分層教學(xué)在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

劉潔晶++任金忠++蘇冬梅++宋振源++李永壯++葉春鳳++孫朝云

摘 要：隨著新建本科院校向應(yīng)用型技術(shù)大學(xué)的轉(zhuǎn)變，對學(xué)生的學(xué)習(xí)動手能力的培養(yǎng)是教學(xué)改革的重要主題之一。分層教學(xué)適合不同學(xué)習(xí)能力程度的學(xué)生，因材施教，能很好地落實能力培養(yǎng)的教育目標(biāo)，提高學(xué)生的實踐動手能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；能力培養(yǎng)；分層教學(xué)；教學(xué)模式

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.01.134

在當(dāng)前新建本科院校向應(yīng)用型技術(shù)類大學(xué)轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵時期，學(xué)生能力培養(yǎng)成為當(dāng)前新的教育理念。高校教師都知道“能力培養(yǎng)”，但在教學(xué)中，大都沿用“一言堂、一支筆、一講到底”的教學(xué)模式，甚至課堂教學(xué)不是針對學(xué)生講課，更不管學(xué)生能力的提升和學(xué)習(xí)成效，而是為了完成教學(xué)任務(wù)宣讀課件。因此，如何在高校轉(zhuǎn)型期落實學(xué)生能力培養(yǎng)的教育目標(biāo)，提高學(xué)生的動手實踐能力尤為重要。

本文初步探討了線性代數(shù)教學(xué)中以能力培養(yǎng)為目標(biāo)的分層教學(xué)法。在教學(xué)過程中，針對不同層次的學(xué)生因材施教，讓學(xué)生逐漸增強自信心，自覺培養(yǎng)主動學(xué)習(xí)的好習(xí)慣。

1 學(xué)生現(xiàn)狀分析

近年來，由于高校招生量的擴充，除了985和211工程之外的本科高校，學(xué)生層次有不小的差異，特別是理工類?？粕?，成績相差較多，教學(xué)存在著一定難度，特別是高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等課程，仍按照過去的教學(xué)模式，一把尺子衡量，效果欠佳，已經(jīng)不適應(yīng)當(dāng)前的應(yīng)用型教學(xué)規(guī)律。為了將理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課教好，根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)、特點、學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)目標(biāo)，采取分層教學(xué)，很有必要。

2 線性代數(shù)分層教學(xué)實施方案

對于分層教學(xué)，教育界并沒有定論，但都意識到了學(xué)生在某學(xué)科學(xué)習(xí)上存在的差異。按照差異對學(xué)生進(jìn)行分層教學(xué)，主要包括班級分層、班內(nèi)分層、走班教學(xué)等多種分層方法。這里主要介紹班內(nèi)分層的教學(xué)模式。

班內(nèi)分層是指保持原有班級制，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、智力水平、學(xué)習(xí)興趣等因素，并結(jié)合學(xué)生的選擇意愿，對學(xué)生進(jìn)行分層，分層結(jié)果向?qū)W生公布，這樣能夠形成比較清晰的競爭機制，使每個學(xué)生在適合自己的層次取得滿意的學(xué)習(xí)效果。

班內(nèi)分層操作如下：首先，將全班學(xué)生按照數(shù)學(xué)成績由高到低排序，將前20%的學(xué)生分為一組，中間60%的學(xué)生為一組，后20%的學(xué)生為一組，即按照262的模式將學(xué)生分為三個層次。在日常教學(xué)過程中，教師無論是課前準(zhǔn)備、課堂講授，還是習(xí)題解答等，都要體現(xiàn)262模式，即前幾分鐘對上節(jié)課所學(xué)知識、遺留的問題、學(xué)生作業(yè)等進(jìn)行回顧和解答；中間半小時主要以啟發(fā)式教學(xué)模式對新知識進(jìn)行講解，尤其是基本知識要詳細(xì)講解，確保每層學(xué)生都能消化、理解；最后十幾分鐘主要針對第一層學(xué)生進(jìn)行知識擴展。最后面向全體學(xué)生進(jìn)行知識小結(jié)，并留作業(yè)及預(yù)習(xí)任務(wù)。

3 分層教學(xué)案例分析

以線性方程組為例來說明分層教學(xué)的策略對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響。

證明：如果線性方程組 ① 有解，

則線性方程組 ②的任一解

必滿足線性方程組 ③.

證法1：利用以上三個線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的關(guān)系及矩陣的秩與解的關(guān)系證明。

設(shè)方程組①為AY=b，其中 ， ，

則方程組②為A'X=θ，而方程組③為b′X=θ。由已

知方程組①有解，即 . 此時把方程組②與③

聯(lián)立得 ，即 ④，由 得 ，

即b′可以被A′的各行線性表出。說明線性方程組④的最后一個方程b′X=θ是多余方程，故方程組②的解都是b′X=θ的解。

證法2：利用解的定義及二重和號的性質(zhì).將方程組①②③都用

一重和式表達(dá)，分別有 ①，

②， ③.

由已知①有解，故存在 使①成立，將①代入③，

并利用雙重和號有交換次序的性質(zhì)得

當(dāng) 是②的任一解時，則有 ，代入上式可

化為 .即證明了當(dāng) 是②的任一解時，也能使③成立，即為③的解。

證法3：利用矩陣運算來證。例如證法1中所設(shè)方程組①為AY=b有解Y；方程組②為A′X=θ，有解X；方程組③為b′X=θ。由①兩邊轉(zhuǎn)置得Y′A=b′，再兩邊右乘以X得b′X=Y′A′X=Y′（A′X）=0.

對以上例題分析：利用三個線性方程組的解的系數(shù)及常數(shù)列的關(guān)系，由線性方程組的不同形式出發(fā)，得到不同的證法。以上三種證法利用了線性方程組的矩陣表達(dá)形式及矩陣的運算和秩的關(guān)系，如果全部掌握，需要對線性代數(shù)有較深的理解，才能運用自如。在對第一、二層次學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)時，可全部向其講授這三種方法，對比解題思路，找出他們之間的聯(lián)系。證法1對學(xué)生的能力要求高，必須能對問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化調(diào)整，這也是學(xué)生所欠缺的。證法3用的矩陣方程兩邊同乘以矩陣的方法，在解線性方程組中常用，即如果AX=θ，兩邊左乘以b，得bAX=bθ=θ，則得到滿足AX=θ的解都是bAX=θ的解。這種方法運用基本的線性代數(shù)運算方法，難度適宜，適合第三層次學(xué)生掌握。

4 線性代數(shù)分層教學(xué)的優(yōu)缺點

從學(xué)生角度講，分層教學(xué)是按照學(xué)生學(xué)習(xí)能力進(jìn)行分層，有利于小組合作學(xué)習(xí)，有利于形成良性競爭機制，能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性。同時，分層教學(xué)充分體現(xiàn)尊重學(xué)生個體差異，保證對每個學(xué)生因材施教。由于學(xué)習(xí)成就是學(xué)生自身努力的結(jié)果，通過自己的踏實學(xué)習(xí)、獨立分析問題和解決問題，能夠看到成績的提高，可以說分層教學(xué)也是一種變相激勵機制。

從教師角度講，分層教學(xué)要求教師要充分了解學(xué)生的整體情況，不能再沿用以往“大面灌”的教學(xué)方式，在教案的設(shè)計中要充分體現(xiàn)不同層級學(xué)生所要達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)，滿足各層次學(xué)生的需求。這就倒逼教師在新形勢下，要與時俱進(jìn)、有教學(xué)改革的意識，加強學(xué)習(xí)，努力實現(xiàn)專業(yè)化成長，有利于教師從“傳道授業(yè)”的普通身份向教學(xué)研究型轉(zhuǎn)變。

但是，班內(nèi)分層教學(xué)最大弊端會出現(xiàn)“馬太效應(yīng)”，是對教育公平理論的直接挑戰(zhàn)，即有可能出現(xiàn)“讓線性代數(shù)學(xué)習(xí)好的更加好、差的更加差”，這就與分層教學(xué)的初衷相違背。這種弊端容易使第三層學(xué)生的自尊心受到傷害，從而更加導(dǎo)致自主學(xué)習(xí)能力的下降，使學(xué)習(xí)僅僅為了應(yīng)付考試。

5 線性代數(shù)分層教學(xué)應(yīng)注意的問題

實行分層次教學(xué)，考核方式是一個值得探討的復(fù)雜問題，不同層次不同類別不同專業(yè)采用不同的考核方式和內(nèi)容顯然是合理的，但這種方式合理性對于成績較差的學(xué)生顯然有些寬泛和遷就，對于高層次的較弱生顯然又有些苛刻和欠合理，導(dǎo)致學(xué)生情緒的波動和成績的兩極分化，不利于不同層次學(xué)生的共同發(fā)展，也會阻礙學(xué)生的參與度，影響教學(xué)質(zhì)量的提高，因此，這些問題應(yīng)繼續(xù)探索。

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〔編輯：王霞〕