獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題策略

陳侃　陳梅

獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，與它有關(guān)的試題比較新穎，貼近生活，對考查大家“獲取信息、分析信息、應(yīng)用信息的能力”以及“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和意識”起到了非常重要的作用. 本文通過幾個(gè)例題對這一類問題進(jìn)行分析，加以總結(jié)，找出解決這類問題的方法.

對分類變量概念的理解

例1 對兩個(gè)分類變量A，B的下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

（1）A與B無關(guān)，即A與B互不影響

（2）A與B關(guān)系越密切，則K2的值就越大

（3）K2的大小是判定A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù)

A. 1 B. 2

C. 3 D. 0

解析 （1）正確，A與B無關(guān)，即A與B相互獨(dú)立；（2）錯(cuò)誤，[K2]的值的大小只用來檢驗(yàn)A與B是否相互獨(dú)立；（3）錯(cuò)誤，還可以借助三維柱形圖、二維條形圖等.

答案 A

點(diǎn)評 涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念問題，對基本概念的理解是求解的關(guān)鍵. 基本概念有分類變量、定量變量、列聯(lián)表等.

分類變量的強(qiáng)弱關(guān)系

例2 分類變量X和Y的列表如下，則下列說法判斷正確的是________. （填序號）

（1）ad-bc越小，說明X與Y的關(guān)系越弱

（2）ad-bc越大，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)

（3）（ad-bc）2越大，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)

（4）（ad-bc）2越接近于0，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)

解析 判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系，可以考查[ad-bc]的值的大小. [ad-bc]的值越大，說明兩個(gè)變量之間的關(guān)系越強(qiáng)；[ad-bc]的值越小，說明兩個(gè)變量的關(guān)系越弱. 故此題填（3）.

答案 （3）

點(diǎn)評 在列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，則[ad≈bc]，即[ad-bc≈0]. 所以在判斷兩個(gè)分類變量的強(qiáng)弱關(guān)系時(shí)，應(yīng)判斷[ad-bc]的大小.

考查[K2]的意義

例3 在對吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是（ ）

A. 若隨機(jī)變量K2的觀測值k>6.635，我們有99%的把握說明吸煙與患肺病有關(guān)，則若某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病

B. 若由隨機(jī)變量求出有99%的把握說吸煙與患肺病有關(guān)，則在100個(gè)吸煙者中必有99個(gè)人患有肺病

C. 若由隨機(jī)變量求出有95%的把握說吸煙與患肺病有關(guān)，那么有5%的可能性使得推斷錯(cuò)誤

D. 以上說法均不正確

解析 K2是確定多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；并不是說有99%的可能患有肺病，也不能說在100個(gè)吸煙者中必有99個(gè)人患有肺病.

答案 C

點(diǎn)評 本題考查對獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)際問題的差異的理解，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是一種相關(guān)關(guān)系，它與實(shí)際問題中的確定性是存在差異的，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率.

對兩種表示方法的理解

例4 通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下列聯(lián)表.

參照附表，得到的正確結(jié)論是________.

（1）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

（3）有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

（4）有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

解析 由K2≈7.8可知，[P（K2≥6.635）≈0.010]，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下或有99%以上的把握，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”.

答案 C

點(diǎn)評 本題考查隨機(jī)變量的觀測值[K2]與臨界值[k]的關(guān)系，使得在假設(shè)成立的情況下，觀測值[K2]要大于該臨界值[k]，然后得出結(jié)論.

獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題

例5 某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸（單位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件為優(yōu)質(zhì)品. 從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，測量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表.

（1）分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；

（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.

分析 獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的一般步驟：①用相關(guān)數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表；②計(jì)算統(tǒng)計(jì)量[K2]的值；③與臨界值比較，判斷是否相關(guān)，若相關(guān)，得出相關(guān)結(jié)論.

解 （1）甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為[360500]×100%=72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為[320500]×100%=64%.

（2）由題意得列聯(lián)表如下.

點(diǎn)評 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法. 要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量[K2]應(yīng)該很小. 如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的[K2]的觀測值很大，則在一定可信程度上說明假設(shè)不成立.