粗糙結(jié)合面法向接觸的能量耗散與阻尼特性研究

王慶朋， 張 力， 唐志剛， 羅求順

(重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院，重慶 400044)

粗糙結(jié)合面法向接觸的能量耗散與阻尼特性研究

王慶朋， 張 力， 唐志剛， 羅求順

(重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院，重慶 400044)

為了能夠預(yù)測(cè)粗糙結(jié)合面法向接觸的能量耗散和阻尼的變化規(guī)律，在Hertz和Abbott-Firestone經(jīng)典接觸模型的基礎(chǔ)上，提出了一種加載-卸載混合彈塑性接觸模型。首先，研究單個(gè)微凸體在完全彈性和塑性接觸狀態(tài)下的受力特性，推導(dǎo)出混合彈塑性狀態(tài)下接觸面積和力的數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)而研究能量變化規(guī)律和接觸阻尼特性。然后，通過(guò)文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并且和完全彈性、塑性狀態(tài)下的接觸模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該模型的有效性。在此基礎(chǔ)上，分析能量耗散和法向接觸阻尼與法向變形量、硬度以及硬度指數(shù)的關(guān)系。結(jié)果表明，結(jié)合面能量耗散隨著法向變形量的增加而變大，而法向接觸阻尼隨之減??；在法向變形量一定時(shí)，接觸阻尼隨著材料硬度的增加而變大，而硬度指數(shù)的影響很小。

粗糙結(jié)合面；混合彈塑性；能量耗散；法向接觸阻尼

在機(jī)械系統(tǒng)中，結(jié)合面起著傳遞運(yùn)動(dòng)、載荷和能量的作用，其接觸狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、摩擦與磨損性能以及裝配可靠性等都有著至關(guān)重要的影響。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)合面的接觸參數(shù)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)分析和理論研究。文獻(xiàn)[1-2]通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得結(jié)合面的法向接觸參數(shù)，結(jié)果表明，法向接觸剛度和阻尼與表面幾何形貌、結(jié)合面的材料、接觸介質(zhì)以及載荷等因素有關(guān)。在計(jì)算模型中主要采用經(jīng)典接觸力學(xué)、分形理論以及有限元方法等。趙宏林等[3]從基本的動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，基于能量守恒原理，推導(dǎo)出單平面結(jié)合部阻尼的表達(dá)式。張學(xué)良等[4-5]基于接觸力學(xué)理論和分形理論推導(dǎo)出結(jié)合面法向損耗因子和接觸阻尼的計(jì)算模型。邵毅敏等[6-7]采用有限元方法對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的非連續(xù)粗糙單一和多界面的接觸變形和能量損耗特性進(jìn)行了研究。

在已有文獻(xiàn)中，微凸體的變形機(jī)制主要有完全彈性、完全塑性和彈性-混合彈塑性-塑性等，但是，對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)表面輪廓，由于其具有非平穩(wěn)隨機(jī)性、自相似性和多重尺度特性，這就造成兩表面在初始接觸時(shí)，已經(jīng)有更小尺度的微凸體發(fā)生了塑性變形，只是所占的比重很?。浑S著法向載荷的增加，微凸體內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)將會(huì)發(fā)生再分配，當(dāng)變形量足夠大時(shí)，幾乎呈現(xiàn)為完全塑性變形，同時(shí)，部分材料會(huì)表現(xiàn)出應(yīng)變硬化的現(xiàn)象。除此之外，從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)考慮，未包含卸載過(guò)程的接觸模型是不完整的。鑒于此，為了更加真實(shí)地反映實(shí)際微凸體的接觸狀態(tài)，基于一種加載-卸載混合彈塑性機(jī)制的接觸模型，研究法向能量耗散和接觸阻尼與法向變形量、材料硬度以及硬度指數(shù)的關(guān)系。

1 模型的建立

1.1 模型假設(shè)

本文模型的建立是基于以下幾個(gè)假設(shè)條件：

(1)接觸物體的材料是各向同性的；

(2)兩球體在法向正接觸；

(3)忽略球體在變形過(guò)程中的摩擦力；

(4)不考慮相鄰球體之間的耦合作用；

(5)不考慮溫度和介質(zhì)等因素的影響。

根據(jù)GW模型的建模方法[8]，接觸物體的參數(shù)為彈性模量Ei、泊松比νi和接觸半徑ri(i=1,2)，兩球體接觸可以視為一等效球體和一剛性平面的接觸，如圖1所示。等效彈性模量和等效半徑的計(jì)算如下所示：

(1)

(2)

圖1 粗糙表面接觸模型及其等效模型Fig.1 Contact model of rough surfaces and its equivalent model

1.2 完全彈性接觸

根據(jù)HERTZ接觸理論[9]，TATARA等[10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此理論在小變形量時(shí)的正確性，球體的實(shí)際接觸面積Ae和平均接觸力Fe為

Ae=πrδ

(3)

(4)

式中，δ為法向變形量。

對(duì)式(4)關(guān)于法向變形量δ進(jìn)行求導(dǎo)，可得法向接觸剛度

(5)

于是，完全彈性狀態(tài)下的法向接觸剛度為

Ke=2Er1/2δ1/2

(6)

通過(guò)材料的布氏硬度計(jì)算出初始屈服點(diǎn)接觸壓應(yīng)力

py=CH

(7)

式中：C是常量，H為材料的布氏硬度，在計(jì)算過(guò)程中取較軟材料的硬度。

由式(3)、(4)和(7)可計(jì)算出初始屈服點(diǎn)的法向變形量

(8)

對(duì)應(yīng)的法向接觸剛度為

(9)

1.3 完全塑性接觸

對(duì)于完全塑性屈服點(diǎn)的計(jì)算，TABOR[11]在研究材料的硬度時(shí)，發(fā)現(xiàn)

(10)

式中

σy=min[σy1,σy2]

(11)

式中σy1、σy2分別為兩接觸物體材料的屈服強(qiáng)度；

p0=Hg106

(12)

式中g(shù)為重力加速度，這是為了將布氏硬度的單位kgf/mm2轉(zhuǎn)化為應(yīng)力的單位Pa。

完全塑性狀態(tài)下的接觸面積和接觸力[12]為

Ap=2πrδ

(13)

Fp=2πrδp0

(14)

根據(jù)式(5)和(14)，可得完全塑性狀態(tài)下的法向接觸剛度為

Kp=2πrp0

(15)

1.4 混合彈塑性接觸

工程表面輪廓具有非平穩(wěn)隨機(jī)性、自相似性和多重尺度特性，其等效曲率半徑是通過(guò)擬合得到的一條光滑曲線，如圖1所示，與原始表面輪廓的處處連續(xù)但不可導(dǎo)的特性有很大不同。當(dāng)實(shí)際微凸體發(fā)生初始接觸時(shí)，已經(jīng)有更小尺度的微凸體發(fā)生了塑性變形，這時(shí)等效球體中應(yīng)該既存在彈性接觸也存在塑性接觸。隨著變形量的增加，彈性變形量比重逐漸減少，而塑性變形量比重隨之增多。當(dāng)變形量足夠大時(shí)，在宏觀上表現(xiàn)為塑性變形，實(shí)際的表面上總有一些相對(duì)較小的微凸體處于初始接觸狀態(tài)，也就是說(shuō)，在塑性變形階段同樣存在彈性變形，同時(shí)，材料會(huì)表現(xiàn)出應(yīng)變硬化的現(xiàn)象。此外，在宏觀初始屈服臨界點(diǎn)和完全塑性屈服點(diǎn)，接觸面積和接觸壓力應(yīng)該連續(xù)和光滑，并且單調(diào)增加，不應(yīng)有突變。

為了表征微凸體中彈性和塑性狀態(tài)所占比例的變化，通過(guò)對(duì)比分析常見(jiàn)的數(shù)學(xué)函數(shù)，如多項(xiàng)式、指數(shù)與對(duì)數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)以及雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)等曲線的特點(diǎn)，最后選擇了反正切函數(shù)，構(gòu)造一組函數(shù)：

(16)

式中，n為Meyer硬度指數(shù)。

通過(guò)反正切函數(shù)的性質(zhì)可知，這兩個(gè)函數(shù)滿足連續(xù)性、光滑性和單調(diào)性，并且各自有兩條漸近線，第一條對(duì)應(yīng)較小變形量下的接觸狀態(tài)，分別出現(xiàn)快速的下降和上升；第二條對(duì)應(yīng)較大變形量下的接觸狀態(tài)，兩曲線均趨于水平；在初始屈服點(diǎn)附近，曲線發(fā)生急劇變化。這樣，這兩個(gè)函數(shù)可分別表示接觸球體內(nèi)部彈塑性狀態(tài)的變化。

由以上分析可導(dǎo)出等效球體的接觸面積和接觸力

A=f1(δ)·(πrδ)+f2(δ)·(2πrδ)

(17)

(18)

1.5 卸載過(guò)程

在卸載過(guò)程中，文獻(xiàn)[13-15]均將其視為彈性過(guò)程，并且不存在反向屈服現(xiàn)象，在完全彈性和完全塑性變形機(jī)制下，均有

(19)

式中，rd為變化的曲率半徑；δr為殘余變形量。

為了表征rd和δr這兩個(gè)變量，BRAKE[14-15]通過(guò)加載過(guò)程中的最大變形量δm和最大受力Fm，得到

(20)

(21)

1.6 能量耗散與法向接觸阻尼

在加載過(guò)程中，通過(guò)對(duì)結(jié)合面做功，從而使結(jié)合面處的變形體獲得能量，卸載時(shí)，由于塑性變形的影響，使得結(jié)合面處的能量一部分消耗于變形體的彈性恢復(fù)，另一部分轉(zhuǎn)化為材料內(nèi)部組織的移動(dòng)和熱能，使得結(jié)合面處表現(xiàn)出遲滯特性。在加載和卸載過(guò)程中，得到相應(yīng)的接觸力-法向變形量曲線，曲線形成封閉區(qū)域的面積即為結(jié)合面上耗散的能量。

完全彈性接觸狀態(tài)下儲(chǔ)存的能量為

(22)

完全塑性接觸狀態(tài)下耗散的能量為

(23)

對(duì)于混合彈塑性接觸狀態(tài)下耗散的能量為

(24)

對(duì)于實(shí)際中結(jié)合面處的阻尼損耗因子

(25)

假設(shè)球體材料的質(zhì)量為m，同時(shí)，忽略完全塑性狀態(tài)下的法向接觸剛度，則臨界阻尼系數(shù)為

(26)

根據(jù)阻尼損耗因子和阻尼比之間的關(guān)系

η=2cn/c0

(27)

由式(25)和(27)，可得

(28)

于是，可得到單位質(zhì)量量綱一的法向接觸阻尼

(29)

2 模型的驗(yàn)證

2.1 模型的無(wú)量綱化

為了便于本文模型的驗(yàn)證，有必要進(jìn)行量綱一化，將模型中的變形量、接觸面積和加載、卸載時(shí)的接觸力，分別用初始屈服點(diǎn)處相應(yīng)的變量進(jìn)行量綱一化。量綱一化后的方程為

(30)

(31)

(32)

式中，δ*為量綱一的變形量。

由于本文模型存在著不確定因素:①C的取值，即初始屈服應(yīng)力和硬度的關(guān)系，有關(guān)C的取值[15]，TABOR等取為0.4，CHANG等取為0.6，KOGUT取為0.577，本文模型計(jì)算中C取為0.6；② 兩接觸物體之間的作用方式，法向正接觸和側(cè)接觸的結(jié)果肯定是有差別的；③ 在壓縮過(guò)程中，如果兩個(gè)彈性特性不同的物體接觸，由于兩個(gè)物體的橫向膨脹，會(huì)存在相對(duì)位移，這就產(chǎn)生了摩擦力。此外，根據(jù)TABOR的觀點(diǎn)[11]，摩擦因數(shù)也不是一成不變的；④ 微凸體之間的相互作用，楊楠等[16]利用有限元方法對(duì)多粗糙峰進(jìn)行了彈塑性接觸分析，發(fā)現(xiàn)中心接觸區(qū)的變形受到一定數(shù)目臨近粗糙峰的影響。除此之外，還有實(shí)驗(yàn)環(huán)境和測(cè)試過(guò)程所帶來(lái)的不確定性，需對(duì)f1(δ)和f2(δ)進(jìn)行略微的修正，修正系數(shù)的范圍為1±0.05，在以下的單個(gè)球體模型驗(yàn)證中，均將f2(δ)乘以1.047。

2.2 模型的對(duì)比

為了驗(yàn)證本文模型的有效性，采用文獻(xiàn)[17]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，JAMARI等通過(guò)金剛砂平板分別對(duì)鋁合金球和銅球進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)，測(cè)試試件的幾何和材料數(shù)據(jù)如表1所示。由于該實(shí)驗(yàn)未分析壓縮球的卸載過(guò)程，為了補(bǔ)充卸載過(guò)程中壓縮球的受力特性，分別對(duì)兩種不同材料的壓縮球進(jìn)行等間隔卸載。將本文模型和完全彈性、完全塑性模型進(jìn)行對(duì)比，如圖2所示。從圖中可以看出，對(duì)于鋁合金球和銅球的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文模型均表現(xiàn)出較好的吻合度，其中，鋁合金材料結(jié)果的平均誤差為6.2%，單點(diǎn)最大誤差為14%；銅材料結(jié)果的平均誤差為3.9%，單點(diǎn)最大誤差為11.5%。

對(duì)于較大的法向變形量，完全彈性狀態(tài)的接觸力要比完全塑性狀態(tài)的大得多，而本文模型要比完全塑性狀態(tài)的略小一些，這主要是由于變形過(guò)程中的應(yīng)變硬化使接觸面積減小而造成的。

表1 JAMARI等所做實(shí)驗(yàn)中測(cè)試試件的參數(shù)

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 能量耗散特性

以文獻(xiàn)[17]中的鋁合金材料為研究對(duì)象，不同接觸狀態(tài)下的能量隨著法向變形量的變化，如圖3所示。從圖中可知，能量是和接觸力對(duì)應(yīng)的，隨著法向變形量的增加，完全彈性狀態(tài)儲(chǔ)存的能量和完全塑性狀態(tài)所耗散的能量均出現(xiàn)上升，但前者的增幅要大于后者，而實(shí)際接觸中對(duì)應(yīng)的能量要比完全塑性狀態(tài)的略小一些。

圖2 接觸力-法向變形量曲線Fig．2Thecurvesofnormaldisplacementversuscontactforce圖3 能量變化的曲線Fig．3Thecurvesofenergyvariation

3.2 法向接觸阻尼特性

從式(28)可以看出，法向接觸阻尼與阻尼損耗因子、接觸基體材料的質(zhì)量以及法向接觸剛度有關(guān)，由式(6)和(27)可計(jì)算出法向接觸剛度和阻尼損耗因子，如圖4所示。由圖可以看出，隨著法向變形量的增加，阻尼損耗因子單調(diào)減小，而法向接觸剛度單調(diào)增加，并且，兩條曲線的變化率均表現(xiàn)為逐漸減緩。

圖4 法向接觸剛度和阻尼損耗因子曲線Fig.4 The curves of normal contact stiffness and damping loss factor

圖5是不同硬度條件下法向接觸阻尼和法向變形量的關(guān)系，H分別為10、15、20、26和30 kgf/mm2，從圖中可以看出，法向接觸阻尼隨著法向變形量的增加而減小，與阻尼損耗因子的變化趨勢(shì)一致；在法向變形量一定時(shí)，法向接觸阻尼隨著硬度的增加而變大，從式(14)可知，完全塑性狀態(tài)下接觸載荷是和材料硬度成正比例的，也就是說(shuō)，完全塑性狀態(tài)下的接觸載荷隨著硬度的增加而變大，這將消耗更多的能量，與之對(duì)應(yīng)的法向接觸阻尼變大。此外，通過(guò)計(jì)算分析，硬度指數(shù)n對(duì)法向接觸阻尼的影響很小。

圖5 硬度對(duì)法向接觸阻尼的影響Fig.5 The effects of material hardness on normal contact damping

4 結(jié) 論

(1)根據(jù)微凸體變化的連續(xù)性、單調(diào)性和光滑性原理提出了一種加載-卸載混合彈塑性接觸模型，本文模型能夠較好地和文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合，用來(lái)計(jì)算能量耗散和法向接觸阻尼是可行的。

(2)完全彈性狀態(tài)儲(chǔ)存的能量和完全塑性狀態(tài)所耗散的能量隨著法向變形量的增加均出現(xiàn)上升，但前者的增幅要大于后者，而實(shí)際接觸中對(duì)應(yīng)的能量要比完全塑性狀態(tài)的略小一些。

(3)法向接觸阻尼隨著法向變形量的增加而減??；在法向變形量一定時(shí)，法向接觸阻尼隨著硬度的增加而變大；硬度指數(shù)對(duì)法向接觸阻尼的影響很小。

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Energy dissipation and damping characteristics analysis on the normal contacts of rough joint surfaces

WANG Qingpeng, ZHANG Li, TANG Zhigang, LUO Qiushun

(College of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Based on the Hertz and Abbott-Firestone contact models, a mixed elastic-plastic model for two rough surfaces subjected to loading and unloading was developed to predict their energy dissipation and normal contact damping. The math models of contact area and force in the mixed elastic-plastic contact mode were derived using the theory of single asperity deformed elastically and plastically, and then the energy variation and contact damping characteristics were further investigated. Subsequently, the proposed model was validated through experimental results reported in the literature, and compared with the purely elastic and purely plastic contact models. On this basis, the energy dissipation and normal contact damping were studied under the conditions of different normal displacement, hardness of material, and hardness exponent. The results reveal that the energy dissipation increases with the increase of normal displacement, but the normal contact damping decreases. The normal contact damping increases as a result of the increase of hardness of material, and it changes slightly along with the change of hardness exponent at given normal displacement.

rough joint surfaces; mixed elastic-plastic model; energy dissipation; normal contact damping

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175530)

2015-08-28 修改稿收到日期：2016-01-05

王慶朋 男，博士生，1987年1月生

張力 男，教授，博士生導(dǎo)師，1968年10月生 E-mail:zhangli20@cqu.edu.cn

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.021