數(shù)列綜合題的解答策略

■河北省臨城中學(xué)2 0 1 4級(jí)0 2班 王旭飛

數(shù)列綜合題的解答策略

■河北省臨城中學(xué)2 0 1 4級(jí)0 2班 王旭飛

每年的高考數(shù)學(xué)試題中都有一道數(shù)列綜合題,一般都是綜合性比較高且比較難的題目。處理綜合題當(dāng)然是要講究策略的,下面就根據(jù)自己在學(xué)習(xí)過程中的體會(huì)談?wù)剶?shù)列綜合題的幾個(gè)處理策略。

策略一：數(shù)列求和要學(xué)會(huì)先“和”再“分”的策略

已知數(shù)列{an}中的各項(xiàng)為:1 2、

(1)證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積。

(2)求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn。

分析：這里所說的“和”是指由數(shù)列的前幾項(xiàng)來獲得數(shù)列通項(xiàng)公式的過程。先要通過觀察,找出所給的一列數(shù)的特征,求出數(shù)列的通項(xiàng),再進(jìn)一步求和。

解：(1)

點(diǎn)評(píng):本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng),再將這個(gè)通項(xiàng)“分成”兩個(gè)相鄰正數(shù)的積,解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

策略二：求數(shù)列的通項(xiàng)公式要學(xué)會(huì)“取倒”的策略;證明數(shù)列不等式要學(xué)會(huì)“放縮”的策略

已知數(shù)列{an}滿足

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列,對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。

解：(Ⅰ)因?yàn)樗?/p>

因?yàn)門1＜T2＜T3,所以對(duì)任意的n∈

點(diǎn)評(píng):本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng),第(Ⅲ)問不等式的證明要用到放縮的方法。

策略三：獲取遞推關(guān)系要學(xué)會(huì)利用函數(shù)的策略;數(shù)列求和要學(xué)會(huì)使用裂項(xiàng)的策略

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;

(2)求證:an+1＞an;

分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系,第(2)問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì),第(3)問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式,這是證明數(shù)列中的不等式的另一種方法。

解：(1)由題意得又因?yàn)棣翞殇J角,所以所以s所以f(x)= x2+x。

點(diǎn)評(píng):把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想,本題中的第(3)問不等式的證明更具有一般性。

策略四：求數(shù)列的通項(xiàng)公式要學(xué)會(huì)“構(gòu)造”的策略;證明數(shù)列要學(xué)會(huì)觀察連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系的策略

已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an+1=2an+1(n∈N*)。

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足4b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+1)bn,證明:{an}是等差數(shù)列。

分析：對(duì)于第(1)問,通過把遞推關(guān)系式構(gòu)造成等比型的數(shù)列即可解決問題;求解第(2)問關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系。

解：(1)因?yàn)閍n+1=2an+1,所以an+1+1= 2(an+1),故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1= 2,公比為2的等比數(shù)列。所以an+1=2n,所以an=2n-1。

(2)因?yàn)?b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+ 1)bn,所以4(b1+b2+…+bn-n)=2n bn。

所以2(b1+b2+…+bn)-2n=n bn。①

2(b1+b2+…+bn+bn+1)-2(n+1)= (n+1)bn+1。②

②-①得2bn+1-2=(n+1)bn+1-n bn,即n bn-2=(n-1)bn+1。③

所以(n+1)bn+1-2=n bn+2。④

④-③得2n bn+1=n bn+n bn+2,即2bn+1= bn+bn+2,所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。

點(diǎn)評(píng):實(shí)際上,由數(shù)列遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,慣用的手段就是利用數(shù)列遞推關(guān)系式構(gòu)造一個(gè)新的等差或等比數(shù)列,再利用新的等差或等比數(shù)列來確定所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。如果數(shù)列是等差或等比數(shù)列,則數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系就是一個(gè)等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)的關(guān)系,從而就可以確定數(shù)列。

(責(zé)任編輯 王福華)