數(shù)學(xué)課堂觀察的視角：價(jià)值、問(wèn)題與方法
——評(píng)曹偉林老師的“4.1從問(wèn)題到方程”教學(xué)

■錢德春

數(shù)學(xué)課堂觀察的視角：價(jià)值、問(wèn)題與方法
——評(píng)曹偉林老師的“4.1從問(wèn)題到方程”教學(xué)

■錢德春

“教什么”“為什么教”和“怎么教”是課堂教學(xué)永恒的話題，“教什么”即教學(xué)內(nèi)容與問(wèn)題；“為什么教”即教學(xué)價(jià)值；“怎么教”即教學(xué)方法。教者的這節(jié)課以對(duì)教材獨(dú)到的理解、對(duì)學(xué)情充分的把握和教學(xué)過(guò)程的精彩演繹，在“教育價(jià)值”“問(wèn)題解決”“教學(xué)方法”三個(gè)方面給予我們以完美詮釋。

一、教育價(jià)值引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)

裴光亞先生說(shuō)：“教育價(jià)值是教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂。”為什么要安排這一節(jié)課？也就是，本節(jié)課內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值何在？這里通過(guò)表格對(duì)小學(xué)和本節(jié)課“方程”部分內(nèi)容進(jìn)行比較（相同部分省略）：

一是為什么要建立“一元一次方程”概念。所有數(shù)學(xué)概念大多為解決和表達(dá)新問(wèn)題、新現(xiàn)象，或揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)而建立，并隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展不斷優(yōu)化與完善。從表格中發(fā)現(xiàn)：小學(xué)教材的章節(jié)標(biāo)題是“簡(jiǎn)易方程”，給出了最上位的“方程”概念，有“簡(jiǎn)易”就有復(fù)雜，我們?cè)凇敖鉀Q問(wèn)題”中遇到了具體的、更復(fù)雜的方程，這些方程與其他方程如何區(qū)別，又如何表達(dá)，這就有必要出現(xiàn)新的定義。這就是“一元一次方程”概念的教學(xué)價(jià)值，教者通過(guò)教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生有了很好的價(jià)值體驗(yàn)。

二是用方程刻畫現(xiàn)實(shí)世界（即列方程解決問(wèn)題）的能力有何要求。這方面內(nèi)容在小學(xué)已有接觸，用方程解決問(wèn)題的基本路徑是：找相等關(guān)系、用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，這在今后的學(xué)習(xí)中保持不變，那么這里“反復(fù)讓學(xué)生列方程”的價(jià)值何在？我們知道，“找相等關(guān)系列方程”始終是運(yùn)用方程模型解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，從小學(xué)到初中，方程類型不斷增加，分析方法多種多樣，問(wèn)題難度逐步提高。因此，這個(gè)過(guò)程是學(xué)生解決問(wèn)題能力不斷升級(jí)的過(guò)程，也是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，這正是教學(xué)價(jià)值所在。猶如小學(xué)和初中作文都可以寫“有意義的一件事”，能力要求大不一樣?？上驳氖牵航陶呤冀K抓住這個(gè)關(guān)鍵開展教學(xué)活動(dòng)。

三是數(shù)學(xué)思想方法如何滲透。從表中發(fā)現(xiàn)：小學(xué)解方程是用等式的基本性質(zhì)將方程轉(zhuǎn)化為形如“x=a”的形式，初步感知轉(zhuǎn)化思想。本節(jié)課還滲透這樣幾種思想：從“方程”到“一元一次方程”滲透“一般到特殊”的思想；將6個(gè)方程放在一起，通過(guò)分類比較，找出具有共性的幾種方程，從而建立“一元一次方程”概念，滲透了分類與抽象的思想；通過(guò)用方程表示相等關(guān)系解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，讓學(xué)生感受“模型”思想。從課堂來(lái)看，教者做得都非常到位。我們還注意到，教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透是潛移默化、潤(rùn)物無(wú)聲的，而不是貼標(biāo)簽式的。

二、問(wèn)題解決驅(qū)動(dòng)知識(shí)建構(gòu)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：客觀的知識(shí)結(jié)構(gòu)通過(guò)個(gè)體與之交互作用而內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。要實(shí)現(xiàn)這種內(nèi)化，必須了解學(xué)生的已有認(rèn)知水平和通過(guò)努力能夠達(dá)到的認(rèn)知水平。學(xué)生在小學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第一章“簡(jiǎn)易方程”的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)初步了解了方程、方程與等式的區(qū)別、方程的解、解方程的含義、等式的性質(zhì)（加、減、乘、除一個(gè)數(shù)，除數(shù)不為0），能夠列簡(jiǎn)易方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟、如何找數(shù)量關(guān)系等。

教者基于學(xué)生已有認(rèn)知，根據(jù)本節(jié)課知識(shí)、能力要求，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為3個(gè)核心問(wèn)題：一是如何建立一元一次方程概念；二是如何引導(dǎo)學(xué)生用方程模型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并規(guī)范解決問(wèn)題的步驟；三是如何在建構(gòu)知識(shí)的同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想。通過(guò)學(xué)生自主探究和教師趁機(jī)引導(dǎo)，在問(wèn)題解決中建構(gòu)知識(shí)，并將3個(gè)核心問(wèn)題通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境具體化(求年齡問(wèn)題)，進(jìn)而再將問(wèn)題細(xì)化為問(wèn)題鏈，啟發(fā)學(xué)生拾級(jí)而上，逐步深入探究與思考。

三、教學(xué)方法促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

教學(xué)有法，教無(wú)定法。教者來(lái)自處于教改前沿的洋思中學(xué)，他們的“先學(xué)后教”課堂教學(xué)模式聞名遐邇，也引發(fā)不少爭(zhēng)議。從這一節(jié)課來(lái)看，教者充分運(yùn)用了學(xué)習(xí)目標(biāo)領(lǐng)航、學(xué)生自主探究、師生問(wèn)題對(duì)話、教師示范引領(lǐng)等多種教學(xué)形式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?？梢娧笏颊n堂教學(xué)“先學(xué)后教”的內(nèi)涵得到了豐富與發(fā)展。

一是目標(biāo)領(lǐng)航學(xué)習(xí)。任何一節(jié)課都有明確的目標(biāo)，教者在引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突后，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）探索多種實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并能用方程描述；（2）了解一元一次方程的概念。這樣讓學(xué)生學(xué)有方向，習(xí)有目標(biāo)。課堂目標(biāo)分顯性目標(biāo)和隱性目標(biāo)。所謂顯性目標(biāo)，就是呈現(xiàn)給學(xué)生的、讓學(xué)生明白的知識(shí)技能和解決問(wèn)題的能力目標(biāo)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題和任務(wù)學(xué)習(xí)；另一種目標(biāo)是隱性的，那就是思維能力以及情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)，這是教者心里明白的潛在目標(biāo)。

二是探究凸顯主體。學(xué)生是課堂的主體，自主探究活動(dòng)是體現(xiàn)學(xué)生主體地位的重要載體。課堂上，教者擇機(jī)安排多次探究活動(dòng)：通過(guò)對(duì)“天平和方程”問(wèn)題的探究，感受“方程就是表達(dá)數(shù)量關(guān)系的‘天平’”；通過(guò)對(duì)“籃球聯(lián)賽勝負(fù)”提出開放性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，學(xué)生從不同的角度提出不同的問(wèn)題，列出不同的方程，為建立“一元一次方程”概念作鋪墊，進(jìn)一步感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種模型，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的能力。這些教學(xué)活動(dòng)凸顯了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，而教者通過(guò)巡視、質(zhì)疑、啟發(fā)、追問(wèn)等手段，引導(dǎo)學(xué)生探究、思考與交流，充當(dāng)了組織者、引導(dǎo)者與合作者的角色。

三是對(duì)話促進(jìn)理解。在問(wèn)題解決過(guò)程中，通過(guò)師生對(duì)話促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，給筆者留下了深刻的印象。教師捕捉探究活動(dòng)中即時(shí)生成的問(wèn)題作為對(duì)話話題，如：“怎樣描述天平所表示的數(shù)量之間的相等關(guān)系？”“如把你問(wèn)題中的一個(gè)未知量設(shè)為x，可得什么方程？”“這個(gè)相等關(guān)系，信息中哪里給出了提示？”“相等關(guān)系抓的是哪個(gè)關(guān)鍵句？”“12-x是什么意思？”“方程2x+y=20怎么解釋呢？”這一系列問(wèn)題，引發(fā)思維沖突，驅(qū)動(dòng)認(rèn)知發(fā)展，從而在生成的新問(wèn)題中建構(gòu)知識(shí)、滲透思想、發(fā)展能力，這種對(duì)話看似無(wú)意實(shí)則有意，具有生成性、即時(shí)性和發(fā)展性，是一種無(wú)法預(yù)約的精彩，充分顯示了教者獨(dú)到的數(shù)學(xué)理解和深厚的教學(xué)功底。另外，師生對(duì)話的話題具有開放性和民主性。如“請(qǐng)你根據(jù)信息提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題”，這是極具開放性的問(wèn)題，不同的學(xué)生對(duì)問(wèn)題信息可能有不同的理解角度，進(jìn)而提出不同的問(wèn)題，列出不同的方程，這種對(duì)話方式順應(yīng)了學(xué)生的個(gè)性思維與需求。再比如：“老師把時(shí)間交還給你們，由你們自己學(xué)習(xí)探究，好不好？”這種協(xié)商的口吻充滿了民主平等的氛圍，讓學(xué)生以愉悅的心情投入學(xué)習(xí)活動(dòng)。

四是教師示范引領(lǐng)。這是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的過(guò)程。本節(jié)課中，教者善于發(fā)現(xiàn)生成性錯(cuò)誤資源，通過(guò)師生研討，及時(shí)糾錯(cuò)，達(dá)到知識(shí)內(nèi)化的目的。當(dāng)學(xué)生列出方程“2x×x=40”時(shí)，教者啟發(fā)學(xué)生修正為“2x2=40”；當(dāng)回到解決課始時(shí)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，教師通過(guò)板書示范，強(qiáng)調(diào)“找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”的步驟。因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程在小學(xué)是初步感知，學(xué)生的認(rèn)識(shí)是模糊的、膚淺的，本節(jié)課通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，對(duì)解題過(guò)程和步驟初步提出了規(guī)范性、完整性、反思性要求，這在能力要求上更上一層。我們還注意到，這些錯(cuò)誤和問(wèn)題資源不是教者先入為主強(qiáng)加給學(xué)生的，而是在學(xué)習(xí)活動(dòng)中產(chǎn)生的，這樣的糾錯(cuò)和規(guī)范更能讓學(xué)生有緊迫感和切身體驗(yàn)。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)基于“三個(gè)理解”

任何一節(jié)優(yōu)秀課都有值得探討的地方，正因如此，才體現(xiàn)出其應(yīng)有的研究?jī)r(jià)值。概念課如何教學(xué)？章建躍先生提出的“三個(gè)理解”應(yīng)該是教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，也是課堂教學(xué)的歸宿，教學(xué)設(shè)計(jì)就要在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上展開。就本節(jié)課而言，有兩個(gè)要點(diǎn)提出來(lái)與教者商榷。

一是建立新概念的必要性。為什么要建立概念，這是“理解數(shù)學(xué)”的問(wèn)題；學(xué)生有什么困惑，這是“理解學(xué)生”的問(wèn)題。在學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境列出方程后，教者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分類與比較未知數(shù)的個(gè)數(shù)、次數(shù)，從而得到“一元一次方程”概念。那么學(xué)生會(huì)問(wèn)：為什么要建立這個(gè)概念？形式化與結(jié)構(gòu)化是數(shù)學(xué)的基本特征之一。在所列的6個(gè)方程中，方程2x+y=20、x+y=12的解不確定，方程用現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法求解，而其余3個(gè)方程與小學(xué)學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)易方程類似，整理后有統(tǒng)一的特征與結(jié)構(gòu)，為了便于表達(dá)和交流，必須有一個(gè)規(guī)范的標(biāo)準(zhǔn)，我們有必要給其命名。這個(gè)過(guò)程不需花費(fèi)太多時(shí)間，但不可或缺。

二是歸納小結(jié)環(huán)節(jié)的安排。這是“理解教學(xué)”的問(wèn)題。課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要組成部分，教者提出“通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲”的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，但這樣的問(wèn)題有些讓學(xué)生無(wú)所適從。筆者以為：課堂小結(jié)是一節(jié)課的點(diǎn)睛之筆，必須要有明確的指向性，并引導(dǎo)學(xué)生用框圖等方式將知識(shí)、方法、思想結(jié)構(gòu)化（如下圖）。本節(jié)課小結(jié)可提出這樣的問(wèn)題：你學(xué)到了什么知識(shí)？體會(huì)到哪些數(shù)學(xué)思想方法？你還有什么困惑？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)框圖。

（作者為江蘇省泰州市教育局教研室初中數(shù)學(xué)教研員）