圖形變換法在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用與探究

廣東省廣州市第二中學(xué)(510040) 溫良謙

圖形變換法在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用與探究

廣東省廣州市第二中學(xué)(510040) 溫良謙

幾何學(xué)習(xí)是初中教學(xué)體系中的難點(diǎn)之一.而如何有效地訓(xùn)練學(xué)生的幾何思維,提高學(xué)生的解題能力,更是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重中之重.事實(shí)證明,若教師不能采取合理而有效的教學(xué)方案,將會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí),甚至是對(duì)數(shù)學(xué)這一學(xué)科失去信心,喪失學(xué)習(xí)興趣.我們應(yīng)該化繁為簡,擺脫漫無目的的題海戰(zhàn)術(shù),提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的成績,信心.這里我們就來探索幾何教學(xué)中,本人教學(xué)實(shí)踐中積累的有效方法——圖形變換法.

圖形變換法就是幾何圖形在平面上滿足某種條件的運(yùn)動(dòng).將分散的點(diǎn)、線段、角等已知圖形轉(zhuǎn)移到恰當(dāng)?shù)奈恢?從而使分散的條件都集中在某個(gè)基本圖形中,建立起某種數(shù)量關(guān)系.它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)處理孤立的、離散的問題的思想,很好地領(lǐng)會(huì)這種解題的思想實(shí)質(zhì),并能準(zhǔn)確合理地使用,在解題中會(huì)收到奇效,也將有效提高思維品質(zhì).

一、現(xiàn)階段初中幾何教學(xué)法當(dāng)中的一些困惑

(一)教學(xué)中不注意啟發(fā)和點(diǎn)撥學(xué)生的邏輯思維

幾何是邏輯思維的典型體現(xiàn),從一些原始概念和公理出發(fā),搭建起幾何知識(shí)體系的大廈.對(duì)于幾何教學(xué)來說,首先必須以啟發(fā)和點(diǎn)撥的方式,幫助學(xué)生搭建起邏輯思維的框架,建立起邏輯思維的能力,然后才能引導(dǎo)學(xué)生掌握幾何知識(shí).然而在教學(xué)中由于趕課時(shí),感覺學(xué)生“水平”不夠等原因沒能遵守這個(gè)順序,一開始不注重啟發(fā)和點(diǎn)撥學(xué)生的邏輯思維,造成學(xué)生連必要的邏輯思維都不具備,在學(xué)習(xí)中自然是“云里霧里”,最后失去學(xué)習(xí)興趣.

(二)不注意化難為簡

雖然學(xué)生在小學(xué)也學(xué)過一些關(guān)于幾何的知識(shí),但小學(xué)的幾何知識(shí)僅僅是讓學(xué)生理解一些淺顯的幾何概念和進(jìn)行一些簡單的運(yùn)算,并不涉及到推理和證明.但初中幾何卻建立在大量的推理和證明的基礎(chǔ)上,這種學(xué)習(xí)思路對(duì)于學(xué)生來說無疑是很陌生的.而往往在教學(xué)時(shí),沒有充分“備學(xué)生”,不太了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備,在教學(xué)中沒有注意化難為簡,學(xué)生就會(huì)很難適應(yīng).尤其是對(duì)于一些接受能力不足的學(xué)生來說,還會(huì)越學(xué)越感到困難.

(三)錯(cuò)誤采取題海戰(zhàn)術(shù)

很長一段時(shí)間,我為了讓學(xué)生快速地掌握知識(shí),為了提高學(xué)生的解題能力,幾乎把題海戰(zhàn)術(shù)當(dāng)成了最大的“法寶”.不斷地給學(xué)生布置大量的習(xí)題,尤其是搜羅一些偏題、怪題讓學(xué)生花大量時(shí)間思考,完成.這樣的教學(xué)模式讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)簡直就是“受刑”,使學(xué)生既缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)力,又收獲不到幾何知識(shí)的樂趣和美.學(xué)習(xí)效果自然難以提高.

(四)教學(xué)中沒能尊重學(xué)生的主體地位

按照現(xiàn)代化的教學(xué)模式,學(xué)生在教學(xué)中處于主體地位,教師是教學(xué)中的主導(dǎo).教師不是越俎代庖地替學(xué)生去思考,而是為學(xué)生充當(dāng)一個(gè)“引路人”,為學(xué)生提供一些正確的學(xué)習(xí)思路.但是,在課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi),沒能意識(shí)到這一點(diǎn),是把知識(shí)嚼碎了“喂”給學(xué)生,自以為在一步步引導(dǎo)學(xué)生走向正確答案.實(shí)際上學(xué)生沒有了思考的過程,幾何素質(zhì)并沒有得到提高.

二、“圖形變換法”在幾何教學(xué)中的優(yōu)點(diǎn)

圖形與變換,能夠讓圖形變動(dòng)起來,能夠更直觀清晰地發(fā)現(xiàn)關(guān)于幾何圖形的一些性質(zhì)定理,在研究和學(xué)習(xí)幾何問題的過程中起到了重要的作用[1].利用“圖形變換法”進(jìn)行幾何教學(xué),其優(yōu)勢主要體現(xiàn)為：

(一)有利于建立學(xué)生的幾何思維和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

運(yùn)用“圖形變換法”來進(jìn)行幾何教學(xué),學(xué)生就可以在圖案變換的過程中,了解到幾何的一些基本邏輯的框架是怎樣搭建起來的,了解到幾何公理、原始概念在幾何圖形中的體現(xiàn),了解到幾何知識(shí)點(diǎn)在解題中的運(yùn)用,從而有效地建立起學(xué)生的幾何思維.

此外,通過“圖形變換法”,學(xué)生還能在圖形的平移和變換中,體驗(yàn)到幾何的美.使學(xué)生感到幾何并非是“冷冰冰”的學(xué)問,其實(shí)也蘊(yùn)含著盎然的樂趣.這樣就能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)他們主動(dòng)學(xué)習(xí).

(二)能夠有效地使教學(xué)化難為簡

運(yùn)用“圖形變換法”,可以有效地將一道原本較復(fù)雜的題目分解為若干個(gè)較為簡單的步驟,有效地在教學(xué)中做到了化難為簡.尤其對(duì)于那些接受能力較差的學(xué)生來說,一旦在教學(xué)中有效地做到了化難為簡,就能降低他們的接受難度,增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心.

(三)能夠讓學(xué)生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中解放出來

運(yùn)用“圖形變換法”,能很容易進(jìn)行變式教學(xué),學(xué)生的幾何思維能力有了提高,教學(xué)也變得相對(duì)簡便易行,因此就沒有必要做過多的題目了,無形中從“題?！敝薪夥帕顺鰜?此外,運(yùn)用“圖形變換法”,還可以有效地實(shí)現(xiàn)一題多解,從多種角度訓(xùn)練他們的思維能力.

(四)有利于尊重學(xué)生的主體地位

在數(shù)學(xué)課堂上,對(duì)于同一道題的“圖形變換”來說,可能有若干種不同的方案.這是一個(gè)需要開動(dòng)腦筋積極思考的過程.在這個(gè)過程中,學(xué)生通過自己的積極思考,積極設(shè)計(jì)圖形變換方案來解題,儼然成了教學(xué)活動(dòng)中的主體,這時(shí),如果教師能給予充分的時(shí)間,發(fā)揮學(xué)生的自主性,提問學(xué)生,讓學(xué)生在課堂上暢所欲言,就能極大地提高了學(xué)生的課堂參與度.

三、“圖形變換法”在初中幾何教學(xué)中的運(yùn)用措施

有效運(yùn)用圖形變換,促進(jìn)學(xué)生自主思考與探究,引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化訓(xùn)練與轉(zhuǎn)換思維,更好地提高學(xué)生分析、轉(zhuǎn)換與解題能力,也提高學(xué)生思維靈活度和實(shí)踐能力[2],這是我們對(duì)“圖形變換法”的教學(xué)定位.這里我們以具體的實(shí)例來探討其教學(xué)措施.

(一)向?qū)W生引入理論

首先我們要向?qū)W生引入“圖形變換法”的理論：所謂“圖形變換法”,即對(duì)同一平面的相關(guān)點(diǎn)、線、面進(jìn)行平移或旋轉(zhuǎn),進(jìn)行解題.這類問題往往會(huì)覺得題目給出的條件不夠,很難利用常規(guī)方法或者思路解決問題,而從圖形變換的角度處理問題,往往能發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件,抓住問題的關(guān)鍵與實(shí)質(zhì),從而使問題得以突破.

(二)應(yīng)用舉例

(2016?青海西寧改編)如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E、F 分別是AB、BC 邊上的點(diǎn),且 ∠EDF=45°,若AE=1,則EF的長為___.

這題是九年級(jí)上旋轉(zhuǎn)一章一道常見題,很所學(xué)生在第一次見時(shí)都感覺很困難,毫無頭緒.在不做圖形變換下,很難找出已知量和未知量之間的關(guān)系,45°這個(gè)條件似乎也沒有什么用.而此題的變換可以有兩個(gè)角度：

全等角度：解法1：延長FC至M,使CM=AE,先得 △DCM△DAE,再得 △DEF△DMF,設(shè)EF=MF=x,∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x,在Rt△EBF中,由勾股定理得E B2+BF2=EF2即

旋轉(zhuǎn)角度：解法 2：△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到△DCM,∠FCM= ∠FCD+ ∠DCM=180°,F、C、M 三點(diǎn)共線,得 △DEF△DMF,EF=MF,設(shè)EF=MF=x,BF=BM-MF=BM-EF=4-x,在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2即

經(jīng)過實(shí)踐長期,“圖案變換法”教學(xué)中應(yīng)注意以下要點(diǎn)

1.調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考

對(duì)于一道幾何題目而言,進(jìn)行圖案的變換是一個(gè)思考的過程.而且解法可能不止一種,如上題.所以我們應(yīng)當(dāng)調(diào)動(dòng)學(xué)生積極開動(dòng)自己的大腦,對(duì)圖形的變換方案進(jìn)行充分思考.必要時(shí)可以將學(xué)生分為若干個(gè)小組進(jìn)行討論.通過討論,最后由每個(gè)小組分別上報(bào)各自的圖形變換方案.教師要積極地對(duì)學(xué)生的創(chuàng)意進(jìn)行肯定.

2.引導(dǎo)學(xué)生做到一題多解

同樣的一道幾何題,其圖形的變換方案不是千篇一律的,因而其解題法就是多樣化的.以就上面例題來說,就分別以兩種思路進(jìn)行變換,形成了兩種不同的解法.所以,我們應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行一題多解.通過一題多解,從多個(gè)角度訓(xùn)練他們的幾何思維,開闊他們的幾何思路.事實(shí)證明,在同一道題中運(yùn)用多種解法,要比采用單一解法來做好幾道題都有效.

3.引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中收獲幾何知識(shí)的美

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)體系的美,是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一個(gè)有效手段.著名數(shù)學(xué)家丘成桐教授就很注意發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美.幾何中的美,并非是音樂、美術(shù)等藝術(shù)形式當(dāng)中的那種“美”.它是一種基于邏輯思維模式的,以嚴(yán)謹(jǐn)和精確為特征的美,是一種更高層次的美.在教學(xué)過程中,我們要善于帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種“美”.

四.實(shí)踐反饋

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,往往到了半年級(jí)全等后會(huì)出現(xiàn)分化,尤其很多女孩子很害怕幾何,到了九年級(jí)更突出.很大部分原因是碰到圖形復(fù)雜時(shí),很多條件又找不到內(nèi)在聯(lián)系,漸漸地失去了信心和興趣.而教師在幾何章節(jié)教學(xué)時(shí)多注重用動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)看條件,多利用圖形變換,學(xué)生漸漸也愿意動(dòng)起來,嘗試變換.明白解決題目的途徑不止一條.學(xué)生也不那么怕了,這是很實(shí)際的效果.如果結(jié)合多媒體,運(yùn)用圖形變換,更能讓學(xué)生感受幾何的奇妙,如八年級(jí)勾股定理里面的勾股樹.

五．結(jié)束語

不少初中生都畏懼幾何學(xué)習(xí).其主要原因在于我們的教學(xué)方法缺乏科學(xué)性,導(dǎo)致教學(xué)方法過于枯燥,學(xué)習(xí)難度過大,使一些學(xué)生喪失了對(duì)幾何的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)信心.所以我們應(yīng)當(dāng)從“圖形變換”這種新型的教學(xué)方法入手,來改善教學(xué)效果.而在實(shí)際教學(xué)過程中也有很多因素需要不斷完善.如學(xué)生需要有較多的知識(shí)儲(chǔ)備,也需要一定量的訓(xùn)練才能想到用圖形變換解題.怎么使學(xué)生順利越過這一門檻,是需要想辦法的.而對(duì)教師,也需要積累一定的經(jīng)驗(yàn),才能對(duì)一道能用幾何變換接的幾何題進(jìn)行一題多解,并恰到好處地引導(dǎo)學(xué)生.這些都需要經(jīng)過更長時(shí)間的實(shí)踐,總結(jié),反思才能解決.

[1]蔡云.初中數(shù)學(xué)圖形變換教學(xué)分析[J].語數(shù)外學(xué)習(xí),2014,8(11)：92-95.

[2]劉志林.圖形變換方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用研究[J].考試周刊,2016,2(26)：88-90.