有限范圍的重力層間改正算法

馬 健，魏子卿，武麗麗，楊正輝

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 2. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054； 3. 西安測繪研究所，陜西 西安 710054； 4. 信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450052； 5. 長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710054

有限范圍的重力層間改正算法

馬 健1,2，魏子卿2，3，武麗麗4，楊正輝5

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 2. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054； 3. 西安測繪研究所，陜西 西安 710054； 4. 信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450052； 5. 長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710054

層間改正是重力歸算的一項重要內(nèi)容，傳統(tǒng)的平面層層間改正、球面層層間改正與地形改正的范圍不一致，因此均存在遠(yuǎn)區(qū)虛擬地形引入的近似誤差，且計算點高度越高，此誤差越大。本文提出使用有限范圍的層間改正進(jìn)行重力歸算的方法，使其區(qū)域范圍與地形改正的范圍一致。然后給出了有限范圍層間改正的簡便計算方法，該算法與通過地形改正嚴(yán)密積分法演化來的算法具有較好的一致性。內(nèi)插試驗說明當(dāng)計算點地形高于1000 m時，內(nèi)插應(yīng)使用基于有限范圍層間改正的重力歸算方法。

傳統(tǒng)層間改正；有限范圍層間改正；簡便公式；地形改正嚴(yán)密積分演化公式

通過重力歸算量化地形質(zhì)量對地表重力的引力作用，是離散重力數(shù)據(jù)格網(wǎng)化以及局部大地水準(zhǔn)面精化的重要基礎(chǔ)工作[1-7]。重力歸算具體包括空間改正、層間改正[8-9]、地形改正(有的文獻(xiàn)稱為局部地形改正)[10-17]3個部分。本文重點對層間改正展開研究。傳統(tǒng)層間改正的布格層分平面層和球面層[18]兩種類型。文獻(xiàn)[19—20]給出了球面布格層層間改正與平面布格層層間改正相差約2倍的結(jié)論。布格層是高度為計算點高程的等高度地形層，無論是無限延伸的平面層還是覆蓋全球的球殼的形式，由于其區(qū)域范圍與地形改正的范圍不一致，因此兩種類型的層間改正中均含有遠(yuǎn)區(qū)虛擬地形引入的誤差。

基于此，本文提出使用布格層的區(qū)域范圍與地形改正的范圍一致的層間改正的方法，推導(dǎo)了有限范圍層間改正的簡便計算公式，該公式與由地形改正嚴(yán)密積分算法演化的公式具有一致性，并且在數(shù)學(xué)上具有一定的創(chuàng)新意義和理論價值。最后通過試驗得出球面布格層不適宜內(nèi)插，計算點地形超過1000 m時，應(yīng)使用基于有限范圍層間改正的重力歸算進(jìn)行內(nèi)插的結(jié)論。

1 傳統(tǒng)層間改正算法——平面層、球面層

傳統(tǒng)層間改正所使用的布格層有平面和球面兩種類型。

平面布格層是計算點所在的平面與該點在大地水準(zhǔn)面上對應(yīng)點所在平面之間的無限延伸的地形層。當(dāng)?shù)孛嬗嬎泓c位于大地水準(zhǔn)面上方時，平面布格層位于計算點之下，若除去這部分地形質(zhì)量的引力作用，重力值將比實測重力值小，因此此時層間改正符號為負(fù)。在以計算點為原點的柱空間坐標(biāo)系下，積分半徑為a、高度為Δh(計算點位于大地水準(zhǔn)面之上時，Δh符號取正)的平面布格地形層對計算點的地形改正公式的近似結(jié)果為[17]

(1)

式中，G為地球引力常數(shù)；ρ為地殼密度。實際計算時通常假設(shè)平面布格層是一個無限延伸的地形層，即a取無限大，因此平面無限布格層層間改正的實用公式為

δΔg平=-2πGρΔh=-0.111 8Δh

(2)

球面布格層是計算點所在的球面與該點在大地水準(zhǔn)面上對應(yīng)點所在的球面之間的球殼狀的地形層。球面布格層的層間改正計算公式為[12]

(3)

式中，R為地球平均半徑。比較式(2)、式(3)可知，球面布格層改正在量級上約為平面布格層的2倍。

重力歸算中的地形影響包含層間改正與地形改正兩部分，由于實際計算時，地形改正僅采用有限區(qū)域范圍，這使層間改正與地形改正計算范圍不一致，即平面布格層和球面布格層層間改正均包含未進(jìn)行地形改正的遠(yuǎn)區(qū)虛擬地形產(chǎn)生的誤差。由于布格層的高度為計算點的高程，因此該誤差對不同高度的計算點也不相同：計算點高度越大，其層間改正中遠(yuǎn)區(qū)虛擬地形產(chǎn)生的誤差也越大。

為消除層間改正中遠(yuǎn)區(qū)虛擬地形產(chǎn)生的誤差，本文提出使用有限范圍的層間改正進(jìn)行重力歸算，令布格層的范圍與歸算時地形改正的經(jīng)緯度范圍一致。雖然式(1)將布格層限定為圓柱也是有限區(qū)域范圍，但由于實際地形數(shù)據(jù)都是經(jīng)緯度劃分的網(wǎng)格形式，因而使用圓柱計算層間改正不能完全與地形改正的范圍吻合，存在近似誤差。本文將層間改正的區(qū)域設(shè)定為以經(jīng)緯度網(wǎng)格劃定的區(qū)域，較圓柱形式的布格層層間改正更為嚴(yán)密。

2 有限范圍的層間改正算法推導(dǎo)

本文對有限范圍的層間改正算法的推導(dǎo)是在地形改正算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。不顧及地形改正符號時，空間直角坐標(biāo)系下的地面點地形改正δΔg的計算公式為

(4)

為計算點與流動點之間的空間距離。對式(4)的z軸積分可得式(5)

(5)

對于地形改正而言，不同流動點的z坐標(biāo)是不同的，而層間改正可視作流動點高程均等于計算點高程的一種特殊的地形改正，因此當(dāng)式(5)用于計算層間改正時，則需將流動點與計算點之差zP-z固定為常數(shù)Δh?？紤]到層間改正的符號，有限范圍的層間改正δΔglimit的算法公式為

(6)

式中，Ω′表示有限布格層的區(qū)域范圍，不是任意指定的，需與重力歸算中地形改正的范圍保持一致，即式(5)中E與式(6)中的Ω′范圍相同，均可表達(dá)為式(7)

(7)

式(6)的計算可直接由地形改正中的嚴(yán)格積分公式[8,16]轉(zhuǎn)化而來

(8)

為進(jìn)一步簡化有限范圍的層間改正的計算，本文推導(dǎo)了一種更為簡便的計算公式。推導(dǎo)的基本原理是有限范圍的層間改正等于無限平面層層間改正減去遠(yuǎn)區(qū)平面虛擬地形(有限范圍以外的地形)產(chǎn)生的層間改正，推導(dǎo)過程中多次運用了極限的數(shù)學(xué)方法。

首先將無限平面布格層分為有限區(qū)域和遠(yuǎn)區(qū)兩部分，顧及式(2)，得到式(9)

(9)

式中，Ω-Ω′表示遠(yuǎn)區(qū)范圍；Ω′表示有限區(qū)域范圍，根據(jù)式(7)，Ω-Ω′的坐標(biāo)范圍為式(10)

(10)

(11)

根據(jù)積分關(guān)系式(12)

(12)

得到式(11)的積分核對y軸的不定積分

(13)

(14)

(15)

將式(14)、式(15)代入式(11)，得

(16)

利用積分關(guān)系式(17)

(17)

及關(guān)系式(18)

(18)

對式(16)進(jìn)一步簡化

然后利用下列幾項極限等式

(19)

綜合式(9)、式(19)，得到有限范圍的層間改正δΔglimit的計算公式為

(20)

對比式(8)、式(20)，得下列等式

(21)

將式(21)代入式(8)，得到有限范圍的層間改正的簡單算式(22)

(22)

一旦給定計算區(qū)域的范圍，利用式(22)即可快速、嚴(yán)格地計算有限范圍的層間改正。

3 試驗與分析

3.1 算法分析

為了驗證式(8)與式(22)的等效性，令計算點的緯度為30°，高度為500 m，并且積分范圍(近似為平面)是經(jīng)緯度等度數(shù)的矩形區(qū)域。將兩種算法計算的有限范圍層間改正及式(2)計算的無限平面層層間改正隨積分范圍的變化表示于圖1，其中橫坐標(biāo)為計算點距離積分區(qū)域邊緣的度數(shù)。

從圖1可以看出，利用地形改正嚴(yán)格積分算法直接演化而來的式(8)與本文推導(dǎo)的簡便公式(22)計算的有限范圍的層間改正結(jié)果的一致性較好，兩者的差異隨著積分范圍的越大而越小，當(dāng)積分區(qū)域范圍為20′時，兩算法計算的層間改正相差0.11×10-5m/s2(即0.11 mGal)。同時，積分范圍越大，有限范圍的層間改正與傳統(tǒng)的無限范圍平面層層間改正的差異越小，當(dāng)積分區(qū)域范圍為20′時，兩算法計算的層間改正與平面層層間改正分別相差0.37×10-5m/s2、0.26×10-5m/s2。

上文的分析中曾指出傳統(tǒng)無限布格層的層間改正中遠(yuǎn)區(qū)虛擬地形產(chǎn)生的誤差隨計算點高度的增加而增大，為了說明這一誤差的大小，下面令計算點的緯度為30°，高度分別取100 m、1000 m、2000 m，將式(22)計算的有限范圍的層間改正與式(2)的傳統(tǒng)無限范圍平面層層間改正的差值表示于圖2。

從圖2可以分析出，有限范圍與無限范圍層間改正的差異隨著計算點高度的增加而增大。當(dāng)積分區(qū)域范圍為20′時，對于100 m、1000 m、2000 m高度的計算點，該差異分別為0.01×10-5m/s2、1.03×10-5m/s2、4.14×10-5m/s2。當(dāng)計算點高程超過1000 m時，有限范圍層間改正與傳統(tǒng)平面層層間改正相差超過1.0×10-5m/s2，此時將有限范圍層間改正代替?zhèn)鹘y(tǒng)的無限范圍層間改正是非常有必要的。

3.2 基于重力歸算的內(nèi)插試驗

層間改正是重力歸算的一項重要內(nèi)容，而重力歸算的一個重要應(yīng)用方向是離散重力數(shù)據(jù)內(nèi)插，因此下面通過分析采用不同層間改正方法的重力歸算的內(nèi)插精度，說明有限范圍層間改正的實用意義。試驗區(qū)范圍為107.5°—114.5°E、27.5°—32.5°N，通過地面重力測量獲得的地表重力離散點48 390個，重力實測數(shù)據(jù)的特點是分布不均勻，地勢平坦的區(qū)域重力點較為密集，精度相對較高，地勢起伏較大的區(qū)域重力點較為稀疏，精度相對較低。重力離散點高程最大2870 m、最小-34 m，試驗區(qū)地形分辨率為5″×5″，分布如圖3所示。

首先分別計算球面布格層、平面布格層、有限范圍布格層(1.5°、1°，此為實踐中通常采用的地形改正的區(qū)域范圍)的層間改正，將結(jié)果統(tǒng)計于表1。

表1 不同布格層層間改正

Tab.1 Statistics of Bouguer correction of different Bouguer layers 10-5m/s2

從表1可以看出，球面層層間改正的量級約為平面層的2倍，有限范圍層間改正與平面層層間改正的數(shù)值相差較小，且計算區(qū)域的范圍越大，差值越小。進(jìn)一步將有限范圍層間改正與傳統(tǒng)無限范圍平面層層間改正的差值示于表2。

表2 有限范圍層間改正與平面層差值Tab.2 The correction difference between the limited Bouguer layer and the plane layer 10-5m/s2

表2中1.5°區(qū)域范圍時二者差異最大值為1.5×10-5m/s2，均方根為0.05×10-5m/s2。為了說明兩者差值大小的具體分布情況，將1°區(qū)域范圍下的差值分布顯示于圖4。

圖4體現(xiàn)了有限范圍層間改正與傳統(tǒng)平面層層間改正的差異與數(shù)據(jù)點的高程有關(guān)，高程越大該差異也越大。這與前文的分析一致。綜合表2、圖4可以得出，有限范圍層間改正與平面層層間改正的差值與重力點的高程、計算范圍有關(guān)，高度越大、范圍越小，此項差異越大。

下面開始內(nèi)插試驗，以通過內(nèi)插精度的提高說明有限范圍層間改正的有效性。首先將試驗區(qū)48 390個離散重力點篩選出3229個點作為檢驗點，其余點作為內(nèi)插點，以檢驗點內(nèi)插結(jié)果與原數(shù)據(jù)的差值作為評價內(nèi)插精度的指標(biāo)。內(nèi)插算法為Shepard反距離內(nèi)插法，重力歸算時分別采用不同種層間改正方法，特別強調(diào)的是有限范圍層間改正的區(qū)域范圍與地形改正的區(qū)域范圍一致。表3為插值統(tǒng)計結(jié)果。

表3 不同種層間改正的插值結(jié)果

Tab.3 Interpolation results based on different Bouguer corrections 10-5m/s2

由表3可以看出，球面布格層的插值效果很差，不宜內(nèi)插。表中平面層與有限范圍布格層插值均方根相差較小，這是因為3229個檢測點多數(shù)位于平坦的海拔低的區(qū)域，高程低的數(shù)據(jù)處的平面層層間改正與有限范圍層間改正本身的差異較小。當(dāng)計算范圍為1°、1.5°時，有限范圍層間改正的內(nèi)插精度較平面層均方差均提升了3×10-4×10-5m/s2。對于平面層而言，當(dāng)?shù)匦胃恼秶鷱?°擴充到1.5°時，均方根提升了6×10-4×10-5m/s2，參照此量級，說明此時有限范圍層間改正對內(nèi)插精度的提高作用不應(yīng)該被忽略。為了說明有限范圍層間改正相對于傳統(tǒng)平面層間改正內(nèi)插的改善效果，將1°區(qū)域范圍下兩者差異顯示于圖5。

圖5說明了有限范圍層間改正較傳統(tǒng)無限范圍平面層層間改正對內(nèi)插精度的提高主要在海拔較高的計算點上，對于地形高度為2000 m的計算點而言，1°區(qū)域范圍下有限范圍層間改正內(nèi)插精度將提高約1.5×10-5m/s2。結(jié)合上文的分析，在計算點地形高度超過1000 m時，應(yīng)使用基于有限范圍層間改正的重力歸算進(jìn)行內(nèi)插。

4 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)平面層、球面層層間改正的基礎(chǔ)上，提出了使用有限范圍層間改正進(jìn)行重力歸算的方法，其范圍與重力歸算中地形改正的范圍一致。然后通過推導(dǎo)給出了有限范圍層間改正的簡便計算方法，該式具有一定的數(shù)學(xué)理論價值。通過試驗證明該算法與通過地形改正嚴(yán)密積分法演化來的算法具有一致性。最后通過基于重力歸算的內(nèi)插試驗，說明球面層層間改正不適宜內(nèi)插；當(dāng)計算點地形高大于1000 m時，應(yīng)使用基于有限范圍層間改正的重力歸算進(jìn)行內(nèi)插。

圖1 計算點高度500 m的層間改正比較Fig.1 Comparision of Bouger correction with calculation point at 500 m

圖2 不同高度的有限范圍與無限范圍層間改正之差Fig.2 The difference of Bouger correction of limited and unlimited range with different heights

圖3 試驗區(qū)地形圖Fig.3 Topographic map of experimental area

圖4 1°范圍布格層與平面層層間改正差異Fig.4 The correction difference between the limited Bouguer layer (1°) and the plane layer (10-5 m/s2)

圖5 有限范圍(1°)層間改正與平面層間改正內(nèi)插精度的改善效果Fig.5 Improvement of interpolation accuracy of the limited Bouguer layer (1°) compared to the plane layer

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

The Bouguer Correction Algorithm for Gravity with Limited Range

MA Jian1,2，WEI Ziqing2,3,WU Lili4,YANG Zhenghui5

1. Institute of Surveying and Mapping，Information Engineering University，Zhengzhou 450052，China； 2. State Key Laboratory of Geo-information Engineering, Xi’an 710054, China； 3. Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping, Xi’an 710054，China； 4. College of Navigation and Aerospace Engineering，Information Engineering University，Zhengzhou 450052，China； 5. School of Geological Engineering and Geomatics，Chang’an University，Xi’an 710054，China

The Bouguer correction is an important item in gravity reduction, while the traditional Bouguer correction, whether the plane Bouguer correction or the spherical Bouguer correction, exists approximation error because of far-zone virtual terrain. The error grows as the calculation point gets higher. Therefore gravity reduction using the Bouguer correction with limited range, which was in accordance with the scope of the topographic correction, was researched in this paper. After that, a simplified formula to calculate the Bouguer correction with limited range was proposed. The algorithm, which is innovative and has the value of mathematical theory to some extent, shows consistency with the equation evolved from the strict integral algorithm for topographic correction. The interpolation experiment shows that gravity reduction based on the Bouguer correction with limited range is prior to unlimited range when the calculation point is taller than 1000 m.

the traditional Bouguer correction；the Bouguer correction with limited range；simplified formula；evolution equation from the strict integral algorithm for topographic correction Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos.41674025；41674082)；The Open Research Foundation of State Key Laboratory of Geo-information Engineering (No.SKLGIE2016-M-1-5)

MA Jian(1988—)，female，PhD candidate，majors in physical geodesy.

馬健，魏子卿，武麗麗，等.有限范圍的重力層間改正算法[J].測繪學(xué)報，2017,46(1)：26-33.

10.11947/j.AGCS.2017.20160173. MA Jian,WEI Ziqing,WU Lili,et al.The Bouguer Correction Algorithm for Gravity with Limited Range[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(1):26-33. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160173.

P223

A

1001-1595(2017)01-0026-08

國家自然科學(xué)基金 (41674025；41674082)；地理信息工程國家重點實驗室開放研究基金(SKLGIE2016-M-1-5)

2016-04-19

馬健(1988—)，女，博士生，研究方向為物理大地測量。

E-mail： majian_19881006@163.com

修回日期： 2016-12-29