三參數(shù)Weibull分布估計(jì)瀝青混凝土疲勞失效研究

黎 曉，梁乃興，程志豪

(1.云南省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院 陸地交通氣象災(zāi)害防治技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，云南 昆明 650041；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

三參數(shù)Weibull分布估計(jì)瀝青混凝土疲勞失效研究

黎 曉1，2，梁乃興2，程志豪1

(1.云南省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院 陸地交通氣象災(zāi)害防治技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，云南 昆明 650041；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

通過間接拉伸疲勞試驗(yàn)分析3種不同瀝青混凝土材料在3種不同溫度條件下疲勞失效特性。采用考慮形狀參數(shù)、位置參數(shù)和尺度參數(shù)的Weibull分布函數(shù)對(duì)不同加載條件下材料疲勞壽命分布特征進(jìn)行估計(jì)，提出了基于位置參數(shù)迭代計(jì)算下的特征參數(shù)估算方法，并給出了50%保證率下的材料疲勞壽命曲線和疲勞方程。研究結(jié)果表明：三參數(shù)Weibull分布函數(shù)可以避免在試驗(yàn)初始階段進(jìn)行疲勞失效概率的不合理估計(jì)，更好地預(yù)估小子樣條件下材料疲勞失效分布；預(yù)估結(jié)果中特征參數(shù)項(xiàng)具有良好的線性相關(guān)性，三參數(shù)Weibull分布能較為清晰地反映出材料不同試驗(yàn)條件下的疲勞失效壽命分布。

道路工程；瀝青混凝土；應(yīng)力控制；三參數(shù)Weibull分布；疲勞失效估計(jì)

瀝青混凝土材料的疲勞性能研究大多關(guān)注通過現(xiàn)象學(xué)方法獲取材料壽命預(yù)估模型本身，對(duì)于試驗(yàn)中獲取的材料疲勞壽命可靠性評(píng)估還未涉及較深入的研究。目前較多文獻(xiàn)中已經(jīng)采用概率統(tǒng)計(jì)方法對(duì)材料疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[1-5]，以獲取具有一定可靠度的壽命估計(jì)結(jié)果。

對(duì)于瀝青混合料這類不均勻性材料，通過室內(nèi)試驗(yàn)評(píng)估其疲勞性能是較為常見的方法。但是由于材料自身強(qiáng)度形成原因復(fù)雜，疲勞性能影響因素也較多，通過室內(nèi)試驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)結(jié)果往往呈現(xiàn)較大的不規(guī)則、離散性[6-10]。即便是溫度、加載應(yīng)力水平或加載頻率等條件完全相同的情況下，試驗(yàn)結(jié)果也極有可能相差10倍或更高。若把相差一個(gè)數(shù)量級(jí)以上的試驗(yàn)結(jié)果采用“平均數(shù)”概念來處理必將導(dǎo)致極大的誤差。所以有必要將瀝青混凝土材料疲勞失效壽命視為隨機(jī)變量用概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行描述。

筆者通過考慮Weibull三參數(shù)分布的瀝青混凝土疲勞失效壽命估計(jì)方法，對(duì)3種典型級(jí)配的瀝青混凝土材料進(jìn)行不同溫度、不同應(yīng)力水平下間接拉伸疲勞試驗(yàn)，對(duì)Weibull分布函數(shù)的位置參數(shù)等特征參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在試驗(yàn)結(jié)果基礎(chǔ)上，獲取3種不同瀝青混凝土材料的疲勞壽命特征分布函數(shù)，提出不同保證率下的材料疲勞壽命曲線及疲勞方程。

1 瀝青混凝土間接拉伸疲勞試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)材料

以AC-13、AC-20和AC-25這3種典型瀝青混凝土材料作為試驗(yàn)對(duì)象，試驗(yàn)中均采用設(shè)計(jì)級(jí)配中值進(jìn)行材料設(shè)計(jì)。

瀝青選用中海70#；集料采用本地產(chǎn)某采石場(chǎng)石灰?guī)r；礦粉選用本地產(chǎn)石灰?guī)r礦粉，經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證各材料性能均滿足相應(yīng)設(shè)計(jì)規(guī)范要求，混合料設(shè)計(jì)級(jí)配見表1。通過馬歇爾試驗(yàn)結(jié)果確定出材料最佳瀝青用量分別為4.8%(AC-13)、4.4%(AC-20)和3.8%(AC-25)，材料設(shè)計(jì)空隙率為4.3%(AC-13)、4.5%(AC-20)和4.7%(AC-25)。

表1 試驗(yàn)瀝青混凝土級(jí)配組成

1.2 試驗(yàn)方案及試驗(yàn)條件

材料疲勞試驗(yàn)采用COOPER公司生產(chǎn)的CRT-NU-14氣動(dòng)伺服材料試驗(yàn)儀完成。該儀器配備的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)能自動(dòng)采集傳感器及位移計(jì)的電測(cè)信號(hào)，測(cè)量范圍在1 μm～3 mm之間。

為分析不同溫度條件下材料疲勞性能，試驗(yàn)采用應(yīng)力控制模式加載，加載波形為半正矢波形荷載，加載頻率10 Hz；根據(jù)不同溫度條件下各級(jí)配的材料劈裂強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果，選取應(yīng)力比0.2～0.6之間各5種試驗(yàn)應(yīng)力水平為加載應(yīng)力強(qiáng)度，每個(gè)應(yīng)力水平下進(jìn)行4次平行試驗(yàn)。試驗(yàn)選定10，20，30 ℃這3種標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)溫度，試驗(yàn)研究中首先采用旋轉(zhuǎn)壓實(shí)方式完成試件制備，試驗(yàn)前所有試件均在溫控箱內(nèi)相應(yīng)試驗(yàn)溫度下保溫4 h。

試驗(yàn)開始后在目標(biāo)應(yīng)力水平下進(jìn)行循環(huán)加載，期間保持0.1 kPa的初始加載應(yīng)力；其過程由計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)自動(dòng)控制，并讀取豎向力傳感器和位移傳感器數(shù)值，并按一定間隔時(shí)間自動(dòng)記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)時(shí)記錄的試驗(yàn)數(shù)據(jù)包括：加載次數(shù)、應(yīng)力值、豎向位移。本次試驗(yàn)中10，20 ℃條件下以試件開裂破壞判定為疲勞失效，30 ℃下以試件豎向變形時(shí)程曲線出現(xiàn)反彎點(diǎn)時(shí)作為疲勞失效判定標(biāo)準(zhǔn)[5]。

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)記錄了3種瀝青混凝土材料不同應(yīng)力水平及溫度條件下疲勞失效作用次數(shù)，由于篇幅所限，表2僅列出AC-13瀝青混凝土材料試驗(yàn)結(jié)果。

表2 AC-13瀝青混合料間接拉伸疲勞試驗(yàn)結(jié)果

2.2 Weibull失效分布函數(shù)

Weibull分布應(yīng)用于瀝青混合料疲勞失效估計(jì)中已經(jīng)被部分研究文獻(xiàn)證明是切實(shí)有效的[11-12]。但目前研究分析所采用的大多是雙參數(shù)Weibull分布，雙參數(shù)Weibull分布是三參數(shù)Weibull分布的一種特例。當(dāng)瀝青混合料試件疲勞失效概率服從三參數(shù)Weibull分布時(shí)，其分布函數(shù)為

(1)

式中：b為形狀參數(shù)；Np為樣本疲勞壽命；Na為特征疲勞壽命；N0為位置參數(shù)，可為簡(jiǎn)化為η=Na-N0，η為尺度參數(shù)；b>0，η>0，N0≥0。

三參數(shù)下Weibull分布的概率密度函數(shù)f(Np)為

(N0≤Np<∞)

(2)

式中：當(dāng)b=1時(shí)，f(Np)為簡(jiǎn)單指數(shù)密度函數(shù)；當(dāng)b=3～4時(shí)，f(Np)近似于正態(tài)分布密度函數(shù)。f(Np)曲線高峰的偏斜程度隨形狀參數(shù)b而變化，并存在大于0的最小值N0。

當(dāng)假設(shè)位置參數(shù)N0=0時(shí)，式(1)～式(2)中分布函數(shù)即退化為雙參數(shù)Weibull分布，以此對(duì)材料疲勞失效分布進(jìn)行估計(jì)時(shí)，疲勞失效壽命是從0開始，不符合實(shí)際試驗(yàn)情況。而利用三參數(shù)Weibull分布估算材料疲勞失效，加入了位置參數(shù)N0，可避免在試驗(yàn)初始加載階段進(jìn)行疲勞失效概率的不合理估計(jì)，能更好地預(yù)估小子樣的材料疲勞失效分布情況。

由式(1)可看出，傳統(tǒng)雙參數(shù)Weibull分布函數(shù)為非多項(xiàng)式函數(shù)，無法直接進(jìn)行參數(shù)擬合，必須采用對(duì)式(1)的兩次對(duì)數(shù)變量轉(zhuǎn)換達(dá)到線性化的目的，如式(3)。

-lnln(1/p)=b[ln(Np-N0)-ln η]

(3)

式中：p=1-F(Np)為存活率。

根據(jù)概率分布理論，作為隨機(jī)變量的破壞率是遵循某一頻率分布的，無論被抽樣母體為何種分布，小子樣中某一樣本xi破壞率的數(shù)學(xué)期望都可以采用“平均秩”作為小樣本母體存活率的估計(jì)量[13]。將每個(gè)應(yīng)力水平下的試件疲勞壽命按從小到大排列，對(duì)應(yīng)第i個(gè)測(cè)定值xi的存活率p估計(jì)量可用式(4)計(jì)算：

(4)

式中：n為同批次樣本總數(shù)。

則式(3)可寫成式(5)：

(5)

對(duì)于三參數(shù)Weibull分布函數(shù)而言，位置參數(shù)N0是個(gè)未知值，從數(shù)值分布上來看其代表了瀝青混凝土材料的最小壽命分布。若仍然采用上述方法直接求解將十分復(fù)雜，因此筆者采用迭代法來計(jì)算三參數(shù)Weibull分布函數(shù)的特征參數(shù)。

假設(shè)位置參數(shù)初始值為N0，根據(jù)式(3)和式(5)的函數(shù)形式可得到初始形狀參數(shù)b1和尺度參數(shù)η1為

(6)

將式(6)代入式(1)，計(jì)算出位置參數(shù)：

(7)

式中：Npi即同一試驗(yàn)條件下第i組材料疲勞失效壽命，每一組疲勞失效壽命對(duì)應(yīng)一個(gè)位置參數(shù)(N0)i，采用每一組迭代計(jì)算后的平均值作為其位置參數(shù)(N0)i。

式(7)可改寫為

(8)

將得到的新的位置參數(shù)(N0)1代入式(3)，計(jì)算出新的形狀參數(shù)b和尺度參數(shù)，并根據(jù)前述計(jì)算過程計(jì)算出該組樣本下新的位置參數(shù)，直至相鄰兩次計(jì)算結(jié)果之差滿足精度要求為止。

2.3 瀝青混凝土疲勞失效壽命估計(jì)

基于上文所述理論編制相應(yīng)程序進(jìn)行不同溫度、不同應(yīng)力水平條件下各組材料壽命分布函數(shù)特征參數(shù)的計(jì)算。篇幅所限，表3為AC-13瀝青混凝土材料三參數(shù)Weibull分布函數(shù)數(shù)值參數(shù)估計(jì)結(jié)果；圖1、圖2為AC-13和AC-20瀝青混凝土在10 ℃溫度條件下的4種應(yīng)力水平下壽命分布特征參數(shù)相關(guān)性結(jié)果。

表3 瀝青混合料疲勞失效分布函數(shù)參數(shù)(AC-13)

圖1 AC-13瀝青混凝土壽命分布特征參數(shù)相關(guān)性Fig.1 The correlation of characteristic parameters of fatigue life distribution function for AC-13 mixture

由圖1、圖2可以看出：-ln(ln1/p)和lg(Ni-N0)呈現(xiàn)顯著的線性相關(guān)。Weibull分布函數(shù)能較為清晰地反映出瀝青混凝土材料的壽命概率分布。并在相應(yīng)試驗(yàn)條件下可由此對(duì)一定保證率下的材料疲勞失效壽命進(jìn)行預(yù)估。

根據(jù)不同試驗(yàn)條件下的材料失效壽命分布函數(shù)，可以獲取相應(yīng)的壽命估計(jì)量，并根據(jù)不同可靠度設(shè)計(jì)需求選擇不同保證率下的材料疲勞壽命分布，繪制出其疲勞曲線以及疲勞方程。見圖3為50%保證率下的3種瀝青混凝土材料疲勞壽命曲線。

通過試驗(yàn)結(jié)果分析，三參數(shù)WEIBULL分布參數(shù)擬合優(yōu)度不僅高于兩參數(shù)，而且根據(jù)圖4單一試驗(yàn)條件下的材料失效率函數(shù)曲線比較可以看出[10]：由于考慮了最小特征壽命，材料失效率從最小特征壽命開始逐漸增大，避免了兩參數(shù)曲線在早期階段的不合理的失效估計(jì)。

圖3 3種瀝青混凝土材料50%保證率下疲勞曲線Fig.3 Fatigue curve of three asphalt concretes of 50% reliability

圖4 AC-13瀝青混凝土材料失效率函數(shù)曲線(20 ℃，0.4應(yīng)力比)Fig.4 Failure rate curve of asphalt concretes(20 ℃，0.4 stress rate)

3 結(jié) 論

筆者通過間接拉伸疲勞試驗(yàn)分析了3種不同瀝青混凝土材料疲勞失效特性。采用考慮三參數(shù)的Weibull分布函數(shù)對(duì)不同加載條件下材料疲勞壽命分布特征進(jìn)行模擬，提出了基于位置參數(shù)迭代計(jì)算下的特征參數(shù)估算方法。計(jì)算結(jié)果顯示：考慮初始尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的迭代計(jì)算方法能較好地估計(jì)出滿足一定精度要求的位置參數(shù)N0；利用試驗(yàn)結(jié)果獲得的表征Weibull分布特征函數(shù)能較為清晰地反映出不同瀝青混凝土材料的壽命概率分布，并給出了50%保證率下的材料疲勞壽命曲線和疲勞方程，為后續(xù)瀝青路面使用性能分析提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

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(責(zé)任編輯 劉 韜)

Estimation of Fatigue Failure of Asphalt Concrete Based on Three-Parameter Weibull Distribution

LI Xiao1，2，LIANG Naixing2，CHENG Zhihao1

(1. National Engineering Laboratory for Surface Transportation Weather Impacts Prevention,Broadvision Engineering Consultants, Kunming 650041, Yunnan, P.R.China;2. School of Civil Engineering, Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，P.R.China)

Weibull distribution is widely used in asphalt mixes fatigue failure fitting. Compared with two-parameter Weibull distribution, three-parameter Weibull distribution shows better practicability in the situation that fatigue failure does not exist at initial steps. Through indirect tension test (IDT) at different stress levels and different temperatures, the fatigue behavior of three different asphalt concrete were analyzed with location parameter using iterative computations of scale parameter, shape parameter. Combined with test data, the distribution function was calculated based on three characteristic parameters. The results show more reasonable fitting accuracy of three-parameter Weibull distribution than its calculated results by others methods. The fatigue curves and fatigue equations at different test conditions of 50% reliability are obtained.

road engineering; asphalt concrete; stress control; three-parameter Weibull distribution; estimation of fatigue failure

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.01.07

2015-09-21；

2015-11-19

云南省交通運(yùn)輸廳科技項(xiàng)目基金[云交科教2014[231]-(二)]；云南省科技創(chuàng)新強(qiáng)省國(guó)際科技合作專項(xiàng)基金(2009AC0009)

黎 曉(1982—)，男，重慶人，工程師，博士，主要從事瀝青路面結(jié)構(gòu)分析和道路建材方面的研究。E-mail: prettylousy@163.com。

U416.217

A

1674-0696(2017)01-036-06