衍射圖形的新型光闌設(shè)計(jì)和再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)

張?zhí)鞂?，周望威，呂劍鋒，陳 星

(浙江大學(xué) 物理學(xué)系，浙江 杭州 310027)

衍射圖形的新型光闌設(shè)計(jì)和再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)

張?zhí)鞂?，周望威，呂劍鋒，陳 星

(浙江大學(xué) 物理學(xué)系，浙江 杭州 310027)

用蒙特卡洛和貪心兩者結(jié)合混合算法，根據(jù)光闌和入射光束波長設(shè)計(jì)出相應(yīng)的光闌求解出衍射圖案. 在菲涅耳衍射的情形下，對(duì)目標(biāo)圖案設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)仿真窗口，通過加入蒙特卡洛退火元素的混合算法對(duì)目標(biāo)圖案進(jìn)行反演計(jì)算,得到光闌編碼圖像，用擴(kuò)束準(zhǔn)直光路系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了設(shè)計(jì)正確性.

光闌;菲涅耳衍射;蒙特卡洛算法;貪心算法

假如光闌的形狀和入射光束的波長已知，可以求解衍射圖案，但是其逆過程，需要進(jìn)行反演計(jì)算[1]，在理論上比較困難. 雖然在菲涅耳衍射的情形下，可以利用貪心算法通過多次迭代得到期望的簡單衍射圖案[1-2]，但對(duì)分辨率較高較為復(fù)雜衍射圖案，進(jìn)行多次迭代，運(yùn)算時(shí)間很長，實(shí)時(shí)再現(xiàn)較差. 本設(shè)計(jì)方案加入蒙特卡洛退火的元素，用蒙特卡洛和貪心兩者結(jié)合的混合算法對(duì)于所期望得到的衍射圖案進(jìn)行反演計(jì)算[3]，并建立了參量修改圖形用戶界面(GUI)動(dòng)態(tài)的實(shí)驗(yàn)仿真窗口，界面窗口包含目標(biāo)圖案、距離與分辨率等參量的修改、數(shù)值模擬結(jié)果和設(shè)計(jì)好的光闌. 此光闌可加載在空間光調(diào)制器LC-SLM上，通過擴(kuò)束準(zhǔn)直光學(xué)系統(tǒng)輸出衍射圖案進(jìn)行驗(yàn)證，證明此光闌設(shè)計(jì)方法可行.

1 菲涅耳衍射數(shù)值算法

E2(x2,y2,z)= eikziλz?sE1(x1,y2)exp {ik2z[(x1-

x2)2+(y1-y2)2]},

(1)

式中，E1(x1,y1)，E2(x2,y2,z)為物平面和觀測(cè)平面的光波復(fù)振幅，z為兩平面的距離[4-5].

sinc 2ax2λzsinc 2by2λz.

(2)

因?yàn)檠苌鋱D案的形狀只與各點(diǎn)之間的相對(duì)光強(qiáng)有關(guān)，可以略去因子exp (ikz)/i、令波長λ=1取自然單位，并取a=b, 得到

(3)

2 設(shè)計(jì)模型

2.1 光闌設(shè)計(jì)

對(duì)于1 204a×1 200a的長方形, 將其等分為602×600, 共計(jì)361 200個(gè)正方形小格，每小格的邊長2a. 每個(gè)小格都會(huì)居于 “透光”和 “不透光”2種狀態(tài)中的1種, 所有“透光”的小正方形，構(gòu)成了光闌實(shí)際透光的部分，決定了光闌的形狀. 假設(shè)狀態(tài)為“透光”的正方形小格，中心坐標(biāo)為(x1,y1). 其產(chǎn)生的衍射光強(qiáng)分布為

E2(x2,y2,x1,y1，z)=4a2zexp{iπz[(x2-x1)2+(y2-

y1)2]}sinc 2a(x2-x1)zsinc 2a(y2-y1)z.

(4)

可用正方形小格中心點(diǎn)的光強(qiáng)，近似代替整個(gè)小格的平均光強(qiáng). (4)式中的x2-x1，y2-y1，所可能取到的值有： ±600a,±598a, …，±2a,0,±598a，±596a, …，±2a, 0.

共計(jì)601×599個(gè)衍射數(shù)據(jù). 建立存放601×599個(gè)衍射數(shù)據(jù)矩陣數(shù)組，根據(jù)光闌小格和衍射圖案小格的相對(duì)位置，就可以調(diào)用矩陣數(shù)組中的相應(yīng)衍射數(shù)據(jù). 菲涅耳數(shù)NFF≥1 orNFF≤1都不是我們要的. 選取菲涅耳數(shù)NFF=1經(jīng)過衍射可以疊加出復(fù)雜的圖案[4-5]. 這時(shí)衍射圖案主體的尺寸與光闌尺寸保持相同. 目標(biāo)圖案也為1 204a×1 200a的長方形. 同樣可分割為602×600, 共計(jì)361 200個(gè)正方形小格，每小格的邊長為2a. 光闌和衍射屏示意圖如圖1所示.

圖1 光闌和衍射屏示意圖

2.2 設(shè)計(jì)思路

1)選擇圖案轉(zhuǎn)換成二值圖，作為目標(biāo)圖案. 因?yàn)槎祱D的像素點(diǎn)只有“1” 和“0”即“透光”和“不透光”中的1種.

2)對(duì)光闌中所有的正方形小格隨機(jī)賦予“透光”或者“不透光”的初始狀態(tài).

3)對(duì)所有的小正方形進(jìn)行掃描(遍歷). 當(dāng)掃描(遍歷)至某個(gè)小正方形時(shí)，改變其透光與否的狀態(tài)，若改變當(dāng)前狀態(tài)可使衍射圖案更接近于目標(biāo)圖案，則改變?cè)摖顟B(tài)，否則維持原狀態(tài)不變. 即具有貪心的選擇性.

4)比較目標(biāo)圖案對(duì)所有的光闌進(jìn)行掃描(遍歷)之后，就可以得到接近目標(biāo)圖案的衍射圖案,即具有貪心的子結(jié)構(gòu)選擇性. 進(jìn)行多輪這樣的遍歷，得到貪心算法的最優(yōu)解——最終衍射圖案.

2.3 模擬實(shí)驗(yàn)及分析

目標(biāo)衍射圖案以“浙大?；铡睘槭纠?如圖2所示. 圖案衍射圖案與目標(biāo)圖案的接近程度按判據(jù)ε值的大小來判斷. 對(duì)目標(biāo)圖案和實(shí)際衍射圖案的光強(qiáng)，進(jìn)行歸一化.

目標(biāo)衍射圖案中，透光(白色像素=1)小格的期望光強(qiáng)為Iexp(x2,y2)=1,不透光(黑色像素=0)Iexp(x2,y2)=0.

(a)分辨率602×600圖案 (b)運(yùn)算得到的光闌

(c)模擬再現(xiàn)衍射圖案 (d)目標(biāo)衍射圖案圖2 目標(biāo)衍射圖案示例

定義歸一化后的期望光強(qiáng)I1exp(x2,y2)為：

I1exp(x2,y2)=Iexp (x2,y2)∑x2,y2Iexp (x2,y2)/N,

(5)

其中，N為目標(biāo)圖案的小格數(shù)目，本例N=361 200.

某種形狀的光闌所產(chǎn)生的衍射圖案在衍射屏上處的光強(qiáng)為

I(x2,y2)=∑x2,y2E2(x2,y2,x1,y1，z)2,

(6)

式中∑x2,y2對(duì)應(yīng)于所有處于“透光”狀態(tài)的光闌小格. 同樣對(duì)衍射圖案在衍射屏上處的光強(qiáng)歸一化為

I1(x2,y2)=I(x2,y2)∑x2,y2I(x2,y2)/N.

(7)

衍射圖案的形狀只取決于相對(duì)光強(qiáng)的大小，歸一化并不會(huì)影響衍射圖案的形狀.

判據(jù)定義ε為

ε≡∑x2,y2(|I1(x2,y2)-I1exp (x2,y2)|2).

用均方誤差ε值的大小作為2種圖案接近程度的判據(jù). 分辨率較高較為復(fù)雜衍射圖案，目標(biāo)圖案對(duì)所有的光闌進(jìn)行掃描(全體遍歷)并多次迭代. 運(yùn)算時(shí)間較長，實(shí)時(shí)再現(xiàn)較差. 可以對(duì)貪心算法的多次迭代進(jìn)行優(yōu)化. 達(dá)到同樣ε值，用蒙特卡洛方法代替多次迭代，用隨機(jī)掃描：沿著已有的圖像展開搜索，即采樣點(diǎn)是在原來點(diǎn)附近隨機(jī)上下左右各掃描X(設(shè)置的取樣點(diǎn)數(shù))個(gè)點(diǎn). 加入蒙特卡洛退火的元素，用蒙特卡洛和貪心兩者結(jié)合的混合算法對(duì)于所期望得到的衍射圖案進(jìn)行反演計(jì)算[1，3]. 一種全局搜索能力極強(qiáng)的算法, 相應(yīng)地系統(tǒng)就能夠獲得擺脫局部能量極小點(diǎn)的機(jī)會(huì)，并找到更好的、更接近于整體的極小點(diǎn). 設(shè)計(jì)編寫了簡單明了的用戶界面(圖3)，界面中的可變參量：距離、輸出圖案尺寸. 全體掃描、多次迭代次數(shù)、優(yōu)化算法參數(shù)：隨機(jī)掃描、迭代次數(shù)、 采樣點(diǎn) 退火參數(shù)等及實(shí)驗(yàn)仿真窗口. 輸出光闌. 模擬再現(xiàn)圖案. 這些參量決定了整個(gè)收斂的準(zhǔn)確度以及收斂速度的快慢，需要根據(jù)ε值不斷嘗試． 兩種圖案接近程度. 運(yùn)行時(shí)設(shè)橫向運(yùn)行條和縱向運(yùn)行條可顯示掃描進(jìn)度.

圖3 實(shí)驗(yàn)仿真窗口用戶界面(GUI)

3 光闌的制作和在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中再現(xiàn)

對(duì)整個(gè)光闌是菲涅耳衍射，對(duì)單個(gè)像數(shù)小正方形是夫瑯禾費(fèi)衍射. 要求是光強(qiáng)均勻分布的平行光. 因?yàn)榧す馄魃涑龅氖歉咚构馐脭U(kuò)束準(zhǔn)直系統(tǒng)[1，6]由擴(kuò)束鏡、針孔濾波器和傅里葉變換透鏡準(zhǔn)直鏡組成. 將激光細(xì)光束擴(kuò)展為光強(qiáng)均勻分布的平行寬光束. 擴(kuò)束由顯微物鏡和針孔組成的濾波器完成，然后經(jīng)過傅里葉變換透鏡的準(zhǔn)直鏡準(zhǔn)直后平行通過起偏器，調(diào)節(jié)起偏器的角度使入射光的偏振態(tài)與空間光調(diào)制器一致，然后通過加載了光闌信息的 LC-SLM后,在衍射屏再現(xiàn)目標(biāo)圖案.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

雖然2塊透鏡組成望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)[2]，也能再現(xiàn)分辨率較低的文字和簡單圖案. 對(duì)分辨率較高的圖案，由于光束的不均勻，會(huì)導(dǎo)致衍射圖案邊緣畸變的實(shí)驗(yàn)誤差. 用圖4擴(kuò)束準(zhǔn)直系統(tǒng)：擴(kuò)束鏡和準(zhǔn)直鏡的焦點(diǎn)重合，構(gòu)成逆望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)在二透鏡共同焦點(diǎn)上放置針孔濾波器，用于高頻噪聲消除. 光束質(zhì)量得以提高，獲得了寬度大于LC-SLM相面尺寸光強(qiáng)均勻分布的平行光束[1，6]. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果很清晰地表現(xiàn)了分辨率602×600圖案目標(biāo)圖案圖2(a). 圖5為分辨率755×599圖案制作光闌和通過圖4實(shí)驗(yàn)裝置圖再現(xiàn)目標(biāo)衍射圖案. 從圖5(d)實(shí)驗(yàn)結(jié)果看出圖像細(xì)節(jié)表現(xiàn)得很清晰.

圖4 再現(xiàn)目標(biāo)圖案實(shí)驗(yàn)裝置圖

(a)分辨率755×599圖案 (b)運(yùn)算得到的光闌

(c)模擬再現(xiàn)衍射圖案 (d)實(shí)驗(yàn)再現(xiàn)衍射圖案圖5 再現(xiàn)衍射圖案

5 結(jié)束語

光闌形狀和入射光束的波長已知的正過程是可以求解的，但是其逆過程，在理論上比較困難. 需要進(jìn)行反演計(jì)算. 本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案先加入蒙特卡洛退火的元素并用蒙特卡洛和模擬退火算法兩者相結(jié)合的混合算法對(duì)復(fù)雜衍射圖案進(jìn)行反演計(jì)算，從動(dòng)態(tài)模擬實(shí)驗(yàn)和光學(xué)實(shí)驗(yàn)都驗(yàn)證設(shè)計(jì)的光闌能成功再現(xiàn)目標(biāo)衍射圖案. 建立參量目標(biāo)圖案、距離與分辨率等參量可修改圖形用戶界面(GUI) 的動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)仿真窗口. 在光闌制作上分析菲林片和液晶光閥的再現(xiàn)過程，發(fā)現(xiàn)相同輸出圖案尺寸下，分辨率液晶光閥大于菲林片. 再現(xiàn)衍射圖案分辨率可達(dá)到液晶光閥分辨率，液晶光閥沒有菲林片實(shí)驗(yàn)誤差：光闌孔徑偏差，因此光闌制作優(yōu)選液晶光閥.

[1] 潘安，張曉菲，王彬. 厚樣品三維疊層衍射成像的實(shí)驗(yàn)研究[J]. 物理學(xué)報(bào),2016,65(1):014204-1-16.

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[3] 童晟飛，王正憶，陳星. 光學(xué)薄膜橢圓偏振數(shù)據(jù)反演的優(yōu)化算法[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2012,32(9):22-28.

[4] 李俊昌. 衍射計(jì)算及數(shù)字全息[M]. 北京:科學(xué)出版社,2014.

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[責(zé)任編輯：郭 偉]

Design and experiment of new diaphragm to get expected diffraction patterns

ZHANG Tian-ning, ZHOU Wang-wei, LJian-feng, CHEN Xing

(Department of Physics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

According to the diaphragm and the wavelength of the incoming light beam, the corresponding apertures were designed to solve the diffraction pattern using a combination of Monte Carlo and greed algorithm. In the regime of Fresnel diffraction, a dynamic simulation window to the target pattern was designed. By joining a blend of elements of the Monte Carlo annealing algorithm, the target pattern was inversely calculated. The coded image of diaphragm was obtained, and the accuracy with the expanded beam collimation light path system was verified by the experiments.

diaphragm; Fresnel diffraction; Monte Carlo algorithm; greedy algorithm

2016-05-27；修改日期：2016-07-14

張?zhí)鞂?1994-)，男，浙江嵊州人，浙江大學(xué)物理學(xué)系求是科學(xué)班(物理)2013級(jí)本科生.

指導(dǎo)教師：陳 星(1962-)，男，浙江杭州人，浙江大學(xué)物理學(xué)系高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，學(xué)士，從事光學(xué)、原子結(jié)構(gòu)、核物理等近代物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與研究．

O436．1

A

1005-4642(2017)01-0048-04

“第9屆全國高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文