正方形的“自我復(fù)制”

曾洪根

美國的馬丁·加德納先生是一位擅長攻克智力題的大師。作為一名大師，他并不是普通意義上的數(shù)學(xué)家。每當數(shù)學(xué)界有了新的發(fā)現(xiàn)，他都非常關(guān)心，而且往往像接力賽那樣接過來，在趣味數(shù)學(xué)方面繼續(xù)探討。他的題目既有廣度又有深度，真正做到了雅俗共賞。

有一次，美國南加利福尼亞大學(xué)的所羅門·戈洛姆教授對一類能“自我復(fù)制”的圖形進行研究。所謂“自我復(fù)制”，就是某個圖形能被劃分成若干個更小的全等圖形，它們相互間不但面積相等、形狀相同，而且和原圖形也是相似的。最簡單的例子就是：任何正方形都可以一分為四，成為四個更小的正方形，如圖①所示。

還有缺掉一角的正方形，也就是L形，以及“獅身人面像”那樣的圖形也都有這種性質(zhì)。它們都能一分為四，并且永遠這樣復(fù)制下去。能“自我復(fù)制”的圖形在幾何學(xué)中頗引人注目，馬丁對此也相當關(guān)注。他同樣也提出過1個如圖②所示的圖形。這是由6個正方形組成的多邊形，也是1個能“自我復(fù)制”的圖形。馬丁居然把它分成了144個更小的全等圖形。還有一位羅伯特·雷德把它分成為36個小塊（圖③），讓大家嘆為觀止。

不過，我們今天主要是想介紹馬丁·加德納先生把正方形一分為三的辦法。當然，誰都知道正方形是不可能分成3個較小正方形的。但是馬丁降低了條件，他只要求把1個正方形分成3個小圖形并相似即可，它們的面積可大可小，并不強求。特別是絕對不要求和原來的正方形相似。

那么，如果用2條豎線把正方形一分為三如何？如圖④所示。

凡事都是由簡至繁，由淺入深的。圖④完全能滿足馬丁原先的要求，所以不能因為太簡單而拋棄它。接著馬丁就考慮能否把正方形再分成3個不一樣大小的矩形。為直觀起見，他把正方形畫成6×6的方陣，然后沿著格線就輕而易舉地實現(xiàn)了目標，如圖⑤所示。

“這并不難，我也能做得到！”如果你能這么想就太好了。不過你得注意那2個小矩形和較大的矩形是否相似。定神一看，沒想到小矩形的長和寬都是大矩形長和寬的 ，這是相似形成立的必要條件：對應(yīng)邊的比例必須一樣。

能不能把正方形分成大中小3個不同的矩形，使它們的形狀也相似？這就得好好動動腦筋了?，F(xiàn)在再依靠格線來劃分就很困難，于是馬丁在紙上先隨意涂抹起來，結(jié)果他畫出了圖⑥。

這里有3個大小不同的矩形，好像也彼此相似。不過，從數(shù)學(xué)角度來說，這得加以證明才行。結(jié)果馬丁解決了這一問題：3個矩形的長寬比都等于1∶0.56984（證明從略）。

馬丁還設(shè)計了2個L形的解，那比較簡單，通過格線基本就能解決了。如圖⑦和圖⑧所示。

誰都能一眼看出：2個小L形都是全等的。而它們和大L形的各邊比例也都相等。你不妨自己檢驗一下。

馬丁又給自己提出任務(wù)了。因為以上圖形的分割線全是橫線或豎線。那么，能不能用斜線來分割圖形呢？當然能！最容易的就是圖⑨。

原來，只要利用2條對角線就能把正方形分成3個等腰直角三角形！

現(xiàn)在，馬丁設(shè)想可以把正方形分成3個梯形，而且是直角梯形，如圖⑩所示。這能成功嗎？能，馬丁進行了詳細的推導(dǎo)，證明可以這樣分（推導(dǎo)從略）。

馬丁的數(shù)學(xué)功底在這里得到了充分的運用，數(shù)學(xué)大師真是名不虛傳。不過，你還能構(gòu)思出把正方形一分為三的不同方案嗎？趕快把你的靈感發(fā)給我們吧！微信互動，更有驚喜禮物喲！