HPM 與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)核心問題探索
———汪曉勤、鄒佳晨教授訪談錄

21世紀(jì)的第一個(gè)10年，HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)）進(jìn)入中國(guó)，到了第二個(gè)10年，HPM受到了較多關(guān)注，數(shù)學(xué)史被越來越多地運(yùn)用于課堂教學(xué)實(shí)踐。然而，相較于中學(xué)，HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐還不夠深入。原因是什么呢？數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要注意哪些問題？采取什么措施，小學(xué)數(shù)學(xué)教師才能開發(fā)出好的HPM課例？這些都是HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)亟待解決的問題。為了找尋問題的答案，我們采訪了華在中小學(xué)HPM課例開發(fā)領(lǐng)域具有豐富經(jīng)驗(yàn)的東師范大學(xué)汪曉勤教授（以下簡(jiǎn)稱“汪”）、鄒佳晨老師（以下簡(jiǎn)稱“鄒”）兩位老師。

訪談采用半結(jié)構(gòu)性問卷，問卷的編制首先參考了汪曉勤團(tuán)隊(duì)的科研成果，找出了HPM在實(shí)踐中的核心問題，然后結(jié)合汪曉勤團(tuán)隊(duì)在小學(xué)的研究成果，確定了重要但未曾深入探討的問題，與專家團(tuán)隊(duì)討論后，確定了最終的問卷，并提前一周以郵件的形式發(fā)送給了受訪者。

岳增成：（以下簡(jiǎn)稱“岳”）我們已在中學(xué)開發(fā)了大量HPM課例，做了大量理論、實(shí)踐方面的研究。然而很多小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)HPM不是很了解，所以一些雜志期望我們團(tuán)隊(duì)做一些HPM在小學(xué)的推介工作。很高興能與汪老師、鄒老師探討HPM在小學(xué)的實(shí)踐問題。首先，請(qǐng)談一下HPM實(shí)踐的一個(gè)根本性問題，即：如何判斷一個(gè)課例是否屬于HPM的范疇？

汪：至少有一點(diǎn)，僅在課堂上講一個(gè)故事或笑話，不算HPM，也就是只用附加式不行，因?yàn)閷⒐适禄蛐υ捘玫粢院?，不影響知識(shí)的傳授。所以附加式要與復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式結(jié)合起來使用。（關(guān)于這四種方式，請(qǐng)參考本刊2016年第12期《HPM與小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)》一文。）——編者注

鄒：正面界定比較困難。如果將這個(gè)故事或笑話拿掉后，對(duì)這節(jié)課目標(biāo)的達(dá)成沒有產(chǎn)生顯著的影響，也就是說，課堂可以繼續(xù)下去，學(xué)生的知識(shí)目標(biāo)可以達(dá)到，也不影響能力目標(biāo)的達(dá)成，那么這節(jié)課就不屬于HPM的范疇。

汪：總之，還是兩座橋，歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文，這兩座橋都要。鄒老師剛剛講的沒錯(cuò)，最后還是要落實(shí)到教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成與數(shù)學(xué)史融入的關(guān)系上來，只有融入課堂的數(shù)學(xué)史影響了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，這樣的課才能叫HPM課。

岳：也就是說，運(yùn)用數(shù)學(xué)史和HPM視角是不一樣的。

汪：HPM是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育，“融入”表明它已經(jīng)成為一種教學(xué)模式了。

岳：汪老師、鄒老師為我們定義HPM課例指明了方向。那么，請(qǐng)介紹一下HPM在小學(xué)的實(shí)踐狀況。

汪：我們稱不上全面了解。但從我參與的一系列小學(xué)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)來看，小學(xué)教師對(duì)HPM的熱愛程度超過了中學(xué)教師。我想原因是這樣的，相比于中學(xué)，小學(xué)的升學(xué)壓力小一些，從而對(duì)文化、歷史、情感方面的關(guān)注要多一些。因此，情感、信念在小學(xué)里地位更高一些，從這種意義上講，小學(xué)教師更看重HPM。另一方面，從文獻(xiàn)數(shù)量上講，我覺得小學(xué)HPM方面的文章是遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于中學(xué)的。其實(shí)不僅是HPM，數(shù)學(xué)寫作、數(shù)學(xué)日志，也是小學(xué)比中學(xué)多。所以，在小學(xué)開展教育研究，條件會(huì)相對(duì)好一些。因此，HPM在小學(xué)的前景應(yīng)該是比中學(xué)廣闊的。

鄒：其實(shí)，我印象最深刻的一點(diǎn)是小學(xué)生、小學(xué)教師對(duì)HPM的喜愛程度。不過，小學(xué)HPM的運(yùn)用方式還不夠多元，我們現(xiàn)在看到的主要是附加式、復(fù)制式，順應(yīng)式、重構(gòu)式還是比較少的。此外，是不是小學(xué)階段對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的關(guān)注比較少？是不是要將關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的豐富性、活動(dòng)性、熱鬧程度轉(zhuǎn)變到關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)理解的深刻性、數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成上來？

汪：確實(shí)，從目前開發(fā)的小學(xué)HPM課例來看，數(shù)學(xué)史給小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來的益處是超過中學(xué)的。比如，第一次講角時(shí)，課堂教學(xué)深深地吸引著學(xué)生，人人都搶著舉手、回答，而且他們的回答也很好，這樣的效果在很多中學(xué)課例中是看不到的，當(dāng)然這和學(xué)生的年齡特點(diǎn)是有關(guān)系的。所以說小學(xué)的HPM課效果、氛圍與中學(xué)是不一樣的。

岳：除了HPM在小學(xué)的實(shí)踐狀況，剛才汪老師、鄒老師還對(duì)HPM在中學(xué)、小學(xué)的實(shí)踐情況做了一些比較：一是小學(xué)教師與中學(xué)教師對(duì)HPM的喜愛程度不同；二是HPM視角下的小學(xué)、中學(xué)課堂教學(xué)效果、氛圍不同。除了這兩點(diǎn)，HPM視角下的小學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)還有什么不同之處？

汪：不同之處還有很多。首先，小學(xué)與中學(xué)融入數(shù)學(xué)史所要達(dá)成的目標(biāo)是不一樣的。中學(xué)里的一些概念，數(shù)學(xué)化程度已經(jīng)很高了，而小學(xué)的知識(shí)，從歷史上來看，它對(duì)應(yīng)的是數(shù)學(xué)知識(shí)的早期發(fā)生階段，可能是一個(gè)概念剛剛發(fā)生時(shí)的樣子，抽象程度還不高。因此，我們要重構(gòu)的是知識(shí)萌芽的階段，這實(shí)際上給我們帶來了一定的困難。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，如何追溯圓的早期歷史呢？在古埃及紙草書、古代兩河流域泥版上，我們都看到了有關(guān)圓的記載，但那時(shí)記載的就已經(jīng)是圓的面積、周長(zhǎng)了，所以重構(gòu)古人對(duì)圓的認(rèn)識(shí)的要求更高，因?yàn)閷W(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)是非常薄弱的。所以，中學(xué)、小學(xué)的HPM課例開發(fā)是不一樣的，即使是重構(gòu)，難度也不一樣，這與小學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)比較低，所涉及的歷史是早期的，很可能在文獻(xiàn)上沒有明確記載有關(guān)。

鄒：每次討論時(shí)，我發(fā)現(xiàn)對(duì)中學(xué)階段的課例開發(fā)，我們能侃侃而談，但對(duì)小學(xué)階段的課例開發(fā)，特別是低年級(jí)階段，幾乎是不可能的。記得我們?cè)谖錆h全國(guó)數(shù)學(xué)教育年會(huì)上介紹小學(xué)HPM案例時(shí)，很多人認(rèn)為其中沒有數(shù)學(xué)史，因?yàn)闆]有一個(gè)數(shù)學(xué)家的名字，沒有一段歷史上的材料。這種認(rèn)識(shí)是有誤差的。正是因?yàn)槲覀兞私饬私堑母拍畎l(fā)展歷史，了解了角的早期發(fā)展過程，我們才有了這樣的設(shè)計(jì)，所以數(shù)學(xué)史才在低年級(jí)的課程中成為了一條暗線。

汪：我覺得復(fù)制式的運(yùn)用會(huì)比較少，因?yàn)楣糯臄?shù)學(xué)問題及其表述方式與現(xiàn)在是不一樣的，以小孩子現(xiàn)有的語言能力很難理解。

鄒：就像可以給初中生呈現(xiàn)《九章算術(shù)》的原文片段，帶點(diǎn)兒古文，增加文化性，小學(xué)一二年級(jí)的學(xué)生怎么會(huì)看得懂？對(duì)小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生還可以講一些古希臘的數(shù)學(xué)家，但低年級(jí)的學(xué)生可能連人名都說不清楚，怎么可能給他們講這些？所以我想在融入數(shù)學(xué)史的時(shí)候，是不是應(yīng)該考慮小學(xué)課堂、小學(xué)生的特點(diǎn)？是不是四種方式的融入在小學(xué)階段應(yīng)各有側(cè)重？

岳：看來，我們應(yīng)該根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，對(duì)中學(xué)階段經(jīng)過理論借鑒與經(jīng)驗(yàn)總結(jié)形成的HPM理論進(jìn)行再詮釋。剛才汪老師、鄒老師也提到了小學(xué)階段數(shù)學(xué)史料還是比較少的，這也是小學(xué)教師面臨的一個(gè)普遍問題，就是“無米之炊”的問題。那么，汪老師，從您的角度看，從哪些方面出發(fā)可以幫助教師找到有用的數(shù)學(xué)史料用于設(shè)計(jì)教學(xué)？

汪：這個(gè)問題是比較重要的。讓小學(xué)教師獨(dú)立去找數(shù)學(xué)史料，幾乎是不可能的，也是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)榕c中學(xué)教師接觸，也深刻地感受到了這一點(diǎn)。讓教師自己找不現(xiàn)實(shí)，我們找到了直接給他們，也是有問題的。所以我們基本上采取合作的方式，我們提供史料，然后一起研討如何裁剪、加工等。正如上面所講的，重構(gòu)數(shù)學(xué)史料要求比較高，因此對(duì)史料的裁剪、加工要求就比較高，所以小學(xué)教師開發(fā)課例還需要在一個(gè)實(shí)踐共同體中開展。啟東蔡特（即名師蔡宏圣）那邊的老師，就是一個(gè)共同體，每位老師開發(fā)的課例，都經(jīng)過了團(tuán)隊(duì)的研討，沒有哪個(gè)人是單獨(dú)來做的，這就證明了共同體的重要性。所以怎樣給小學(xué)教師提供好的史料，這個(gè)問題很重要。我認(rèn)為作為高校的研究者，首先要做教育取向的數(shù)學(xué)史研究。隨便拿出一個(gè)課題，讓我給小學(xué)教師提供數(shù)學(xué)史料，我沒有現(xiàn)成的，任何一個(gè)課題的史料都是需要坐冷板凳進(jìn)行研究的。我們?cè)缙陂_發(fā)角、圓、乘法運(yùn)算的課例時(shí)，都沒有現(xiàn)成的史料，都是通過教育取向的數(shù)學(xué)史研究找出來的，就是說那些“米”不是直接從麻袋里倒出來，而是需要我們?nèi)ヌ镆袄锸占?。所以我們不能放棄教育取向的?shù)學(xué)史研究。連歷史都不懂，能做HPM嗎？而要懂歷史，就要做研究。歷史研究是多么艱難啊，可以說我們是永遠(yuǎn)走在路上的，教育取向的數(shù)學(xué)史研究是永無止境的。

岳：也就是說，歷史取向的數(shù)學(xué)史研究與教育取向的數(shù)學(xué)史研究還是有一定距離的，教育取向的數(shù)學(xué)史研究進(jìn)入課堂還需要裁剪、加工。正如剛才汪老師、鄒老師所講，小學(xué)、中學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的方式是不一樣的，對(duì)小學(xué)教師而言，附加式、復(fù)制式是他們能理解的，但是順應(yīng)式、重構(gòu)式，特別是重構(gòu)式，他們理解起來很難。那么，兩位老師能否借幾個(gè)例子來談一下如何運(yùn)用這兩種方式，以便教師開發(fā)課例時(shí)借鑒？

汪：這個(gè)問題很好，很專業(yè)。重構(gòu)式對(duì)小學(xué)教師而言，的確很難。為什么很難？我想主要是因?yàn)橹貥?gòu)式是沒有固定模式的，但重構(gòu)是有依據(jù)的，依據(jù)就是知識(shí)點(diǎn)在歷史上發(fā)生、發(fā)展過程中的關(guān)鍵步驟。小學(xué)里有用字母表示數(shù)、簡(jiǎn)易方程等，從一開始沒有用字母表示數(shù)，到用字母表示未知數(shù)，再到用字母表示任意數(shù)，是學(xué)生必須經(jīng)歷的階段。如何獲知這三個(gè)環(huán)節(jié)呢？是歷史告訴我們的，如果不知道歷史上有這三個(gè)環(huán)節(jié)，談何重構(gòu)？重構(gòu)什么呢？重構(gòu)的另一個(gè)依據(jù)是歷史發(fā)展背后的動(dòng)因，這個(gè)也是不會(huì)改變的。為什么說用文字表達(dá)不夠用了，會(huì)想到用字母表示未知數(shù)？為什么用字母表示未知數(shù)不夠用了，而用字母表示任意數(shù)？背后的歷史動(dòng)因找出來了，也就有了骨架。但為什么說沒有模式呢？是因?yàn)閺囊粋€(gè)環(huán)節(jié)到另一個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)因，需要用小孩子能夠理解的問題情境去構(gòu)造，這就沒有模式了，因?yàn)檫@樣的問題無窮無盡。所以重構(gòu)很難。我們高校的研究者和小學(xué)教師合作去開發(fā)課例時(shí)，要把歷史環(huán)節(jié)搞清楚，把背后的動(dòng)因告訴他們，然后讓他們?nèi)ミx擇適合小學(xué)生的問題。總之，歷史環(huán)節(jié)是確定的，背后的動(dòng)因是歷史的，但是問題的選擇是現(xiàn)代的，選擇是沒有模式的。

鄒：汪老師講到了重構(gòu)式，那我談一下順應(yīng)式。順應(yīng)式是需要改編歷史問題的，所以無論是小學(xué)教師還是中學(xué)教師，首先，要找到歷史上原本的問題或史料；其次，歷史上的問題應(yīng)該轉(zhuǎn)化成小學(xué)數(shù)學(xué)教育的語言或小學(xué)生的語言，在這個(gè)過程中，復(fù)制會(huì)不會(huì)走樣？當(dāng)然，有認(rèn)知障礙的術(shù)語可以去掉，但不能把知識(shí)背后蘊(yùn)涵的思想或前面提到的學(xué)科本質(zhì)也扔掉了，轉(zhuǎn)化成為一種熱鬧的現(xiàn)象。在度的把握上，需要我們和小學(xué)教師商量或我們深入研究。

岳：也就是說，重構(gòu)時(shí)要考慮知識(shí)的邏輯順序、歷史順序及學(xué)生的心理發(fā)生順序，缺一不可，缺了就會(huì)失敗，而對(duì)于順應(yīng)式，我們是不是要保證復(fù)制不走樣，對(duì)么？

鄒：對(duì)，不能變得與原來的完全不一樣，否則那就不是順應(yīng)式了。

岳：所以現(xiàn)在就存在著這樣一種現(xiàn)象，順應(yīng)著、順應(yīng)著就和我們現(xiàn)在的題目一樣了，那憑什么說它是順應(yīng)式？我們可以從哪些方面解決這一問題？

汪：也就是說，一個(gè)問題在我們看來是從數(shù)學(xué)史上來的，而在他人眼里根本不是數(shù)學(xué)史問題，這個(gè)的確很復(fù)雜，因?yàn)閺膹V義上講，我們今天的很多問題的確是從古代來的，就是一代一代演變過來的，那這是不是歷史呢？你可以說是順應(yīng)，而人家可能說不是順應(yīng)。我覺得造成這一問題的原因是不同的人對(duì)歷史的掌握程度不一樣。但是作為HPM研究者，應(yīng)該有個(gè)基本的判斷：不管其他，能在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上找到出處的，就是順應(yīng)式。

岳：那是不是又回到歷史取向、教育取向研究的重要性上來了？

汪：是的，這些都是基礎(chǔ)。所以做HPM的研究，必須追溯歷史本源。

岳：現(xiàn)在大家都知道了HPM的教育價(jià)值，但是HPM作為一個(gè)學(xué)科，肯定有其獨(dú)特的教育價(jià)值，我覺得有必要對(duì)此有所揭示。那么，從汪老師、鄒老師的角度來看，HPM有哪些獨(dú)特的教育價(jià)值呢？

汪：作為訪談問題，這個(gè)有點(diǎn)兒難。但我可以談?wù)剶?shù)學(xué)史的獨(dú)特性與不可替代性。先談一下知識(shí)之諧。怎樣讓知識(shí)自然發(fā)生？即使不懂?dāng)?shù)學(xué)史，也可能做到知識(shí)之諧，但是沒有數(shù)學(xué)史的知識(shí)之諧可能是膚淺的。如用字母表示數(shù)，如果去問小學(xué)教師，為什么要用字母表示數(shù)？他們可能會(huì)回答“書本上是這樣的”。這又回到了剛才的問題，歷史會(huì)告訴我們知識(shí)發(fā)展的動(dòng)因是什么，核心的環(huán)節(jié)是什么。但是今天，很多教師是不知道歷史的。其實(shí)，知識(shí)之諧是歷史告訴我們的，因?yàn)楹芏鄸|西，歷史上已經(jīng)發(fā)生了，我們是改變不了的，這是人類認(rèn)識(shí)過程中自然發(fā)生的。所以在我看來，有了數(shù)學(xué)史，知識(shí)真的是自然發(fā)生了，沒有數(shù)學(xué)史，教師關(guān)注的還是知識(shí)的邏輯順序。這樣的話，有些內(nèi)容是能夠體現(xiàn)知識(shí)之諧的，因?yàn)檫@些內(nèi)容的邏輯順序恰好與歷史順序相一致，碰巧是自然的。但是很多時(shí)候兩者是不一致的，這個(gè)時(shí)候哪種順序是自然的？也可能是我們今天的邏輯順序是自然的，因?yàn)檫壿嬳樞蛴趾蛯W(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序一致了，但是很多時(shí)候歷史順序才是自然的，所以，歷史在知識(shí)之諧這個(gè)方面是不可替代的。再談一下探究。在評(píng)課的時(shí)候，我們經(jīng)常提到假探究，確實(shí)有這回事。為什么會(huì)出現(xiàn)假探究？因?yàn)檫@些探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的背后是沒有參照系的，而歷史給我們提供了探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的參照系，這個(gè)參照系沒有數(shù)學(xué)史能行嗎？我們?cè)賮砜吹掠臀幕v史本身就是文化，數(shù)學(xué)文化是包含數(shù)學(xué)史的。另外，從德育的角度講，像反比例函數(shù)，有了數(shù)學(xué)史，如歷史故事，講到反比例函數(shù)這個(gè)“反”字，講到生意人貪小便宜吃大虧，這就是得與失之間的辨證關(guān)系，讓學(xué)生能夠感受到這種德育價(jià)值。所以知識(shí)之諧、探究之樂、文化之魅、德育之效，有數(shù)學(xué)史和沒有數(shù)學(xué)史是完全不一樣的，當(dāng)然也不能說沒有數(shù)學(xué)史這些就沒有了。以上是數(shù)學(xué)史在這四方面的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)史的價(jià)值一定是獨(dú)特的。沒有數(shù)學(xué)史，應(yīng)該說就沒有人的元素了；沒有了人的元素，那么人影響人，像這種德育的東西，肯定是少的。

岳：鄒老師還有哪些補(bǔ)充？

鄒：剛剛汪老師講了很多，我就補(bǔ)充一點(diǎn)，就是數(shù)學(xué)史讓課堂充滿人性。比如，知識(shí)之諧，如果沒有人的元素，知識(shí)是冰冷的、客觀的，但是融入數(shù)學(xué)史，就仿佛課堂里多了一個(gè)人，有古人伴隨學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的學(xué)習(xí)和發(fā)生過程。再如探究之樂，如果有了歷史的支撐作為參照系，仿佛當(dāng)年就有這個(gè)探究的活動(dòng)（汪：再現(xiàn)歷史的過程）。文化之魅也是這樣，如果有數(shù)學(xué)史的融入，就有了人的元素的加入，就能為文化的建構(gòu)或文化價(jià)值的體現(xiàn)服務(wù)。所以數(shù)學(xué)史讓課堂充滿人性，讓老師和學(xué)生充滿情懷，就是這種獨(dú)特的價(jià)值使數(shù)學(xué)史發(fā)揮了不可替代的作用。還有方法之美和能力之助，在這兩個(gè)方面數(shù)學(xué)史也發(fā)揮著錦上添花的作用。

汪：我剛剛為什么沒講方法之美和能力之助呢？因?yàn)樗鼈冊(cè)谥袑W(xué)里反映得更明顯一些，在小學(xué)里，畢竟沒有大量定理的證明，因此邏輯的東西是少的。而用數(shù)學(xué)史提升小學(xué)生的能力這方面，要求也許高了點(diǎn)兒，但是要說獨(dú)特性，也是有的。舉個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子，格子算，小孩子是喜歡的，是有方法之美的。能力呢？比如，設(shè)計(jì)探究活動(dòng)讓學(xué)生創(chuàng)造角的符號(hào)，這是不是體現(xiàn)了創(chuàng)新能力的培養(yǎng)？再比如，講一段數(shù)學(xué)家的故事，是不是也有閱讀理解能力的體現(xiàn)？所以這方面是挺重要的。比如，現(xiàn)在的很多高考題，背景中包含一大堆數(shù)學(xué)史，如果閱讀能力不強(qiáng)，學(xué)生先暈過去了，還談何解題？

岳：剛才汪老師、鄒老師從HPM的六大教育價(jià)值出發(fā)闡釋了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值獨(dú)特性。前面你們也多次提到，合作在HPM課例開發(fā)中是相當(dāng)重要的，那么你們能否說一下如何借助共同體的合力，來促進(jìn)共同體在小學(xué)生根發(fā)芽？不同的團(tuán)體在這個(gè)過程中，要分別扮演什么角色？

汪：這個(gè)問題很好！2015年《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》向我約稿時(shí)，我就提出“五個(gè)一”了，其中有“一個(gè)團(tuán)隊(duì)”。作為HPM的早期傳播者，在國(guó)內(nèi)，我認(rèn)識(shí)很多中小學(xué)教師，但總感覺HPM推不下去，很簡(jiǎn)單的一個(gè)道理，讓教師獨(dú)立開發(fā)課例是不可能的。首先，沒有“食材”，其次，沒有技術(shù)，怎么做飯呢？所以我就感覺到這種共同體的必要性，事實(shí)上我們舉辦的多次HPM研討會(huì)，就是建立、擴(kuò)大共同體的過程。以中國(guó)這種現(xiàn)狀，是很需要共同體的，這個(gè)方面，蔡特是成功的。總之，我們需要共同體，這就是我們追求的一種模式，大學(xué)和中小學(xué)合作的模式。一個(gè)團(tuán)隊(duì)，就是大學(xué)、中小學(xué)、教研員共同組成一個(gè)共同體，在這個(gè)共同體里面，各方力量結(jié)合起來，發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)。

其實(shí)，我們的HPM、歷史研究很好，教育研究也可以，但是如果不和小學(xué)教師合作，自己拍拍腦袋，肯定是不行的。七八年前，我也經(jīng)常做一些教學(xué)設(shè)計(jì)，有人拿我的設(shè)計(jì)用于教師培訓(xùn)，結(jié)果教師意見一大堆：“這個(gè)設(shè)計(jì)45分鐘能完成嗎？”“教學(xué)目標(biāo)定位是怎樣的？”他們感覺到太為歷史而歷史。所以，我們作為高校研究者，如果不和中小學(xué)合作，對(duì)學(xué)生、教科書的知識(shí)體系都是不了解的，所以說僅僅學(xué)術(shù)性很強(qiáng)是不夠的，這個(gè)共同體是不能離開一線教師的，離開他們，我們也做不出好的設(shè)計(jì)來。因此，高校教師和小學(xué)教師及教研員，應(yīng)各自發(fā)揮自己的強(qiáng)項(xiàng)，然后一起研討，把這些優(yōu)勢(shì)融合在一起，這樣才能形成好的設(shè)計(jì)。

鄒：其實(shí)，三個(gè)團(tuán)隊(duì)，高校研究者團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)提供數(shù)學(xué)史料，小學(xué)教師（實(shí)踐者）團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)上課，那教研員這個(gè)團(tuán)隊(duì)呢？其實(shí)是一個(gè)平衡的角色。研究者團(tuán)隊(duì)講的東西是不是能在課堂中實(shí)踐出來？有些自身專業(yè)水平較高的教師，是能夠判斷或能夠完成教學(xué)形態(tài)的轉(zhuǎn)化的，而有些教師，特別是年輕、職初教師，是沒有把握的。所以，我想教研員或者教師發(fā)展指導(dǎo)者，讓我們能夠?qū)PM的理論形態(tài)或教學(xué)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)。

岳：是不是說教研員團(tuán)隊(duì)能促進(jìn)HPM的傳播？所以說HPM共同體的組建，要吸引更多的教研員或教師發(fā)展指導(dǎo)者參與進(jìn)來。

汪：是的，他們可以在學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)之間架起一座橋梁。

鄒：所以在共同體里，他們應(yīng)該承擔(dān)重要角色。我們歡迎更多的小學(xué)教研員或教師發(fā)展指導(dǎo)者加入HPM共同體。

岳：上次我參加《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》導(dǎo)讀活動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)大家對(duì)HPM課例的課后反饋很感興趣。學(xué)生的反饋（家庭作業(yè)除外）教師很少涉及，所以對(duì)此也不太了解，兩位老師覺得反饋有什么作用？另外，如何有效地設(shè)計(jì)課后反饋？

汪：這個(gè)問題提到點(diǎn)子上了，這個(gè)問題正處于不斷研究、不斷探索、不斷完善的過程中。事實(shí)上，一節(jié)課上完后怎么檢測(cè)效果？調(diào)查是需要的，但是世界上沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，大家都在探索。情感方面稍微好測(cè)一點(diǎn)，認(rèn)知方面還需要編制合適的工具（如測(cè)試卷）。但是不管怎樣，小學(xué)教師關(guān)注反饋是非常好理解的，你說好，難道就是好？如果教師沒有發(fā)現(xiàn)學(xué)生喜歡，他們是不認(rèn)可的。為什么很多做HPM課例開發(fā)的教師，原來沒有感覺，做了以后慢慢喜歡上了它？因?yàn)樗麄兏惺艿搅薍PM的魅力，他們發(fā)現(xiàn)學(xué)生是真心喜歡的，對(duì)知識(shí)的理解也很深入。

岳：鄒老師能不能談一下，我們大致要從哪些方面設(shè)置一些問題，來了解學(xué)生的真實(shí)想法？因?yàn)椴还苁荋PM課還是其他類型的課，我們都需要做這方面的工作。

鄒：就是汪老師剛剛講的，我們?cè)缙谧鲂拍?、態(tài)度的反饋，比較好做。后來一直強(qiáng)調(diào)知識(shí)層面的調(diào)查，我們就開發(fā)了知識(shí)測(cè)試的問卷。當(dāng)時(shí)有這樣一個(gè)想法，使用知識(shí)卷的時(shí)候，有兩個(gè)方向：一是可以做知識(shí)理解的對(duì)比研究，針對(duì)用和不用數(shù)學(xué)史的學(xué)生，用相同的題目測(cè)試，通過對(duì)比可以看出HPM對(duì)知識(shí)理解的影響；二是做縱向的實(shí)踐研究，就是HPM課例結(jié)束后，對(duì)學(xué)生可能沒有立竿見影的效果，但是過一段時(shí)間以后再去測(cè)試反而有效果了，這當(dāng)然是受研究條件限制的。其實(shí)對(duì)小學(xué)生做問卷是比較難的，尤其是低年級(jí)學(xué)生，很多學(xué)生可能對(duì)問卷本身的理解就有困難，所以，這個(gè)時(shí)候我們要采取訪談的形式。

岳：就是說，如果經(jīng)歷了較長(zhǎng)時(shí)間，學(xué)生仍然沒有遺忘，就說明對(duì)學(xué)生的影響是深遠(yuǎn)的。

鄒：因?yàn)檫@節(jié)課后，學(xué)生還要進(jìn)行其他課程的學(xué)習(xí)，當(dāng)我們很難排除一些無關(guān)變量時(shí)，是不是可以多次測(cè)試？所以知識(shí)方面，是小學(xué)HPM課例開發(fā)反饋中亟待攻克的難題。

汪：評(píng)價(jià)確確實(shí)實(shí)能提高HPM水平，但目前這方面還相當(dāng)不完善，甚至做得很膚淺。

岳：事實(shí)上我們現(xiàn)在試圖從三維目標(biāo)上考查學(xué)生，有些題目考查他們的知識(shí)掌握程度，同時(shí)將情感、態(tài)度的前測(cè)和后測(cè)結(jié)合了起來。

汪：這個(gè)很好，情感好做，認(rèn)知呢？我覺得在小學(xué)里考查HPM對(duì)學(xué)生認(rèn)知的影響就是一個(gè)好的研究課題。開發(fā)好了是非常有價(jià)值的，但是開發(fā)是沒有固定模式的，對(duì)于一個(gè)概念、一個(gè)公式或不同的主題，在HPM教學(xué)之后，用來檢測(cè)學(xué)生情況的工具應(yīng)該是不一樣的。如果我們涉及的是一個(gè)公式，在講解時(shí)用到了某一思想，就體現(xiàn)了HPM的方法之美，我們要檢測(cè)學(xué)生的掌握情況，就需要通過這樣的工具來檢測(cè)，如圓面積可以通過轉(zhuǎn)化為三角形面積來推導(dǎo)，那么扇形面積能不能用？

岳：這個(gè)對(duì)我們未來的HPM測(cè)評(píng)工具的開發(fā)提出了更高的要求，我們希望盡量做到這一點(diǎn)。

汪：針對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，我們通常會(huì)問：對(duì)這節(jié)課你印象最深刻的是什么？這節(jié)課你喜歡嗎？你掌握了沒有？這些問題不一定能考查出學(xué)生的真實(shí)情況。

岳：不要問掌握了沒有，而是直接出道題進(jìn)行測(cè)試。是么？

汪：是的。所以，現(xiàn)在我們開發(fā)出合適的測(cè)評(píng)工具是不容易的。作為測(cè)量工具，量桌子的長(zhǎng)短，尺子至關(guān)重要，尺子做不好，怎么進(jìn)行測(cè)量呢？所以我覺得做HPM實(shí)證研究，測(cè)評(píng)工具的開發(fā)是不可回避的問題，否則水平就高不上去。

岳：的確，測(cè)評(píng)工具在HPM研究中相當(dāng)重要。汪老師和鄒老師對(duì)HPM在小學(xué)的實(shí)踐，或在小學(xué)階段HPM的研究，有什么期望？

鄒：HPM，特別是小學(xué)HPM，要以解決課堂中長(zhǎng)期存在的問題為出發(fā)點(diǎn)。因?yàn)槲覀兊腍PM研究，讓人眼睛放亮的地方是能解決課堂中常年積累下來的一些問題。因此，能解決這些疑難雜癥，是我們努力的方向。這就需要我們深入進(jìn)行教育取向的數(shù)學(xué)史研究，運(yùn)用規(guī)范的測(cè)評(píng)方法，借助共同體的合作將HPM的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為課堂形態(tài)。我期望HPM能夠?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)增添一股清風(fēng)，能夠?yàn)榻鉀Q困難帶來一些幫助，我想這是很值得期待的。

汪：還是要解決幾個(gè)“一”的問題，一門課程、一個(gè)論壇、一種模式、一批案例、一個(gè)團(tuán)隊(duì)，從而讓HPM在小學(xué)生根、發(fā)芽、結(jié)果。

訪談總結(jié)

通過對(duì)汪曉勤、鄒佳晨?jī)晌焕蠋煹脑L談，我們發(fā)現(xiàn)，深入進(jìn)行HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，需要做到以下幾點(diǎn)：

（1）厘清HPM的邊界是前提。要認(rèn)識(shí)到只使用了附加式的課例不能稱為HPM課例，附加式要與其他方式相結(jié)合，且數(shù)學(xué)史的使用要對(duì)教學(xué)目標(biāo)有顯著影響。

（2）教育取向的數(shù)學(xué)史研究是保障。無論是宏觀層面的HPM課例的開發(fā)，還是微觀方面順應(yīng)式、重構(gòu)式的使用，史料的占有率是關(guān)鍵。因?yàn)闆]有史料，何談HPM？沒有教育取向數(shù)學(xué)史的深入研究，如何確保順應(yīng)的問題是歷史問題？如何保證重構(gòu)的知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程反映了知識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)與歷史動(dòng)因？

（3）理論的借鑒與創(chuàng)新是生命力。HPM視角下的小學(xué)教學(xué)與中學(xué)教學(xué)在前景、教師的喜愛程度、教學(xué)效果與課堂氛圍上差異很大，但中學(xué)HPM研究、實(shí)踐較為成熟。因此小學(xué)階段的HPM實(shí)踐與研究，要借鑒中學(xué)的相關(guān)成果，結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)、教學(xué)實(shí)際、數(shù)學(xué)史等，構(gòu)建數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教育價(jià)值的獨(dú)特內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)史的融入方式。

（4）共同體的組建是必經(jīng)之路。要開發(fā)出好的HPM課例，需要采取共同體的模式，高校與中小學(xué)合作，高校研究者、小學(xué)數(shù)學(xué)教師、教研員緊密配合、資源共享、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。