另外，圓錐曲線的眾多性質(zhì)都依賴于焦點，所以由焦點引發(fā)出圓錐曲線的許多問題倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相. 本文主要從五個方面介紹與圓錐曲線焦點有關(guān)的問題.

圓錐曲線的焦點“定位”問題

例1 求過點（2，-2），且與[x22-y2=1]有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解法一 分類討論法.

由題意得，雙曲線[x22-y2=1]的漸近線方程為[y=±22x].

（1）若所求雙曲線焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）].

則[ba=22]，

[∴b=22a]. ①

又點（2，-2）在雙曲線上，

[∴4a2-4b2=1]. ②

聯(lián)立①②得，方程組無解.

（2）若所求雙曲線的焦點在y軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為[y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）].

則[ab]=[22]，[∴a=22b]. ①

又點（2，-2）在雙曲線上，

[∴4a2-4b2=1]. ②

聯(lián)立①②得，

[a2=2]，[b2=4].

故所求雙曲線方程為[y22-x24=1].

點評 確定圓錐曲線的方程包括“定位”和“定量”兩個方面. 因此，在求解此類問題時，其通性通法是必須根據(jù)已知條件確定焦點的位置，不能確定焦點位置的，需對焦點是在[x]軸上還是在[y]軸上進行分類討論，不能遺漏任何一種情況.

解法二 待定系數(shù)法.

因為所求雙曲線與已知雙曲線[x22]-y2=1有相同的漸近線，

故可設(shè)雙曲線方程為[x22-y2=λ（λ≠0）].

又點（2，-2）在雙曲線上，

[∴λ=42]-4=-2.

故所求雙曲線的方程為[x22-y2=]-2，即所求雙曲線方程為[y22-x24=1].

點評 涉及求圓錐曲線方程的問題，根據(jù)已知條件并不能判定焦點的位置時，先不要急著分類討論解題，可以先理解題意，充分挖掘題目的個性特征，尋找思路更優(yōu)的解法. 如解法二，在已知漸近線反常的條件下，利用雙曲線系[x22-y2=λ（λ≠0）]求解，避免了分類討論，顯然優(yōu)于解法一.

圓錐曲線的焦半徑問題

例2 如圖，橢圓：[x29-y24=1]的左、右焦點為[F1]，[F2]，點P為橢圓上的動點，當(dāng)[∠F1PF2]為鈍角時，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

解析 設(shè)P的坐標(biāo)為[（x0，y0）]，由橢圓方程[x29-y24=1]可得，a=3，[c=5]，[e=53].

由焦半徑公式得，

[PF1=3+53x0]，[PF2=3-53x0].

又因為[∠F1PF2]為鈍角，

所以[PF12]+[PF22]-[F1F22]<0.

所以[（3+53x0）2]+[（3-53x0）2]-20<0.

解得，[-355

所以點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[（-355，][355）].

點評 連接圓錐曲線的焦點與曲線上任意一點的線段稱為它們的焦半徑. 有關(guān)圓錐曲線上的點與焦點的距離問題， 可考慮使用焦半徑公式來處理. 本例充分利用[∠F1PF2]為鈍角這一條件，由焦半徑公式求得兩條焦半徑[PF1]，[PF2]的長，進而用余弦定理求解.

圓錐曲線中焦點三角形問題

例3 已知橢圓C與橢圓：[x2+37y2=37]的焦點F1，F(xiàn)2相同，且橢圓C過點[（572，-6）].

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點P為橢圓C上一點，且∠F1PF2=[π3]，求△F1PF2的面積.

解析 （1）因為橢圓：[x237+y2=1]的焦點坐標(biāo)為[（-6，0）， （6，0）]，

所以設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

[x2a2-y2a2-36=1（a2>36）].

將點[（572，-6）]代入上式整理得，

[4a4-463a2+6300=0].

解得，[a2]=100，或[a2]=[634]（舍去）.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2100+y264=1].

（2）因為點P為橢圓C上任意一點，

所以[PF1+][PF2=2a=20].

由（1）知，c=6.

在△PF1F2中，[F1F2]=[2c]=12.

所以由余弦定理得，

[F1F22]=[PF12]+[PF22]-[2F1F22cosπ3]，

即[122=][PF12]+[PF22]-[PF1?PF2].

因為[PF12]+[PF22]=（[PF1+PF2）2]-[2PF1?PF2，]

所以[122=]（[PF1+PF2）2]-3[PF1?PF2].

所以[122=][202]-3[PF1?PF2].

所以[PF1?PF2]=[202-1223=32×83=2563].

故[SΔPF1F2][=12][PF1?PF2sinπ3]

[=12×2563×32=6433.]

所以△F1PF2的面積為[6433].

點評 橢圓或雙曲線上的一點與兩個焦點[F1]，[F2]所成的三角形，常稱之為焦點三角形. 在解與焦點三角形有關(guān)的問題時，經(jīng)?？煽紤]運用正、余弦定理和勾股定理等，通過變形，使之出現(xiàn)[PF1]與[PF2]的關(guān)系式，這樣便于運用橢圓或雙曲線的定義，求得[|PF1|·|PF2|]的值. 另外，在運算中要特別注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用.

圓錐曲線的焦點弦問題

例4 已知直線[l]經(jīng)過拋物線[y2=4x]的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點.

（1）若[AF]=4，求點A的坐標(biāo)；

（2）求線段AB的長的最小值.

解析 由[y2=4x]得，p=2，其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點F（1，0）.

設(shè)A（[x1，y1]），B（[x2，y2]）.

（1）由拋物線的定義可知，|AF|=[x1]+[p2]，

從而[x1]=4-1=3.

代入[y2=4x]，解得，[y1=±23].

∴點A的坐標(biāo)為（3，2），或（3，-2）.

（2）①當(dāng)直線[l]的斜率不存在時，直線[l]的方程為x=1，與拋物線相交于A（1，2），B（1，-2），此時[AB]=4.

②當(dāng)直線[l]的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=[k（x-1）].

與拋物線方程聯(lián)立得，[y=k（x-1），y2=4x.]

消去y整理得，[k2x2-（2k2+4）x+k2=0].

∵直線與拋物線相交于A，B兩點，

則k≠0，并設(shè)其兩根為[x1]，[x2].

∴[x1+x2=2+4k2].

由拋物線的定義可知，

|AB|=[x1+x2+p=4+4k2>4].

綜上所述，[AB]≥4，即線段AB的長的最小值為4.

點評 圓錐曲線過焦點的直線與圓錐曲線相交， 兩個交點連接而成的線段叫焦點弦. 由于焦點弦是圓錐曲線中一種特殊的弦，因此在解決此類問題時要充分挖掘焦點弦的特征，常用圓錐曲線的定義（特別是第二定義）將問題轉(zhuǎn)化，利用焦點弦長公式并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解. 本例第（2）問中，根據(jù)拋物線的定義，并結(jié)合焦點弦長公式[|AB|=x1+x2+p]把[|AB|]用含[k]的代數(shù)式表示出來，比直接用弦長公式[AB=（1+k2）x1-x2]整體代換、設(shè)而不求更簡潔.

圓錐曲線中與焦點有關(guān)最值問題

例5 設(shè)P是拋物線[y2=4x]上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.

（1）若點P到直線[x]=-1的距離為d，又A（-1，1），求[PA]+d的最小值；

（2）若B（3，2），求[PB]+[PF]的最小值.

解析 （1）依題意得，拋物線的焦點為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1.

由拋物線的定義知，[PF]=d.

于是問題轉(zhuǎn)化為求[PA]+[PF]的最小值.

如圖1，連接AF，交拋物線于點P，則最小值為[22+12=5].

（2）把點B的橫坐標(biāo)代入[y2=4x]中得， [y=±12].

因為[12]>2，所以點B在拋物線內(nèi)部. 自點B作BQ垂直準(zhǔn)線于點Q，交拋物線于點P1（如圖2）.

由拋物線的定義知，[P1Q]=[P1F].

則[PB]+[PF]≥[P1B]+[P1Q]=[BQ]=4.

即[PB]+[PF]的最小值為4.

點評 在圓錐曲線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最值問題時，往往利用其幾何特征，回歸定義，化折線為直線解決最值問題. 如本例的第（1）問中的兩定點位于拋物線兩側(cè)，直接利用“兩點之間線段最短”求解；而第（2）問中的兩定點位于拋物線同側(cè)，則利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，將同側(cè)（內(nèi)部）問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題，進而轉(zhuǎn)化為第（1）問求解. 需指出的是，本例中亦可把拋物線改為橢圓或雙曲線，同樣有類似的問題.