顧及框架點(diǎn)坐標(biāo)誤差的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換嚴(yán)密模型

曾安敏，明 鋒

1. 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054； 2. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001

顧及框架點(diǎn)坐標(biāo)誤差的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換嚴(yán)密模型

曾安敏1,2，明 鋒1,2

1. 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054； 2. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001

框架點(diǎn)坐標(biāo)是由觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)平差得到的，不可避免地受到觀測(cè)誤差的影響。針對(duì)原框架和目標(biāo)框架坐標(biāo)均存在誤差、非公共點(diǎn)與公共點(diǎn)間存在相關(guān)性，以及轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣中僅部分元素存在誤差的實(shí)際情況，提出了同時(shí)考慮框架內(nèi)誤差以及轉(zhuǎn)換點(diǎn)間相關(guān)性的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換嚴(yán)密模型，該模型將公共點(diǎn)和非公共點(diǎn)聯(lián)合處理，同時(shí)計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)和所有點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值，推導(dǎo)出了新的嚴(yán)格坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，該公式為傳統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式基礎(chǔ)上增加一改正量的形式；進(jìn)一步，推導(dǎo)了原框架和目標(biāo)框架坐標(biāo)的方差不一致情況下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的自適應(yīng)解法；最后，利用“陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)工程”2000個(gè)區(qū)域站的實(shí)測(cè)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換驗(yàn)證，結(jié)果表明，這種嚴(yán)密模型較傳統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型具有更高的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；相似變換；自適應(yīng)估計(jì)；聯(lián)合統(tǒng)一模型；框架協(xié)方差

三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是大地測(cè)量最基本的問(wèn)題,為了進(jìn)行不同框架間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，目前常采用相似變換模型，如Bursa模型、Molodensky模型等[1]。傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型通常只考慮公共點(diǎn)在原框架下的坐標(biāo)誤差，即首先利用公共點(diǎn)在原框架和目標(biāo)框架下的坐標(biāo)采用最小二乘解得轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后利用所求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)轉(zhuǎn)換非公共點(diǎn)得到其在目標(biāo)框架下的新坐標(biāo)。當(dāng)觀測(cè)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，相似變換模型的解可認(rèn)為是最優(yōu)的。如公共點(diǎn)的坐標(biāo)存在異常誤差，可采用抗差估計(jì)算法抑制其異常誤差的影響[2]。如異常觀測(cè)數(shù)據(jù)較多時(shí)可采用高崩潰率的轉(zhuǎn)換參數(shù)抗差解法[3]。相似變換模型應(yīng)用于局部區(qū)域的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)可能存在病態(tài)問(wèn)題，利用正則化算法可解決其病態(tài)性[4]。傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)變換通常是針對(duì)小旋轉(zhuǎn)角的，對(duì)大旋轉(zhuǎn)角并不適用，于是有學(xué)者研究了以方向余弦為參數(shù)、適用于大旋轉(zhuǎn)角的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型[5]，擴(kuò)大了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的應(yīng)用范圍。由于受地殼板塊運(yùn)動(dòng)、局部變形等的影響，坐標(biāo)存在局部系統(tǒng)誤差，相似變換模型不能很好地顧及這些局部效應(yīng)，有學(xué)者提出了可變參數(shù)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法[6-7]、坐標(biāo)系綜合變換法[8]和組合變換法[9]，通過(guò)合理增加模型參數(shù)來(lái)吸收這種局部系統(tǒng)性參數(shù)，從而改善坐標(biāo)轉(zhuǎn)換效果。僅通過(guò)改進(jìn)函數(shù)模型很難完全消除局部變形誤差的影響，于是有學(xué)者把函數(shù)模型變換后的殘差看成隨機(jī)場(chǎng)，采用擬合推估進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[10-11]，其本質(zhì)是擬合推估兩步解法[12-13]的實(shí)際應(yīng)用。擬合推估應(yīng)用的關(guān)鍵是合理確定信號(hào)的協(xié)方差矩陣，若信號(hào)與觀測(cè)量間的協(xié)方差不協(xié)調(diào)，可通過(guò)方差分量估計(jì)[14]或自適應(yīng)估計(jì)[15-18]來(lái)調(diào)整，以便較合理地確定擬合推估的信號(hào)與觀測(cè)量間的權(quán)比。

測(cè)站坐標(biāo)是對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理獲得的，不可避免地受到測(cè)量誤差的污染，由此構(gòu)造的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣自然也會(huì)存在誤差，于是有學(xué)者研究了三維坐標(biāo)變換中同時(shí)顧及系數(shù)矩陣誤差和觀測(cè)向量誤差的整體最小二乘法[19]；同時(shí)考慮系數(shù)陣誤差且適用于大旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換通用整體算法[20]以及控制異常誤差影響的穩(wěn)健整體最小二乘方法[21]。通常，整體最小二乘假設(shè)系數(shù)矩陣的所有元素都是有誤差的，但實(shí)踐中系數(shù)矩陣并不是所有元素都有誤差，于是，有學(xué)者研究了僅考慮坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)矩陣部分元素有誤差的整體最小二乘法[22-23]。這種考慮系數(shù)陣元素誤差的轉(zhuǎn)換模型通常是非線性的，進(jìn)行總體最小二乘解算常采用迭代解法[24-26]。

事實(shí)上，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)的誤差對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果都有影響[27]，于是有學(xué)者提出了顧及兩套坐標(biāo)誤差的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法[28]，考慮系數(shù)矩陣所有元素都有誤差的無(wú)縫坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型[29-30]。上述算法的核心是利用原框架下公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)間的協(xié)方差建立擬合推估模型，對(duì)非公共點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值進(jìn)行改進(jìn)，采用牛頓迭代法進(jìn)行計(jì)算。然而由前文所述，系數(shù)矩陣中并不是所有元素都有誤差，這種認(rèn)為系數(shù)矩陣所有元素都有誤差是不合實(shí)際的；此外，系數(shù)矩陣中相同元素的改正數(shù)也應(yīng)該相同。

為此，本文針對(duì)原框架和目標(biāo)框架下的坐標(biāo)均存在誤差、非公共點(diǎn)與公共點(diǎn)間存在相關(guān)性，以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣中僅部分元素存在誤差的實(shí)際情況，提出了一種三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換嚴(yán)密模型，推導(dǎo)了嚴(yán)密的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式。該模型同時(shí)考慮框架點(diǎn)誤差和轉(zhuǎn)換點(diǎn)間協(xié)方差關(guān)系，對(duì)系數(shù)矩陣僅考慮有誤差的元素，將公共點(diǎn)和非公共點(diǎn)聯(lián)合處理，同時(shí)計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)、公共點(diǎn)和非公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)換值；進(jìn)一步，借鑒自適應(yīng)思想[15-18]，推導(dǎo)了原框架和目標(biāo)框架坐標(biāo)的方差不一致情況下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換自適應(yīng)解法；最后，利用“陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)工程”2000個(gè)區(qū)域站的實(shí)測(cè)坐標(biāo)向CGCS2000的轉(zhuǎn)換進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換聯(lián)合模型

描述兩個(gè)地球參考架的轉(zhuǎn)換關(guān)系常采用相似變換模型[1]，原框架到目標(biāo)框架的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為

(1)

式中，Xi,Ⅱ?yàn)槟繕?biāo)框架下的坐標(biāo)；Xi,Ⅰ為原框架下的坐標(biāo)；T=[tx0ty0tz0]T為平移參數(shù)；k為尺度參數(shù)；ζ=[ωxωyωz]T為旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

由于坐標(biāo)都是由觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)平差得到的，不可避免地受到觀測(cè)誤差的影響，公共點(diǎn)在兩框架下的坐標(biāo)也都可能存在誤差。通常，整體最小二乘認(rèn)為由式(1)構(gòu)造的誤差方程的系數(shù)矩陣所有元素都有誤差[19]，但其中部分元素為常數(shù)1和0，并不包含誤差，僅部分元素有誤差。如此，只對(duì)有誤差的元素進(jìn)行改正

(2)

聯(lián)合m個(gè)公共點(diǎn)求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，則有

(3)

(4)

由于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度參數(shù)都是小量，坐標(biāo)誤差也是小量，忽略其二階小量，同時(shí)考慮到X=XⅡ+eXⅡ，則考慮公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)的坐標(biāo)變換聯(lián)合模型[27]可寫(xiě)為

(5)

假定原框架與目標(biāo)框架是獨(dú)立的，則公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)協(xié)方差矩陣為

(6)

式(5)也可寫(xiě)為

(7)

相應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

(8)

可以看出，僅考慮系數(shù)矩陣中有誤差的元素的坐標(biāo)轉(zhuǎn)模型式(5)、式(7)，確保了系數(shù)矩陣中原框架坐標(biāo)具有相同的改正數(shù)，這與傳統(tǒng)的認(rèn)為系數(shù)矩陣中所有元素都有誤差的整體最小二乘法誤差矩陣不同。

2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換聯(lián)合模型解算

由于式(5)與式(7)是等價(jià)的，可以采用任一式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)式(5)構(gòu)造誤差方程[27]，并寫(xiě)成緊湊模式

(9)

相應(yīng)的權(quán)陣為

(10)

由矩陣分塊求逆公式有

(11)

依據(jù)最小二乘原理求解式(9)

(12)

整理有

(13)

(14)

(15)則有

(16)

(17)

(18)

其相應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

(19)

可以看出：

(1) 轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解僅與公共點(diǎn)在原框架和目標(biāo)框架的坐標(biāo)值和協(xié)方差有關(guān)，與原框架中公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)間的協(xié)方差無(wú)關(guān)，即非公共點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)沒(méi)有貢獻(xiàn)。

(2) 原框架內(nèi)的公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換到目標(biāo)框架的解的形式為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值加上一改正量的形式，對(duì)公共點(diǎn)的改正量dX、非公點(diǎn)的改正量dZ分別為

(20)

(3) 顧及框架間誤差的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換較標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的公共點(diǎn)和非公共點(diǎn)的協(xié)方差是變小的，其協(xié)方差改正量分別為

(21)

(4) 顧及框架間誤差的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解與擬合推估解[11]的形式非常相似，如果把原框架的坐標(biāo)協(xié)方差看成擬合推估信號(hào)的協(xié)方差，則二者的解是一樣的，如此，避免了擬合推估中構(gòu)造合適的信號(hào)協(xié)方差函數(shù)的問(wèn)題。但需要明確的是二者的物理意義并不相同。

3 方差不一致的自適應(yīng)求解

通常情況下，由于在數(shù)據(jù)處理中很難確定可靠的坐標(biāo)框架的先驗(yàn)方差，原框架(或目標(biāo)框架)的坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣僅反映框架內(nèi)的相互關(guān)系，且估計(jì)的精度往往偏高[31]。通常，不同框架間其方差因子并不一致，勢(shì)必影響轉(zhuǎn)換精度[14]?？紤]不同框架間方差因子不一致情況下的自適應(yīng)解的目標(biāo)函數(shù)為

(22)

對(duì)式(22)求極值后，整理有

(23)

仿照式(12)—式(18)的推導(dǎo)，其分步解為

(24)

式(24)與式(16)、式(17)、式(18)形式非常相近，但若自適應(yīng)因子α≠1，解的數(shù)值就會(huì)不同。自適應(yīng)因子α起著平衡原框架和目標(biāo)框架坐標(biāo)誤差影響的作用。

采用不同統(tǒng)計(jì)方法可以構(gòu)造不同的自適應(yīng)因子，可以采用極大似然估計(jì)法和Helmert方差分量估計(jì)法確定自適應(yīng)因子[17,30]。兩類觀測(cè)量的Helmert方差分量公式[16]為

(25)

式中

(26)

(27)

即可按式(23)、式(24)重新估算轉(zhuǎn)換參數(shù)和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值。

4 計(jì)算與分析

一般來(lái)說(shuō)，坐標(biāo)值及其精度是最容易獲得的，可按坐標(biāo)各分量的實(shí)際精度定權(quán)，記為方案1；當(dāng)認(rèn)為目標(biāo)框架坐標(biāo)精度較高，即ΣXⅡ=0，僅考慮原框架坐標(biāo)協(xié)方差ΣXⅠ≠0，記為方案2；綜合考慮原框架和目標(biāo)框架的坐標(biāo)協(xié)方差，即ΣXⅠ≠0，ΣXⅠ≠0，記為方案3。

4.1 計(jì)算結(jié)果差異分析

由前所述可知，考慮公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)間的協(xié)方差與否對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)的計(jì)算是沒(méi)有影響的，表1給出了不同方案下計(jì)算的轉(zhuǎn)換參數(shù)及其精度?？梢钥闯觯紤]公共點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)方差的不同方案(按坐標(biāo)各分量的方差、僅考慮原框架的坐標(biāo)協(xié)方差和同時(shí)考慮原框架和目標(biāo)框架的坐標(biāo)協(xié)方差)，所估計(jì)的轉(zhuǎn)換參數(shù)差異不太大，且數(shù)值較小，平移參數(shù)最大差值也不超過(guò)0.5 mm，除了方案2X方向的旋轉(zhuǎn)參數(shù)為2.17 mas外，其余方案的旋轉(zhuǎn)參數(shù)幾乎為零，并且轉(zhuǎn)換參數(shù)估值與其均方差的量級(jí)基本一致，說(shuō)明這些參數(shù)并不明顯。

表1 不同方案估計(jì)的轉(zhuǎn)換參數(shù)

為了分析不同定權(quán)方式對(duì)聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型與經(jīng)典轉(zhuǎn)換模型計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值差值的影響，表2給出了聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型與經(jīng)典轉(zhuǎn)換模型的計(jì)算結(jié)果差值統(tǒng)計(jì)(左邊為公共點(diǎn)坐標(biāo)的差值，右邊為非公共點(diǎn)的差值)。不考慮各點(diǎn)各分量間的協(xié)方差，僅考慮點(diǎn)位坐標(biāo)各分量的方差，經(jīng)典轉(zhuǎn)換模型與新的聯(lián)合模型計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值的差值在X、Y、Z方向的標(biāo)準(zhǔn)差，公共點(diǎn)為5 mm、9 mm、8 mm，非公共點(diǎn)為8 mm、30 mm、20 mm；僅考慮原框架坐標(biāo)協(xié)方差所計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值差值在X、Y、Z方向的標(biāo)準(zhǔn)差，公共點(diǎn)為13 mm、23 mm、19 mm，非公共點(diǎn)為4 mm、12 mm、10 mm；同時(shí)考慮原框架和目標(biāo)框架坐標(biāo)協(xié)方差的不同轉(zhuǎn)換模型所計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值差值在X、Y、Z方向的標(biāo)準(zhǔn)差，公共點(diǎn)為5 mm、8 mm、7 mm，非公共點(diǎn)為2 mm、3 mm、3 mm。

圖1給出了非公共點(diǎn)兩種模型計(jì)算的轉(zhuǎn)換值差異。僅考慮點(diǎn)位坐標(biāo)各分量方差情況下，經(jīng)典轉(zhuǎn)換模型計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值與聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型的坐標(biāo)標(biāo)轉(zhuǎn)換值的差值變化較大，在X、Y、Z方向最大差值分別為6 cm、17 cm、9 cm；忽略目標(biāo)框架誤差僅考慮原框架誤差時(shí)，這兩種轉(zhuǎn)換模型計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值的差值變化變小，在X、Y、Z方向最大差值分別為2 cm、6 cm、5 cm；同時(shí)考慮目標(biāo)框架和原框架誤差時(shí)，這兩種轉(zhuǎn)換模型計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值的差值變化更加平穩(wěn)，在X、Y、Z方向最大差值分別為1 cm、2 cm、2 cm。

綜合圖1、表2的分析，說(shuō)明聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型與經(jīng)典轉(zhuǎn)換模型中不同定權(quán)方式對(duì)計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值有著不同的影響，同時(shí)考慮考慮目標(biāo)框架和原框架誤差時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值的差異相對(duì)較平穩(wěn)。

圖1 聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型與經(jīng)典轉(zhuǎn)換模型計(jì)算的非公共點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值的差異Fig.1 Corrections vectors between result by using classical method and ones using combined method

4.2 計(jì)算結(jié)果精度分析

為了說(shuō)明不同定權(quán)方案下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的精度情況，表3給出了經(jīng)典轉(zhuǎn)換模型與聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型所計(jì)算的公共點(diǎn)殘差統(tǒng)計(jì)情況，表4給出了非公共點(diǎn)即外部檢查點(diǎn)的精度統(tǒng)計(jì)情況。

表3 公共點(diǎn)殘差統(tǒng)計(jì)

表4 外部檢查精度統(tǒng)計(jì)

從公共點(diǎn)殘差看，按方差定權(quán)的聯(lián)合模型所得到差值的標(biāo)準(zhǔn)差，在X、Y、Z方向分別為0.8 cm、1.5 cm、1.2 cm；當(dāng)認(rèn)為目標(biāo)框架坐標(biāo)精度非常高時(shí)，即ΣXⅡ=0，從式(16)可知，聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型確定的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值應(yīng)為目標(biāo)框架點(diǎn)坐標(biāo)值，即其殘差為零；當(dāng)認(rèn)為目標(biāo)框架和原框架均有誤差時(shí)，聯(lián)合模型在X、Y、Z方向標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.8 cm、1.6 cm、1.3 cm。在這3種精度情況下，經(jīng)典模型的標(biāo)準(zhǔn)差均為1.3 cm、2.2 cm、1.8 cm，明顯大于聯(lián)合模型。

從外部檢查點(diǎn)看，按方差定權(quán)的聯(lián)合模型所計(jì)算得到的差值的標(biāo)準(zhǔn)差，在X、Y、Z方向分別為1.2 cm、2.2 cm、1.7 cm；當(dāng)認(rèn)為目標(biāo)框架坐標(biāo)精度非常高ΣXⅡ=0時(shí)，聯(lián)合模型在X、Y、Z方向的標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.2 cm、2.0 cm、1.8 cm；當(dāng)認(rèn)為目標(biāo)框架和原框架誤差時(shí)，聯(lián)合模型所得到的殘差在X、Y、Z方向標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.3 cm、2.4 cm、1.9 cm。在這3種模型下經(jīng)典模型的標(biāo)準(zhǔn)差均為1.3 cm、2.5 cm、2.0 cm?？梢园l(fā)現(xiàn)無(wú)論哪種情況，聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型均比經(jīng)典模型精度高。

從內(nèi)外部精度看，在這3種情況下經(jīng)典模型的標(biāo)準(zhǔn)差基本一致，但聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型的標(biāo)準(zhǔn)差并不相同，均比經(jīng)典模型精度高。由于經(jīng)典模型僅受轉(zhuǎn)換參數(shù)影響，由表1可知，不同方案下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)差異非常小，由此計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換值差異也會(huì)??；但聯(lián)合模型不僅受轉(zhuǎn)換參數(shù)影響，而且也受公共點(diǎn)殘差的影響，其影響通過(guò)協(xié)方差進(jìn)行體現(xiàn)，自然各種定權(quán)模式下的精度統(tǒng)計(jì)并不一致。

4.3 不同先驗(yàn)方差對(duì)結(jié)果的影響分析

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換涉及原框架和目標(biāo)框架兩類坐標(biāo)，這兩類坐標(biāo)通常對(duì)應(yīng)不同的方差因子，從數(shù)據(jù)處理角度看，這兩類坐標(biāo)方差因子的比值決定了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中原框架和目標(biāo)框架坐標(biāo)對(duì)解的貢獻(xiàn)大小，方差因子的不同比值必然對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果有所影響。

為了分析先驗(yàn)方差對(duì)基準(zhǔn)變換的影響，進(jìn)行了不同先驗(yàn)精度下的試算(比值分別為0.01、1、100)。表5給出了不同先驗(yàn)精度下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的統(tǒng)計(jì)精度。可以看出，在不同的方差因子比值情況下，標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型所確定的外部檢查點(diǎn)有不同精度。在方差因子比值為0.01時(shí)，X、Y、Z方向標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.2 cm、1.9 cm、1.8 cm；在方差因子比值為1時(shí)，X、Y、Z方向標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.3 cm、2.4 cm、1.9 cm；在方差因子比值為100時(shí)，X、Y、Z方向標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.9 cm、1.9 cm、2.1 cm。

表5 外部檢查精度統(tǒng)計(jì)

通過(guò)方差分量估計(jì)構(gòu)造的自適應(yīng)因子調(diào)整目標(biāo)框架和原框架隨機(jī)模型后，自適應(yīng)聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型所確定的外部檢查點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)精度基本一致，其標(biāo)準(zhǔn)差在X、Y、Z方向?yàn)?.4 cm、1.8 cm、1.8 cm。自適應(yīng)因子調(diào)整目標(biāo)框架與原框架間的方差因子間比值，起到了平衡目標(biāo)框架與原框架對(duì)結(jié)果貢獻(xiàn)的作用。

圖2給出了先驗(yàn)精度比值為100情況下的聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型經(jīng)自適應(yīng)調(diào)整過(guò)程中的方差因子的變化，經(jīng)過(guò)10次調(diào)整方差因子比值逐步趨近于1，保證了他們的方差因子基本相同，使其貢獻(xiàn)更加合理。

圖2 方差因子的迭代變化Fig.2 Iterative adaptive factor

5 結(jié) 論

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)、非公共點(diǎn)坐標(biāo)都存在誤差，本文從更一般的情況出發(fā)，提出了一種嚴(yán)密的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換聯(lián)合模型，利用2000點(diǎn)規(guī)模的GNSS控制網(wǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，分析了這種聯(lián)合模型在不同誤差情況下的效果，主要結(jié)論如下。

(1) 該模型同時(shí)考慮了公共點(diǎn)在目標(biāo)框架和原框架中的誤差、原框架的非公共點(diǎn)與公共點(diǎn)間相關(guān)性，以及轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣的誤差，理論嚴(yán)密。在忽略二階小量基礎(chǔ)上，推導(dǎo)的轉(zhuǎn)換公式更具一般性，兼容了傳統(tǒng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。

(2) 理論分析和實(shí)際計(jì)算均表明，轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解僅與公共點(diǎn)在原框架和目標(biāo)框架的坐標(biāo)值和協(xié)方差有關(guān)，與原框架內(nèi)的公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)間的協(xié)方差無(wú)關(guān)，即非公共點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)沒(méi)有貢獻(xiàn)。

(3) 通常情況下，原框架與目標(biāo)框架的方差因子不一致，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換聯(lián)合模型的自適應(yīng)解法采用方差分量估計(jì)構(gòu)造的自適應(yīng)因子調(diào)整了原框架與目標(biāo)框架坐標(biāo)的貢獻(xiàn)，保證了它們的方差因子基本一致。

(4) 利用2000點(diǎn)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，按等權(quán)、點(diǎn)位坐標(biāo)各分量的方差定權(quán)、僅按需轉(zhuǎn)換框架定權(quán)以及同時(shí)考慮兩套框架協(xié)方差定權(quán)，聯(lián)合轉(zhuǎn)換模型較傳統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型具有更高的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

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(責(zé)任編輯：宋啟凡)

The Rigorous Model for Similarity Transformation under Intra-frame and Inter-frame Covariance

ZENG Anmin1,2,MING Feng1,2

1. State Key Laboratory of Geo-information Engineering，Xi’an 710054,China; 2. Institute of Geospatial Information, Information Engineering University, Zhengzhou 450001,China

The coordinates are obtained from observations by using least-squares method, so their precision should be contaminated by observation errors and the covariance also exists between common points and non-common points. The coordinate errors don’t only exist in the initial frame but also in the target frame. But the classical stepwise approach for coordinate frame transformation usually takes the coordinate errors of the initial frame into account and overlooks the stochastic correlation between common points and non-common points. A new rigorous unified model is proposed for coordinate frame transformation that takes into account both the errors of all coordinates in both fame and inter-frame coordinate covariance between common points and non-common points, and the corresponding estimator for the transformed coordinates are derived and involve appropriate corrections to the standard approach, in which the transformation parameters and the transformed coordinates for all points are computed in a single-step least squares approach. The inter frame coordinate covariance should be consistent to their uncertainties, but in practice their uncertainties are not consistent. To balance the covariance matrices of both frames, a new adaptive estimator for the unified model is thus derived in which the corresponding adaptive factor is constructed by the ratio computed by Helmert covariance component estimation, reasonable and consistent covariance matrices are arrived through the adjustment of the adaptive factor. Finally, an actual experiments with 2000 points from the crustal movement observation network of China (abbreviated CMONOC) is carried out to verify the implement of the new model, the results show that the proposed model can significantly improve the precision of the coordinate transformation.

coordinate transformation; similarity transformation; adaptive estimation; unified rigorous model; intra-frame and inter-frame covariance Foundation support： The National Key Research and Development Program of China (No.2016YFB0501701); The National High-tech Research and Development Program of China (863 Program) (No. 2013AA122501); The National Natural Science Foundation of China (Nos.41474015；41604013；41574003；41374019；41374003；41274040)

ZENG Anmin(1972—), male, PhD candidate, associate professor, majors in dynamic geodetic data processing.

曾安敏，明鋒.顧及框架點(diǎn)坐標(biāo)誤差的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換嚴(yán)密模型[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2017,46(1)：16-25.

10.11947/j.AGCS.2017.20160295. ZENG Anmin,MING Feng.The Rigorous Model for Similarity Transformation under Intra-frame and Inter-frame Covariance[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(1):16-25. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160295.

P227

A

1001-1595(2017)01-0016-10

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2016YFB0501701)；國(guó)家863計(jì)劃(2013AA122501)；國(guó)家自然科學(xué)基金(41474015；41604013；41574003；41374019；41374003；41274040)

2016-06-14

曾安敏(1972—),男，博士生，副研究員，主要從事動(dòng)態(tài)大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： Zeng_anmin@163.com

修回日期： 2016-11-30