可逆圓形熱循環(huán)過(guò)程的循環(huán)效率研究

柴 蕊 穆成富 毛俊雯 張大立 李柏青

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院物理系 浙江 湖州 313000)

可逆圓形熱循環(huán)過(guò)程的循環(huán)效率研究

柴 蕊 穆成富 毛俊雯 張大立 李柏青

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院物理系 浙江 湖州 313000)

從理論上講任何正循環(huán)都可以作為某種熱機(jī)的工作原理，其循環(huán)效率不僅與循環(huán)曲線的形狀有關(guān)，而且與循環(huán)曲線在p-V圖的位置有關(guān). 作為理論探討，以對(duì)稱性最高的圓形循環(huán)為例來(lái)討論上述問(wèn)題很有代表性.首先給出圓形熱循環(huán)的循環(huán)效率的解析表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上討論了隨圓心的坐標(biāo)及半徑的改變循環(huán)效率的變化關(guān)系，以及圓形循環(huán)的循環(huán)效率曲線在p-V圖上的分布情況.

卡諾循環(huán) 熱機(jī)效率 圓形循環(huán)

在傳統(tǒng)熱學(xué)教材中通常以卡諾循環(huán)、奧托循環(huán)、狄賽爾循環(huán)等常見(jiàn)熱循環(huán)過(guò)程為例來(lái)具體講解熱機(jī)效率的計(jì)算. 從原則上講,在p-V圖上任何一條正循環(huán)閉合曲線都可以作為某種熱機(jī)的工作原理， 可以根據(jù)熱機(jī)效率(循環(huán)效率)的定義

來(lái)計(jì)算這臺(tái)熱機(jī)的效率[1]，其中W是系統(tǒng)對(duì)外做的凈功，Q1是系統(tǒng)從外界吸收的總熱量. 然而循環(huán)效率不僅與循環(huán)曲線的形狀有關(guān)，而且與循環(huán)曲線在p-V圖的位置有關(guān). 為了從理論上研究上述問(wèn)題，本文選取圓形循環(huán)進(jìn)行研究，一方面因?yàn)閳A形循環(huán)具有最高的對(duì)稱性，另一方面圓形循環(huán)對(duì)于加深理解如何判斷一個(gè)循環(huán)中何時(shí)吸熱何時(shí)放熱有著重要的意義.關(guān)于圓形和橢圓形熱循環(huán)過(guò)程的分析，已經(jīng)有文章做過(guò)一些初步研究[2～6]. 本文將討論圓形循環(huán)的熱機(jī)效率隨著圓心的位置及半徑的變化情況，并進(jìn)行了具體的數(shù)值計(jì)算. 這里的討論方法對(duì)于任意循環(huán)過(guò)程同樣適用.

1 圓形熱力學(xué)過(guò)程吸熱與放熱的判斷方法

為了求出圓形循環(huán)過(guò)程的循環(huán)效率， 首先需要判斷其熱力學(xué)過(guò)程中的吸熱與放熱過(guò)程，也就是需要求出從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^(guò)渡點(diǎn)坐標(biāo). 對(duì)于一般的熱力學(xué)過(guò)程， 判斷吸熱和放熱的方法有許多種. 文獻(xiàn)[2]中給出了通過(guò)確定過(guò)程熱容的正負(fù)來(lái)判斷熱力學(xué)過(guò)程的吸放熱方法, 文獻(xiàn)[3]列出了功熱比法和作圖法兩種判斷方法， 本文采用后一種方法來(lái)研究.

圓形循環(huán)過(guò)程如圖1所示，作兩條絕熱線1-6和2-4，與圓相切，交于1,2兩點(diǎn)，過(guò)1點(diǎn)作等壓線1-3，過(guò)5點(diǎn)作等壓線6-4.

圖1 作圖法判斷吸熱放熱過(guò)程

對(duì)于熱循環(huán)過(guò)程1-2-3-1， 凈功等于系統(tǒng)從外界吸收的熱量，即

W=Q=Q12+Q23+Q31>0

過(guò)程3-1等壓壓縮系統(tǒng)放熱

Q31<0

過(guò)程2-3絕熱

Q23=0

由此可得在該循環(huán)過(guò)程中

Q12>0

故1-2為吸熱過(guò)程.

同理,對(duì)于熱循環(huán)過(guò)程2-5-4-3-2， 可以得出在該循環(huán)過(guò)程中,過(guò)程2-5為放熱過(guò)程.對(duì)于熱循環(huán)過(guò)程1-6-5-1， 可得過(guò)程5-1為放熱過(guò)程.

2 圓形循環(huán)循環(huán)效率的理論推導(dǎo)

首先要建立描述圓形循環(huán)的函數(shù)方程. 由于壓強(qiáng)和體積具有不同的量綱，我們要選擇坐標(biāo)軸的單位,本文用pr和Vr來(lái)作為p-V圖縱軸和橫軸的單位， 它們分別具有壓強(qiáng)和體積的量綱，并且縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)只標(biāo)出物理量的大小而不標(biāo)單位. 這樣標(biāo)定后p-V圖上的圓形方程和數(shù)學(xué)里面x-y坐標(biāo)軸上圓的方程沒(méi)有區(qū)別[4]. 文獻(xiàn)[4]中坐標(biāo)軸的標(biāo)定相當(dāng)于取pr=1×105Pa和Vr=1×10-3m3. 由于本文要討論的循環(huán)效率是沒(méi)有量綱的物理量， 我們可以不必指出物理量的具體單位，不妨取pr=1個(gè)壓強(qiáng)單位，Vr=1個(gè)體積單位.這樣p-V圖中圓形循環(huán)的方程可以表示成

(p-p0)2+(V-V0)2=r2

(1)

其中(V0,p0)是圓心坐標(biāo),r是圓的半徑, 根據(jù)我們剛才的坐標(biāo)軸約定， 半徑是無(wú)量綱的物理量.

2.1 求過(guò)渡點(diǎn)坐標(biāo)

吸熱和放熱的過(guò)渡點(diǎn)(V1,p1)，(V2,p2)是圓形熱力學(xué)過(guò)程與絕熱線的切點(diǎn)，如圖2所示， 所以熱力學(xué)過(guò)程曲線與絕熱線在該切點(diǎn)處斜率相等[4].因此需要先求圓形熱循環(huán)的過(guò)程曲線斜率. 將過(guò)程方程式(1)兩邊對(duì)V求偏微商，偏微商的下標(biāo)標(biāo)以c， 表示圓形過(guò)程方程曲線上的斜率，得到

即

(2)

圖2 準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程下的圓形熱循環(huán)

根據(jù)絕熱線的過(guò)程方程， 可以得到絕熱線上的斜率[1]

(3)

其中γ是比熱容比.吸熱和放熱的過(guò)渡點(diǎn)即兩曲線的切點(diǎn)應(yīng)同時(shí)滿足式(2)和式(3)，即

即

V(V-V0)=γp(p-p0)

(4)

因?yàn)閳D2中過(guò)渡點(diǎn)還是圓上的點(diǎn)， 同時(shí)還應(yīng)該滿足式(1).所以式(1)和式(4)就是吸熱和放熱的過(guò)渡點(diǎn)坐標(biāo)(V1,p1)和(V2,p2)所應(yīng)滿足的方程，聯(lián)立求解得到

(5)

(6)

根據(jù)一元四次方程求根公式并舍掉非物理解， 由式(5)可得

(7)

(8)

如此我們可以確定循環(huán)圖中吸熱放熱分界點(diǎn)的具體位置，這對(duì)于求循環(huán)效率至關(guān)重要.上面兩個(gè)表達(dá)式雖然形式復(fù)雜，但從中我們可以看出吸熱放熱分界點(diǎn)的位置與圓心坐標(biāo)V0,p0和半徑r有關(guān)，并且依賴于氣體比熱容比γ.

這里我們定義了如下幾個(gè)函數(shù)

α(V0,p0,r,γ)=

{3×(γ+1)2×[Δ2(V0,p0,r,γ)+

Δ1(V0,p0,r,γ)=C(V0,p0,r,γ)2-

3B(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)+

12A(V0,p0,r,γ)E(V0,p0,r,γ)

Δ2(V0,p0,r,γ)=C(V0,p0,r,γ)3-

9B(V0,p0,r,γ)C(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)+

27A(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)2+

27B(V0,p0,r,γ)2E(V0,p0,r,γ)-

72A(V0,p0,r,γ)C(V0,p0,r,γ)E(V0,p0,r,γ)

C(V0,p0,r,γ)=

D(V0,p0,r,γ)=

將過(guò)渡點(diǎn)的壓強(qiáng)值代入式(6)就可以求出過(guò)渡點(diǎn)的體積值.所以由式(6)～(8)可得過(guò)渡點(diǎn)坐標(biāo)(V1,p1)、(V2,p2)的具體解析表達(dá)式.

2.2 圓形循環(huán)循環(huán)效率的解析表達(dá)式

圖2中圓形熱循環(huán)為正循環(huán)，在整個(gè)循環(huán)過(guò)程中，氣體吸收總熱量為Q1，氣體對(duì)外做的凈功為W， 則循環(huán)效率為

(9)

另一方面,熱循環(huán)過(guò)程中的凈功為循環(huán)曲線所圍面積，即W=πr2.在圖2中過(guò)程3-4-1為吸熱過(guò)程，此吸熱過(guò)程中氣體吸收熱量即為循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)從外界吸收的總熱量Q1.根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

Q1=ΔU+W1′

(10)

其中W1′為吸熱過(guò)程中氣體對(duì)外界做功，ΔU為此過(guò)程中內(nèi)能的改變.理想氣體內(nèi)能僅僅與溫度有關(guān)， 所以吸熱過(guò)程中的內(nèi)能變化ΔU可以表示為

ΔU=νCV,m(T2-T1)

(11)

其中摩爾等體熱容可以普適常量R和氣體比熱容比γ表示

(12)

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程pV=νRT(ν表示氣體的物質(zhì)的量)可以得到

(13)

由式(11)，(12)，(13)聯(lián)立得熱循環(huán)過(guò)程中的內(nèi)能變化ΔU

(14)

因?yàn)閜,V滿足圓形熱循環(huán)方程式(1)， 可以求得在吸熱過(guò)程中外界對(duì)氣體所做的功W1

(15)

上式是吸熱過(guò)程外界對(duì)氣體所做的功，從物理上講也就是循環(huán)曲線的上部分(p1,p2點(diǎn)的圓弧上部分)與橫軸所圍成的面積的大小. 從式(15)也可以看出此功大小與吸熱放熱分界點(diǎn)的坐標(biāo)密切相關(guān)，也與圓的半徑有關(guān).在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中氣體對(duì)外界所做的功和外界對(duì)氣體所做的功差一個(gè)負(fù)號(hào)，即

W1=-W1′

由式(9)、(10)、(15)聯(lián)立求解，可以得到圓形循環(huán)的循環(huán)效率的具體表達(dá)式

(16)

3 循環(huán)效率隨圓心位置和半徑的變化關(guān)系及分布

從式(14)、式(15)和式(16)可以看出圓形循環(huán)循環(huán)效率是p1,p2,V1,V2的函數(shù)，而從式(6)、(7)和式(8)可以看出p1,p2,V1,V2又是圓心坐標(biāo)(V0，p0)和半徑r的函數(shù)， 所以我們可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算求出循環(huán)效率隨圓心位置和半徑的變化關(guān)系，以及循環(huán)效率p-V在圖上的分布情況.

3.1 圓心(V0,p0)沿反比例函數(shù)變化

圖3 圓心坐標(biāo)(V0,p0)沿曲線變化時(shí)

圖4 循環(huán)效率η沿著不同等溫線的變化情況

3.2 圓心固定在點(diǎn)(3,3)時(shí)循環(huán)效率隨半徑r的變化情況

圖5 圓形熱循環(huán)效率η隨半徑r的變化關(guān)系圖

從圖5可以看出循環(huán)效率隨圓的半徑增大而增大.與前面分析類似，可以通過(guò)循環(huán)效率的表達(dá)式式(16)對(duì)這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)行物理解釋：圓的半徑增大說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)外界所做的凈功增大，導(dǎo)致式(16)的分子增大.但圓形熱循環(huán)曲線的吸熱部分曲線與橫軸所圍成的面積增大，同時(shí)過(guò)渡點(diǎn)(V1,p1)、(V2,p2)所經(jīng)過(guò)的等溫線之間的距離變大即內(nèi)能變大，這兩種因素導(dǎo)致式(16)的分母也增大，分子分母兩種效應(yīng)互相競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致圖5的結(jié)果出現(xiàn).

3.3 圓形循環(huán)循環(huán)效率在p-V圖上的分布

下面討論圓形循環(huán)循環(huán)效率在p-V圖上的分布情況.令式(16)的循環(huán)效率取不同數(shù)值，分別是η=0.1,0.15,0.2,0.25，讓圓心坐標(biāo)(V0,p0)在p-V圖中自由變化(同時(shí)考慮圓最多只能與坐標(biāo)軸之一相切，否則沒(méi)有物理意義)，畫效率的等高線圖.這里式(16)中半徑r取為一個(gè)單位.結(jié)果如圖6所示.

圓形熱循環(huán)效率η取不同值時(shí)，圓心位置也隨之不斷變化的等高線如圖6所示.當(dāng)η值增大時(shí)等高線的密集程度增加，圓心位置的變化程度減小.在同一η值下，圓心位置也沿一定的曲線分布移動(dòng).在圖6中我們可以直觀地看出圓形循環(huán)循環(huán)效率在p-V圖上的分布.由于圓心坐標(biāo)(V0,p0)滿足式(1)和式(4)，所以圓心橫縱坐標(biāo)V0，p0在圖6中并不對(duì)稱.

圖6 不同效率取值下圓心坐標(biāo)(V0,p0)的變化圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文計(jì)算了圓形熱循環(huán)過(guò)程的循環(huán)效率η,給出它的解析表達(dá)式.然后討論了圓形熱循環(huán)的循環(huán)效率隨圓心坐標(biāo)在p-V圖沿不同曲線移動(dòng)的變化關(guān)系，同時(shí)討論了循環(huán)效率隨圓半徑的變化情況.最后研究了圓形循環(huán)循環(huán)效率在p-V圖上的分布情況.圓心在p-V圖移動(dòng)過(guò)程中，過(guò)渡點(diǎn)(V1,p1)、(V2,p2)所經(jīng)過(guò)的等溫線之間的差值決定了系統(tǒng)在吸熱過(guò)程中的內(nèi)能變化ΔU，吸熱曲線與橫軸所圍成的面積決定了吸熱過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外界所做的功，這兩個(gè)因素共同決定了整個(gè)圓形熱循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)從外界吸收的熱量，即決定了循環(huán)效率的大小.

1 李椿，章立源，錢尚武，等.熱學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社，2008.134～141

2 嚴(yán)子峻.判斷熱力過(guò)程吸熱與放熱的一種簡(jiǎn)便方法.物理與工程，2002,12(3)：16～19

3 高德文，王繼紅.判斷熱力過(guò)程吸熱與放熱的兩種方法.物理與工程，2000,11(3)：27

4 秦允豪.普通物理學(xué)教程熱學(xué)習(xí)題思考題解題指導(dǎo)(第3版).北京：高等教育出版社，2012.168～170

5 李勇，史順兵.理想氣體橢圓形可逆循環(huán)效率計(jì)算問(wèn)題討論.平頂山學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，10 (3)：86～88

6 蘇景順，賈秀敏.理想氣體橢圓循環(huán)的效率.大學(xué)物理，2005，24(2)：25～26，56

ResearchontheCycleEfficiencyforaProcessofReversibleCircularThermalCycle

ChaiRuiMuChengfuMaoJunwenZhangDaliLiBaiqing

(SchoolofScience,HuzhouUniversity,Huzhou，Zhejiang313000)

Theoretically, any normal thermal cycle can be considered as an operating principles of heat engine, its efficiency is related not only with the shape of cycle, but also with its position inp-Vdiagram. In theory, we can take circular thermal cycle as an example to discuss the above questions, because circular cycle has the highest symmetry. Firstly, we give the analytic expression on the efficiency for a circular thermal cycle. Secondly, we discuss the changes of the efficiency with the center coordinates and radius. We also give the distribution curve of the same value of efficiency on thep-Vdiagram.

Carnot cycle; efficiency of heat engine; circular cycle

柴蕊(1994- ),女,2012級(jí)物理師范專業(yè)本科生.

指導(dǎo)教師：穆成富(1978- ),男,博士，講師，主要研究方向?yàn)槔碚撐锢?

2016-08-01)