芻議擺鐘走時(shí)快慢的相對(duì)誤差

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學(xué) 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

趙林明

(廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué) 廣東 廣州 510375)

芻議擺鐘走時(shí)快慢的相對(duì)誤差

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學(xué) 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

趙林明

(廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué) 廣東 廣州 510375)

從物理學(xué)角度探究了不準(zhǔn)確擺鐘走時(shí)的相對(duì)誤差，并通過舉例分析用相對(duì)誤差的兩種表達(dá)式解題時(shí)所帶來的差別，期望可以澄清廣大教師對(duì)這一問題的誤解.

擺鐘 相對(duì)誤差 準(zhǔn)確度

擺鐘問題歷來是高中物理的一個(gè)難點(diǎn)，很多教師曾在各大刊物發(fā)表過大量的論文，但是對(duì)于其中的一個(gè)問題(即不準(zhǔn)確擺鐘走時(shí)的相對(duì)誤差問題)似乎大部分教師都非常容易走進(jìn)誤區(qū).由于這一問題具有一定難度，因此并不要求學(xué)生掌握，也正因?yàn)槿绱?，很多人也就不太注意，但是如果將這個(gè)錯(cuò)誤觀點(diǎn)帶進(jìn)課堂，學(xué)生利用這一結(jié)論直接解題將會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的錯(cuò)誤.筆者深入研讀了近幾十年的大量文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)很多文獻(xiàn)都在這個(gè)問題上犯錯(cuò)，而由于問題的隱蔽性極高，再加上大多數(shù)人的思維定勢(shì)導(dǎo)致這一錯(cuò)誤并沒有被人發(fā)現(xiàn)，下面筆者將通過其中一篇典型的文章展開討論，進(jìn)而澄清這一問題.

1 問題的提出

問題：走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘的周期為T準(zhǔn)，走時(shí)不準(zhǔn)確的擺鐘的周期為T不準(zhǔn)，問走時(shí)不準(zhǔn)確的擺鐘的相對(duì)誤差為多少？

這一觀點(diǎn)在有的刊物上得到公開發(fā)表，其錯(cuò)誤的隱蔽性可見一斑，鑒于此，筆者認(rèn)為這一在教師中廣為流傳的錯(cuò)誤觀點(diǎn)亟待澄清.

文獻(xiàn)[1]通過數(shù)學(xué)分析法得出擺鐘問題的計(jì)算公式，其主要思路是先進(jìn)行了一個(gè)假設(shè)

(1)

其中l(wèi)為擺長(zhǎng)，并利用這個(gè)錯(cuò)誤公式計(jì)算了幾道例題.

讀罷文獻(xiàn)[1]收獲頗多，尤其被作者扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底所折服，由于文獻(xiàn)[1]是完全通過數(shù)學(xué)途徑得出的結(jié)論，因此順著其思路根本不會(huì)發(fā)現(xiàn)文章中的任何錯(cuò)誤，隱蔽性極高，而筆者也是從物理學(xué)的角度進(jìn)行對(duì)照時(shí)才發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤所在.

2 問題分析

問題剖析：值得注意的是，嚴(yán)格地講，擺鐘并不是單擺，而是復(fù)擺(即剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的物理擺)，引入等值擺長(zhǎng)后可視為單擺.根據(jù)擺鐘的機(jī)械構(gòu)造，不論走時(shí)準(zhǔn)確的鐘還是不準(zhǔn)確的鐘，只要擺鐘的擺完成了一次全振動(dòng)，鐘面指針擺過的角度都是相同的，比如說秒針都跳動(dòng)了1 s，因此走得快的擺鐘，其實(shí)際周期短，走得慢的擺鐘，其實(shí)際周期長(zhǎng).其中主要涉及兩類擺鐘問題，擺長(zhǎng)發(fā)生變化引起的以及重力加速度發(fā)生變化引起的計(jì)時(shí)不準(zhǔn)確問題.下面我們針對(duì)慢鐘和快鐘從物理學(xué)角度進(jìn)行討論.

2.1 慢鐘走時(shí)的相對(duì)誤差

假設(shè)不準(zhǔn)確的慢鐘在時(shí)間t內(nèi)其鐘面顯示的時(shí)間為t′，其周期為T慢，準(zhǔn)確擺鐘的周期為T準(zhǔn)，不難理解T慢>T準(zhǔn)，則不準(zhǔn)確的慢鐘在時(shí)間t內(nèi)擺動(dòng)的次數(shù)為

因此,不準(zhǔn)確的擺鐘其鐘面顯示的時(shí)間

不準(zhǔn)確的慢鐘走時(shí)的相對(duì)誤差為

2.2 快鐘走時(shí)的相對(duì)誤差

假設(shè)不準(zhǔn)確的快鐘在時(shí)間t內(nèi)其鐘面顯示的時(shí)間為t′，其周期為T快，準(zhǔn)確擺鐘的周期為T準(zhǔn)，不難理解T快

因此,不準(zhǔn)確的快鐘其鐘面顯示的時(shí)間

不準(zhǔn)確的快鐘走時(shí)的相對(duì)誤差為

2.3 擺鐘走時(shí)快慢的相對(duì)誤差

由此可知不準(zhǔn)確擺鐘走時(shí)的相對(duì)誤差為

(2)

反過來我們可以看出文獻(xiàn)[1]中的錯(cuò)誤出現(xiàn)在源頭的假設(shè)上，實(shí)際上假設(shè)式(1)應(yīng)該由

(3)

替代才能得出正確結(jié)論.

3 例題分析

而對(duì)于文獻(xiàn)[1]中給出的例題來說，其解析過程也是錯(cuò)誤的.

【例1】某擺鐘當(dāng)擺長(zhǎng)調(diào)到30.00 cm時(shí)，12 h內(nèi)慢了150.0 s，試問當(dāng)擺長(zhǎng)調(diào)到29.50 cm時(shí)，在一晝夜內(nèi)擺鐘是快了還是慢了多少時(shí)間？

原文錯(cuò)解：已知

由擺長(zhǎng)調(diào)整公式可得

當(dāng)擺長(zhǎng)為29.50 cm時(shí)，由同一公式求出

由于k′是負(fù)值，故可知擺鐘又走快了，由

Δt′=k′t′=0.004 9×86 400 s≈

423.4 s≈7.06 min

正確解析：由式(2)可得

因此

l準(zhǔn)=30.00×(1-0.003 5)2cm≈29.79 cm

當(dāng)擺長(zhǎng)為29.50 cm時(shí)，根據(jù)

即可解得

86 400×0.004 9 s≈423.4 s≈7.06 min

【例2】如果擺長(zhǎng)為l1的擺鐘在一段時(shí)間里快了n秒，擺長(zhǎng)為l2的擺鐘在相同時(shí)間里慢了n秒，則準(zhǔn)確擺鐘的擺長(zhǎng)應(yīng)為多少？

典型錯(cuò)解：根據(jù)

對(duì)于走時(shí)慢的鐘有

即

(4)

對(duì)于走時(shí)快的鐘有

即

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)即可解得

正確解析：根據(jù)式(2)，對(duì)于走時(shí)慢的鐘有

即

(6)

對(duì)于走時(shí)快的鐘有

即

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)即可解得

4 結(jié)束語(yǔ)

1 查?？担?dāng)[鐘問題的計(jì)算公式．物理教師，2004(4):54～55

2016-03-20)