基于Hertz理論的泥石流大塊石沖擊力修正計算

陳 劍，王全才，陳穎騏，李 俊

(1.山地災害與地表過程重點實驗室(中國科學院)，成都610041； 2.中國科學院水利部成都山地災害與環(huán)境研究所，成都610041；3.中國科學院大學，北京100049)

基于Hertz理論的泥石流大塊石沖擊力修正計算

陳 劍1,2,3，王全才1,2，陳穎騏1,2,3，李 俊1,2,3

(1.山地災害與地表過程重點實驗室(中國科學院)，成都610041； 2.中國科學院水利部成都山地災害與環(huán)境研究所，成都610041；3.中國科學院大學，北京100049)

為合理確定泥石流塊石對構筑物的沖擊力，以Hertz接觸理論和結構力學為基礎，建立泥石流大塊石對橋梁的沖擊模型，量化沖擊系統(tǒng)中對象的材料特性、相對尺寸大小及結構變位對沖擊力的影響，導出泥石流大塊石沖擊力修正計算公式.結果表明：材料修正系數(shù)在0.20～0.45之間，其值與材料屈服強度Y成正比，與沖擊系統(tǒng)的等效模量E呈反相關關系；球徑比修正系數(shù)隨構筑物尺寸的增大先迅速增大而后平穩(wěn)增長；結構變位修正系數(shù)受墩頂約束及沖擊位置雙重影響.將提出的計算方法應用于登基溝泥石流大塊石對橋墩的沖擊力計算，結果僅為Hertz彈性碰撞理論的6.7%，沖擊力-沖擊速度關系曲線平緩，與工程實踐估值結果基本一致.

泥石流；大塊石沖擊力；Hertz接觸力學；結構變位；修正因子

泥石流是我國最主要的地質(zhì)災害之一，修建在泥石流高發(fā)區(qū)的鐵路和公路橋梁，在建設運營過程中都面臨艱巨的泥石流防治任務[1-2].泥石流對橋梁的危害方式主要包括沖擊、沖刷和淤埋，尤以大塊石對橋梁的沖擊力最為顯著[3-4].實踐表明，許多橋梁被泥石流毀壞多與泥石流大塊石對橋墩的沖擊破壞有關[5].因此，有關泥石流大塊石的沖擊力計算成為泥石流災害防治研究的熱點.目前，國內(nèi)外計算泥石流大塊石沖擊力的主要方法較多.如章書成[6]以結構力學為基礎，將柱型構筑物簡化為懸臂梁、簡支梁模型來計算泥石流大塊石作用于梳子壩支墩、橋梁等柱型結構上的沖擊力.工程實踐表明，此法計算結果比估計的承載力大[7].Thornton[8]視泥石流塊石與構筑物分別為剛性體和塑性體來計算泥石流塊石對構筑物的沖擊力，其適用于強度較低的構筑物被沖擊的情況[3].Yamaguchi[9]、Mizuyama[10]、Braccesi等[11]和黃宏斌等[12]以Hertz彈性碰撞理論為基礎，采用修正系數(shù)的方法來綜合考慮系統(tǒng)材料、沖擊過程中摩擦、斷裂等因素對沖擊力的綜合影響.這種基于Hertz理論進行修正的方法是目前國內(nèi)外計算泥石流大塊石沖擊力的主流方法之一.但其最大的不足是修正系數(shù)力學意義模糊，一般通過工程經(jīng)驗或?qū)嶒灤_定，具有主觀性強、成本高昂或耗時周期長等缺點.

本文針對泥石流中大塊石對橋墩的沖擊這一具體形式進行研究.以Hertz碰撞理論為基礎，根據(jù)沖擊系統(tǒng)中對象的材料特性、沖擊物體的相對大小及結構變位對沖擊力進行修正，其考慮因素全面，理論依據(jù)充分，參數(shù)明確，使用方便，可為泥石流多發(fā)區(qū)的橋梁設計及防護提供可信的計算方法.

1 Hertz碰撞理論

Hertz在假設兩球接觸面半徑為a的圓的前提下，給出了兩個球體在壓力P作用下的完備解，并給出了碰撞時的沖擊力公式(1)、(2) (圖1)[13].

圖1 Hertz彈性碰撞模型Fig.1 Elastic collision model of Hertz

接觸壓力P(r)分布公式為

(1)

兩球碰撞時的沖擊力

(2)

根據(jù)牛頓第二定律，則有

(3)

由式(2)、(3)得

(4)

對式(4)進行積分，則彈性碰撞力

(5)

2 模型的建立

橋墩截面形狀一般為圓形、方形及其復合形狀，墩底置于足夠深度的位置，目前大多將其簡化為懸臂梁結構和簡支梁結構.實際上，橋墩結構不是純粹的懸臂結構，更不是簡支結構.工程實踐中應合理地考慮上部橋梁對墩頂?shù)募s束作用.因而橋墩結構應為墩底為固定支座，墩頂為定向支座的一種復合約束結構.在塊石沖擊力作用下，由于橋梁與墩頂之間的摩擦力對墩頂?shù)募s束從而保證墩頂不發(fā)生位移時，按照橋墩兩端為固定支座考慮；當沖擊力足夠大時，橋墩可往一個方向產(chǎn)生一定的位移，此時橋墩結構為墩底為固定支座、墩頂為定向支座外加恒定摩擦反力G·f作用的復合結構，其中G為橋梁上部結構作用在墩頂?shù)闹亓?，f為支座的動摩擦系數(shù).

將大塊石簡化為均勻球體，以速度V撞擊橋墩，撞擊位置位于li處；橋墩截面為圓形，總長l.可以建立如圖2所示的泥石流大塊石沖擊計算模型.

圖2 泥石流大塊石沖擊橋墩模型Fig.2 Impact model of boulder on piers in debris flow

3 沖擊力公式的修正

目前基于Hertz碰撞理論的沖擊力計算公式中，推導出的絕大多數(shù)沖擊力公式是基于球體的應力應變關系為彈性碰撞這一假設條件得來，而實踐中大多數(shù)工程材料為應力應變關系較復雜的彈塑性體，直接使用Hertz彈性碰撞的沖擊力公式所計算出的結果必然偏大；大多數(shù)公式只考慮沖擊物體的大小對沖擊力的影響，事實上，被沖擊物的大小也是影響沖擊力大小的關鍵所在；物體碰撞過程中，被撞物體均有不同程度的變形，從能量守恒的觀點來看，物體的被撞擊位置不同，其變形程度也不同，從而相應的沖擊力也一定不同.本文基于以上3個方面，量化沖擊系統(tǒng)中對象的材料性質(zhì)、相對尺寸大小及構筑物的結構變位對沖擊力的影響，最終導出泥石流中大塊石對橋梁沖擊力大小的計算公式.

當被沖擊物的半徑R2和質(zhì)量m2均趨于無窮大，即R2=∞，m2=∞時，由式(1)和(5)中等效質(zhì)量和等效半徑表達式可得R=R1，m=m1，由此導出沖擊力計算公式為

(6)

式中ρ為沖擊物體的密度.

式(6)僅適用于碰撞系統(tǒng)材料性質(zhì)為彈性、被撞擊物體尺寸為無窮大及忽略被撞擊物結構變位的情況，因此，在工程實踐中，直接應用式(6)計算出的沖擊力勢必會與實際值有較大差別.為此，引入相應的修正系數(shù)來考慮碰撞過程中系統(tǒng)對象的材料性質(zhì)、相對尺寸大小和結構變位對沖擊力的影響，則實際沖擊力計算公式如下：

(7)

式中kc=kc1kc2kc3為綜合修正系數(shù)，其中kc1，kc2，kc3分別為沖擊系統(tǒng)的材料修正系數(shù)、球徑比(R2/R1)修正系數(shù)和結構變位修正系數(shù).

可以看出，式(6)與式(7)中沖擊物速度的冪次方不同，這主要是本文將名義材料修正系數(shù)中的速度分項合并到?jīng)_擊力計算公式，方便單獨量化材料性質(zhì)對沖擊力的影響所致，具體見修正系數(shù)kc1，kc2，kc3的推導過程.

3.1 材料修正系數(shù)kc1

國內(nèi)外學者發(fā)現(xiàn)，基于Hertz接觸力學所提出的沖擊力計算公式中，其計算結果往往比實際觀測結果大1～2個數(shù)量級[14]，這是由于實際工程材料與Hertz接觸力學假定的彈性材料在力學效應上存在顯著區(qū)別.何思明等以Hertz碰撞理論、Thornton接觸力學模型和牛頓第二定律，推導出被撞結構為無窮大時的最大壓縮量和沖擊力計算公式[15]為

(8)

(9)

式中：θ為沖擊角度，ap為構筑物塑性區(qū)半徑，Py為接觸屈服壓應力.

可以看出，基于Hertz接觸力學推導的沖擊力計算公式(6)和(9)僅在碰撞系統(tǒng)的材料上有區(qū)別.因此，可根據(jù)式(6)、(9)推導出材料修正系數(shù)kc1.

根據(jù)Hertz接觸力學理論和Thornton接觸力學模型，存在如式(10)、(11)[16]的關系：

(10)

πRPy=2Eay.

(11)

式中ay為初始屈服對應的接觸面半徑.

假設沖擊過程中被沖擊構筑物材料滿足Mises屈服準則[17]，則初始屈服應力服從式(12)的關系：

Py=(1.234+1.256μ)Y.

(12)

式中Y為接觸材料的屈服強度.

綜合式(1)、(8)～(12)，可推導出考慮沖擊作用為正碰，被沖擊結構材料為彈塑性材料時的沖擊力公式：

(13)

文獻[15]的研究結果表明，塊石與混凝土組成的沖擊系統(tǒng)的臨塑沖擊速度很小，實踐中泥石流速度一般都會超過臨界速度，其勢必在接觸面上形成大范圍的塑性變形區(qū)，此時材料初始屈服半徑較塑性區(qū)半徑至少小一個數(shù)量級，因此，名義材料修正系數(shù)為

(14)

實際材料修正系數(shù)只考慮材料對沖擊力的影響，因此，將名義材料修正系數(shù)中的速度分項合并到式(6)中的速度分項，得出實際沖擊力計算式(7)中最終的材料修正系數(shù)為

(15)

3.2 球徑比修正系數(shù)kc2

由上述可知，沖擊系統(tǒng)最大壓縮量、塑性區(qū)半徑與等效半徑R分別呈反相關、正相關關系，而等效半徑R隨被沖擊物半徑的增長而增加，進而表明了沖擊力大小與被沖擊物尺寸大小有關.

為量化被沖擊物尺寸對沖擊力的影響，定義球徑比為n1=R2/R1，其中R1、R2是沖擊物和被沖擊物的代表半徑.以被沖擊物代表半徑為無窮大作基準，則根據(jù)式(5)，可求出不同球徑比下沖擊力與被沖擊物為半無限空間體時沖擊力的比值Fen/Fe∞，其中Fen和Fe∞分別為不同球徑比下的沖擊力和被撞結構代表半徑為無窮大的沖擊力.則球徑比修正系數(shù)kc2最終表達式如下：

(16)

3.3 結構變位修正系數(shù)kc3

混凝土橋墩在不同大塊石沖擊力作用下，墩頂將會出現(xiàn)不同的變形響應.當沖擊力在墩頂產(chǎn)生的附加力小于橋梁上部結構與墩頂?shù)淖畲竽Σ亮r，墩頂將保持不動，此時橋梁結構視為兩端固定的力學模型；當沖擊力足夠大時，墩頂產(chǎn)生一定量沿沖擊方向的位移時，橋梁結構視為墩底為固定支座、墩頂為定向支座附加恒定動摩擦力的力學模型.

根據(jù)機械能守恒定律，沖擊過程中將動能轉化成橋墩的應變能，則由結構力學可推導出橋墩應變能公式：

墩頂無位移時

(17)

墩頂有位移時，令Gf=n2F，考慮到上部橋梁的自重、支座設計摩擦系數(shù)及大塊石沖擊荷載，一般情況下n2≤0.2[18]，則有

(18)

沖擊過程中，沖擊在離固定端越近的位置其相應的沖擊力越大.泥石流沖擊橋墩時，其離墩底最近的沖擊位置為R處，以此位置沖擊力為基準，令沖擊力結構變位修正系數(shù)kc3=Fi/FR，則有：

墩頂無位移時

(19)

墩頂有位移時

(20)

沖擊修正系數(shù)kc3表達式的選擇，需先經(jīng)試算后再確定.首先假設在墩頂無位移的情況下求得相應的沖擊力，此時橋墩兩端為固定支座，可求出橋梁上部固定端的剪力.其次將橋梁上部固定端的剪力和摩擦反力比較，當上部固定端的剪力小于摩擦反力，即F(l-li)2(l+2li)/l3

4 算例與分析

為驗證本文方法的合理性，以汶川縣登基溝處橋梁受泥石流大塊石沖擊力計算予以說明.汶川縣登基溝泥石流溝所攜帶大塊石為花崗巖，溝口橋墩采用C35鋼筋混凝土澆筑而成.根據(jù)登基溝泥石流觀測數(shù)據(jù)，取泥石流大塊石速度為4.6 m/s研究泥石流大塊石對橋墩的沖擊力，其余影響塊石與橋墩沖擊力的相關計算參數(shù)見表1、2.

代入計算參數(shù)，可以求得kc1=0.262，kc2=0.633，kc3=0.401，kc=0.067，最大沖擊力F=2 280.230 kN.如直接采用Hertz彈性理論進行計算，其理論沖擊力F′=34 033.284 kN，遠大于目前國內(nèi)外通過現(xiàn)場觀察所得的經(jīng)驗估計值[11-12].本例計算結果表明，在大塊石沖擊墩柱一類的沖擊力計算中，系統(tǒng)材料和剛度對沖擊力計算結果影響顯著，綜合考慮沖擊系統(tǒng)特性計算出的沖擊力僅為Hertz彈性理論計算結果的6.7%，所得計算沖擊力更貼近實際情況，表3為典型泥石流塊石沖擊災害過程中沖擊力預估值與Hertz理論計算值比較.

表1 塊石相關計算參數(shù)Tab.1 Relevant calculation parameters of boulders

表2 橋墩相關計算參數(shù)Tab.2 Relevant calculation parameters of piers

表3 沖擊力預估值與Hertz理論值[14]

Tab.3 Comparison between empirical estimates and theoretical values of Hertz[14]

典型災害實例預估值F1/MN理論值F2/MNF1/F2蔣家溝泥石流1.3123.20.011達德溝泥石流28.8787.60.037東川泥石流28.63413.00.010

此外，以大塊石速度為變量繪制了登基溝泥石流大塊石沖擊力隨大塊石沖擊速度關系曲線，由圖3可以看出,基于彈性材料的Hertz理論計算出的沖擊力隨沖擊速度的增加而急劇增大，而本文的沖擊力計算隨速度的增加而增長較為平緩，這主要是由于計算采用的沖擊系統(tǒng)材料為典型的彈塑性材料；與Mizuyama[10]和Yamaguchi[9]公式計算結果相比，本文沖擊力計算結果偏小，主要是由于本文提出的計算公式綜合考慮了沖擊系統(tǒng)的材料及剛度特性.

圖3 泥石流塊石沖擊力與沖擊速度關系曲線

Fig.3 Relationship between impact force and boulder velocity in debris flow

由式(15)可知，沖擊系統(tǒng)材料確定，沖擊力計算中的材料修正系數(shù)隨之確定.由于泥石流中常見塊石彈性模量為10.5～135.5 GPa，泊松比為0.10～0.35；工程中常用混凝土彈性模量為22.0～32.5 GPa，泊松比為0.18～0.20.根據(jù)式(1)中等效模量表達式，可得等效模量為8.3～30.8 GPa.結合式(15)進行計算，繪制材料修正系數(shù)與等效模量的關系曲線.由圖4可以看出，材料修正系數(shù)隨等效模量的增加而增加，其值在0.20～0.45.表明隨系統(tǒng)材料等效模量的增加，系統(tǒng)彈性沖擊特性愈加明顯.

圖4 材料修正系數(shù)與等效模量關系曲線

Fig.4 Relationship between material correction coefficient and equivalent modulus

由式(16)及圖5可知，球徑比修正系數(shù)隨球徑比的增大而增加.計算表明n1=2時，kc2=0.859；n1=5時，kc2=0.960；n1=10時，kc2=0.981.可以看出，當0≤n1<2時，球徑比修正系數(shù)增長顯著；當2≤n1<5時，球徑比修正系數(shù)增長相對緩慢；當5≤n1<10時，球徑比修正系數(shù)增長變化不大；當n1≥10時，球徑比修正系數(shù)基本穩(wěn)定.表明當被沖擊結構代表尺寸較小時，應重視構筑物尺寸對沖擊力的影響.當其代表尺寸增加到一定程度時，可不再考慮構筑物尺寸大小對沖擊力的折減效應.

圖5 球徑比修正系數(shù)與球徑比關系曲線

Fig.5 Relationship between correction coefficient of ball diameter ratio and diameter ratio

由式(19)、(20)及圖6可知，橋梁墩頂不同的位移方式對沖擊力的影響顯著不同.對于墩頂不發(fā)生位移的情況下，從橋墩底部至橋墩中部其修正系數(shù)逐漸減小，衰減速率逐步降低，在橋墩中部位置時修正系數(shù)達最小值；對于墩頂沿撞擊方向發(fā)生了一定位移的情況下，結構變位修正系數(shù)不僅與沖擊位置有關，也與橋梁上部結構作用于墩頂?shù)哪Σ亮τ嘘P，上部結構提供的摩擦力越大，相應的結構變位修正系數(shù)越大，增長速率逐步降低.在上部結構一定的情況下，結構變位修正系數(shù)自墩底到墩頂?shù)姆较蛳仍龃蠛鬁p小.

圖中固定指墩頂無位移時不同沖擊位置時的修正系數(shù)，其余帶有數(shù)值的圖例指墩頂有位移時，n2分別為0.05、0.10、0.15、0.20時不同沖擊位置的修正系數(shù).

圖6 結構變位修正系數(shù)與沖擊位置關系曲線

Fig.6 Relationship between structure displacement correction coefficient and impact location

5 結 論

1)沖擊系統(tǒng)的材料性質(zhì)、相對尺寸大小及沖擊位置對沖擊力影響顯著，工程設計中應加以考慮.

2)綜合考慮沖擊系統(tǒng)的材料性質(zhì)、相對尺寸大小及構筑物結構變位情況所計算出的最大沖擊力遠小于Hertz彈性碰撞理論所得的沖擊力，更貼近實際情況.

3)本文提出的修正沖擊力計算公式可彌補工程經(jīng)驗和模型試驗方法確定修正參數(shù)主觀性強、離散性大的不足.其嚴格按照力學原理推導，理論依據(jù)充分，參數(shù)明確，修正計算采用顯示解，使用方便，計算結果更為貼近工程預估值，可為泥石流區(qū)地質(zhì)災害設計提供有效參考.

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Amending calculation on impact force of boulders in debris flow based on Hertz theory

CHEN Jian1,2,3, WANG Quancai1,2, CHEN Yingqi1,2,3, LI Jun1,2,3

(1.Key Laboratory of Mountain Hazards and Surface Process (Chinese Academy of Sciences), Chengdu 610041, China;2.Institute of Mountain Hazards and Environment, Chinese Academy of Sciences & Ministry of Water Resources, Chengdu 610041, China; 3.University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Impact model between boulder and pier was built based on the Hertz contact theory and structural mechanics. Three main influence factors of impact force, including the material properties, relative size, and structure displacement were quantized and the modified formula was presented to calculate impact force. It shows that, material correction coefficient ranges from 0.20 to 0.45, which is proportional to material yield strengthYwhile correlated reciprocally with the equivalent modulus of system,E. The correction coefficient of ball diameter ratio exhibits that, along with the increase of structure size, it increases stably after rapid growth. Structure displacement correction coefficient is affected by the constraint condition of pier top and impact location. The practical application of this modifier formula in Dengjigou engineering result is only 6.7% of the calculated value by Hertz elastic collision theory, and according to the outcome that, relation curve between impact force and impact velocity is relatively flat, which performs in accordance with practical estimation.

debris flow;impact force of boulder;Hertz contact mechanics;structure displacement;correction factor

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.02.020

2016-05-15

國家自然科學基金重點項目(41030742)

陳 劍(1988—)，男，博士研究生； 王全才(1959—)，男，研究員，博士生導師

王全才，slopeok@imde.ac.cn

TU45

A

0367-6234(2017)02-0124-06