高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
——以“數(shù)列綜合復(fù)習(xí)（觀察—猜想—證明）”為例

張淑貞 張 雄

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
——以“數(shù)列綜合復(fù)習(xí)（觀察—猜想—證明）”為例

張淑貞 張 雄

以“數(shù)列綜合復(fù)習(xí)（觀察—猜想—證明）”為例，介紹如何在高三第二輪復(fù)習(xí)中組織教學(xué)內(nèi)容和設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)；基于考情和學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)；在教學(xué)中采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)思想 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

在高三數(shù)學(xué)的第二輪復(fù)習(xí)中，怎么做才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到思維上的漏洞，運(yùn)算、推理等能力上的不足并逐步改進(jìn)，這一直困擾著高三數(shù)學(xué)教師們。本文以“數(shù)列綜合復(fù)習(xí)”課為例，談?wù)劰P者對(duì)高三復(fù)習(xí)課的看法。

筆者學(xué)校中的大多數(shù)學(xué)生對(duì)于理解數(shù)列綜合型題目以及根據(jù)題意采用一定的方法去探究問(wèn)題，存在較大困難；部分學(xué)生甚至在心理上已經(jīng)對(duì)數(shù)列問(wèn)題產(chǎn)生了負(fù)面情緒，影響了正常的思維過(guò)程。因此，在二輪復(fù)習(xí)中，教師既要提高學(xué)生解決數(shù)列綜合問(wèn)題的能力，克服盲目機(jī)械訓(xùn)練的傾向，扎扎實(shí)實(shí)地向落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、切實(shí)提高數(shù)學(xué)思維能力的方向發(fā)展，又要幫助其樹(shù)立信心。

一、教學(xué)目標(biāo)

本課側(cè)重于提升學(xué)生的問(wèn)題分析與解決能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)探究與創(chuàng)新能力，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)要求，筆者將教學(xué)目標(biāo)具體列為以下幾點(diǎn)：

（1）能自主地學(xué)習(xí)一些有關(guān)數(shù)列的“新概念”，并能初步運(yùn)用；

（2）能運(yùn)用“特殊與一般”的思想研究數(shù)列問(wèn)題；

（3）能運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法和科學(xué)研究方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，尋求和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)律和聯(lián)系；能正確地表述探究過(guò)程和結(jié)果，并予以證明；

（4）會(huì)利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)和提出有一定價(jià)值的問(wèn)題。

根據(jù)以上目標(biāo)，本課的重難點(diǎn)為：能運(yùn)用“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行探究；能正確地表述探究過(guò)程和結(jié)果，并運(yùn)用基本知識(shí)、基本技能予以證明。針對(duì)這一目標(biāo)，筆者計(jì)劃通過(guò)層層遞進(jìn)的例題驅(qū)動(dòng)，利用不同問(wèn)題解決方法的差異，引領(lǐng)學(xué)生深入理解“化歸與轉(zhuǎn)化”與“特殊與一般”這兩種數(shù)學(xué)思想方法，尤其是發(fā)現(xiàn)“觀察—猜想—證明”在解決一些數(shù)列綜合問(wèn)題時(shí)的重要作用。

二、設(shè)計(jì)思路

基于以上教學(xué)目標(biāo)，筆者在實(shí)施教學(xué)前進(jìn)行了以下思考：

（1）在教學(xué)設(shè)計(jì)上，要注重教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)。精心設(shè)計(jì)的復(fù)習(xí)課模式，有利于學(xué)生掌握雙基，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂中重視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。如果教師能將教學(xué)過(guò)程變成學(xué)生對(duì)知識(shí)的回顧過(guò)程，變成學(xué)生自己探索提升的過(guò)程，就能有效提升學(xué)生的能力。

（2）在教法上，可以采用“啟發(fā)—探究—討論—?dú)w納—應(yīng)用”的教學(xué)模式，教師只引導(dǎo)、點(diǎn)撥，使學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，使學(xué)生完全成為課堂主人，啟發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

（3）在學(xué)法上，可以以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)，著眼于知識(shí)的形成和發(fā)展，以問(wèn)題鏈形式，由淺入深、循序漸進(jìn)，讓不同層次的學(xué)生都能參與到課堂教學(xué)中。

（4）在教學(xué)策略上，可以將觀察、思考、討論貫穿于整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，采用啟發(fā)式教學(xué)法和師生互動(dòng)式教學(xué)模式，注意師生之間的情感交流，并教給學(xué)生“多觀察、動(dòng)腦想、大膽猜、勤鉆研”的研討式學(xué)習(xí)方法。

三、教學(xué)過(guò)程

為提高學(xué)生主動(dòng)性，筆者采取了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式組織本節(jié)課，并針對(duì)部分問(wèn)題，采取對(duì)話的形式進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生自主研究問(wèn)題和參與評(píng)價(jià)的意識(shí)。

（一）問(wèn)題導(dǎo)入，激發(fā)思考

筆者以一個(gè)非特殊（非等差、等比）數(shù)列求通項(xiàng)作為引例，引導(dǎo)學(xué)生思考解決方法，尋找解題途徑。此處的解題方式基本可歸納為兩種方案：求出數(shù)列的前若干項(xiàng)，通過(guò)觀察，猜想數(shù)列通項(xiàng)，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法證明；也可以將遞推關(guān)系通過(guò)取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項(xiàng)解決。通過(guò)比較，使學(xué)生感受到“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法。

環(huán)節(jié)1

【問(wèn)題 1】當(dāng)遇到等差數(shù)列或等比數(shù)列中的求值問(wèn)題時(shí)，我們通常用什么方法解決？

【問(wèn)題2】我們一般用什么方法證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列呢？

【問(wèn)題3】是不是所有的數(shù)列都是等差數(shù)列或等比數(shù)列呢？如果遇到不是等差數(shù)列或者等比數(shù)列的數(shù)列問(wèn)題，我們?cè)撊绾谓鉀Q呢？

【引例】 數(shù)列{an}滿足：a1=3，an+1=an3，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=_______。

（設(shè)計(jì)思路）由新數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，通過(guò)觀察得到的規(guī)律，歸納出結(jié)果。或者轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式。使學(xué)生感受到“特殊與一般”數(shù)學(xué)思想方法在解數(shù)列問(wèn)題時(shí)的重要性。

【小結(jié)】 遇到非等差數(shù)列或等比數(shù)列的新數(shù)列問(wèn)題時(shí)，我們通常采用以下兩種思想方法：

（1）運(yùn)用“觀察—猜想—證明”的方法解決問(wèn)題。證明時(shí)可用數(shù)學(xué)歸納法。

（2）運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的問(wèn)題后求解。

導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，實(shí)際是提出解決非特殊數(shù)列問(wèn)題的方法，讓學(xué)生通過(guò)具體的解決過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解決問(wèn)題的意義，形成解決方案的具體途徑，從而培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣和能力。

（二）深入探究，總結(jié)方法

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)后，筆者又提出了例1和例2。例題的解決方案并不是對(duì)引例方法進(jìn)行簡(jiǎn)單地套用，而是需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行具體分析和深入思考。如例1不能轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，但可通過(guò)特殊值猜想等式，從而用數(shù)學(xué)歸納法證明；例2可通過(guò)特殊值歸納奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，但又較難用所學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法證明，從而促使學(xué)生對(duì)遞推關(guān)系再進(jìn)行思考，感悟問(wèn)題所給的條件實(shí)際是數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比構(gòu)成的新數(shù)列是一個(gè)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之和為常數(shù)的“等和”數(shù)列，進(jìn)而能尋找解決途徑。

環(huán)節(jié)2

【例1】 已知數(shù)列{an}中，，n∈N*，且Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)對(duì)一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫(xiě)出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由。

（設(shè)計(jì)思路）此題不方便用“化歸與轉(zhuǎn)化”的思想轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題。進(jìn)一步突出“觀察—猜想—證明”思想方法的重要性。

【例2】 若數(shù)列{an}滿足（k為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{an}為“等比和數(shù)列”，k稱(chēng)為公比和。已知數(shù)列{an}是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中a1=1，a2=2，則a2017= ______。

【追加問(wèn)題】 在例2的題設(shè)下，我們還能提出什么問(wèn)題？

（設(shè)計(jì)思路）能自主地學(xué)習(xí)數(shù)列的“新概念”，并能初步運(yùn)用。會(huì)利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)和提出有一定價(jià)值的問(wèn)題。能運(yùn)用“觀察—猜想—證明”的思想方法探究數(shù)列問(wèn)題，并在證明時(shí)能夠回歸基本知識(shí)和定義。

通過(guò)設(shè)計(jì)導(dǎo)入環(huán)節(jié)及解決例1、例2，筆者的著眼點(diǎn)是讓學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題解決過(guò)程中反映出的數(shù)學(xué)思想方法，在解決過(guò)程中建立培養(yǎng)能力的途徑，避免數(shù)學(xué)習(xí)題的套路化、模式化的訓(xùn)練體系。

四、教學(xué)反思

這節(jié)課，筆者通過(guò)對(duì)數(shù)列知識(shí)的復(fù)習(xí)，牢牢鎖住數(shù)列的定義，引導(dǎo)學(xué)生從觀察題目、分析條件，到猜想和歸納結(jié)果，再加以論證，由因到果，層層遞進(jìn)；尤其注重討論式、參與式活動(dòng)的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觀察、操作、比較、猜想、推理、交流等多種形式的活動(dòng)，注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，使學(xué)生有效地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。在后半階段，筆者還讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)并提出相關(guān)問(wèn)題，真正做到探究式學(xué)習(xí)。在這節(jié)課中，教師不再是整節(jié)課的主導(dǎo)者，而是將課堂還原給學(xué)生，通過(guò)深入淺出和層層遞進(jìn)的啟發(fā)，使學(xué)生思維活躍、信息交流暢通。反思本節(jié)課的教學(xué)，筆者得到了以下收獲：

（1）高三的第二輪復(fù)習(xí)課看似簡(jiǎn)單，其實(shí)不容易上，往往都會(huì)變成習(xí)題講解課。復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)該著重于講解數(shù)學(xué)思想方法，不能一味地就題論題。例題應(yīng)圍繞著教學(xué)的核心思想來(lái)安排，最好是有關(guān)聯(lián)性，層層遞進(jìn)。

（2）課堂上應(yīng)該更多地讓學(xué)生講、讓學(xué)生寫(xiě)，規(guī)范其語(yǔ)言及文字表達(dá)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在講解題目時(shí)更多地揭示自己的思維過(guò)程。這樣講題的同學(xué)能最大程度地提高思維能力，聽(tīng)講的同學(xué)也能有所收獲。

（3）積極在課堂中引入各類(lèi)評(píng)價(jià)機(jī)制，既能了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，又能反過(guò)來(lái)促進(jìn)學(xué)生的理解和表達(dá)。

張淑貞 上海市風(fēng)華中學(xué) 200072

張 雄 上海市延安中學(xué) 200336