采用積分流形與觀測(cè)器的并聯(lián)機(jī)器人軌跡控制

孔民秀， 陳正升， 劉 明， 季 晨

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

?

采用積分流形與觀測(cè)器的并聯(lián)機(jī)器人軌跡控制

孔民秀， 陳正升， 劉 明， 季 晨

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

針對(duì)含柔性桿件并聯(lián)機(jī)器人在高速運(yùn)行時(shí)其末端存在彈性位移問(wèn)題，以3RRR并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，提出一種基于積分流形與高增益觀測(cè)器的柔性并聯(lián)機(jī)器人軌跡跟蹤復(fù)合控制算法.基于剛度矩陣引入小參數(shù)，將剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)為慢速與快速兩個(gè)子系統(tǒng).針對(duì)慢速子系統(tǒng)，采用反演控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)末端剛體運(yùn)動(dòng)的跟蹤控制，同時(shí)為避免桿件彈性變形與振動(dòng)組成的彈性位移對(duì)機(jī)器人末端軌跡的影響，推導(dǎo)校正力矩，實(shí)現(xiàn)對(duì)彈性位移的補(bǔ)償.針對(duì)快速子系統(tǒng)，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，保證流形成立.為避免對(duì)曲率變化率的直接測(cè)量，引入高增益觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì).采用Lyapunov穩(wěn)定性原理證明系統(tǒng)整體穩(wěn)定性，并給出小參數(shù)上界.對(duì)提出的復(fù)合控制算法與奇異攝動(dòng)及基于剛體動(dòng)力學(xué)的反演控制算法進(jìn)行仿真，從機(jī)器人末端振動(dòng)抑制與軌跡跟蹤性能兩方面進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提算法的控制效果.

并聯(lián)機(jī)器人；積分流形；高增益觀測(cè)器；復(fù)合控制；滑模控制；反演控制；振動(dòng)抑制

并聯(lián)機(jī)器人由于具有高精度、高剛度及大負(fù)載自重比等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛關(guān)注，并已大量應(yīng)用于高速搬運(yùn)、運(yùn)動(dòng)模擬與電子制造等行業(yè)中[1].為了降低成本并減小能耗，本體輕量化設(shè)計(jì)將是必然選擇.然而，在高速或重載運(yùn)行場(chǎng)合，輕量化的機(jī)械本體將會(huì)產(chǎn)生明顯的彈性變形及振動(dòng)，因而機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)由剛體運(yùn)動(dòng)及彈性變形與振動(dòng)產(chǎn)生的彈性位移組成.采用傳統(tǒng)針對(duì)剛體機(jī)器人的控制方法將無(wú)法保證柔性機(jī)器人末端良好的跟蹤精度.

Dwivedy等[2]對(duì)含柔性桿件機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行了綜述.由于桿件柔性的存在，當(dāng)選擇機(jī)器人末端作為輸出時(shí)，系統(tǒng)將呈現(xiàn)非最小相位特性.文獻(xiàn)[3-5]將桿件彈性計(jì)及到機(jī)器人的末端位置進(jìn)行輸出重定義，并采用針對(duì)剛體機(jī)器人的控制算法對(duì)新輸出進(jìn)行控制;然而,該方法只能實(shí)現(xiàn)點(diǎn)位控制，不能保證對(duì)末端軌跡的跟蹤控制[6].奇異攝動(dòng)是另外一種解決含彈性環(huán)節(jié)機(jī)器人非最小相位特性的有效方法，通過(guò)引入小參數(shù)對(duì)剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M(jìn)行降階，將其分解為快慢兩個(gè)子系統(tǒng)，并采用復(fù)合控制算法設(shè)計(jì)兩個(gè)子系統(tǒng)控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的控制及彈性振動(dòng)的快速抑制；然而，隨著變形量的加大，奇異攝動(dòng)算法顯現(xiàn)出了不足，同時(shí)該算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)彈性位移的補(bǔ)償[7-9].Khorasani[10]通過(guò)對(duì)快速子系統(tǒng)變量的高階逼近，提出了積分流形方法，使得振動(dòng)抑制效果有了較大提高.通過(guò)將彈性位移引入機(jī)器人末端，并以此設(shè)計(jì)校正力矩，MOALLEM等[11]實(shí)現(xiàn)了兩自由度串聯(lián)機(jī)器人的軌跡跟蹤精確控制與振動(dòng)抑制.在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)otouhi等[12-16]通過(guò)簡(jiǎn)化校正力矩的選擇，研究了柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人、單桿柔性機(jī)器人、剛?cè)峄旌蠗U件機(jī)器人、兩桿柔性機(jī)器人軌跡跟蹤控制，并取得了良好效果.

由于閉鏈結(jié)構(gòu)的存在，考慮桿件柔性時(shí)并聯(lián)機(jī)器人模型較復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行振動(dòng)抑制與軌跡跟蹤控制的研究極為有限.

為解決高速并聯(lián)機(jī)器人因桿件柔性產(chǎn)生的彈性變形與振動(dòng)問(wèn)題，提高跟蹤精度與動(dòng)態(tài)性能，本文將以前期研究的3RRR并聯(lián)機(jī)器人剛?cè)狁詈夏Ｐ蜑榛A(chǔ)[17]，基于小變形假設(shè)及速度映射關(guān)系描述動(dòng)平臺(tái)彈性位移，通過(guò)積分流形將高階剛?cè)狁詈夏Ｐ娃D(zhuǎn)化為快慢兩個(gè)子系統(tǒng)，提出基于滑模變結(jié)構(gòu)控制與反演控制相結(jié)合的復(fù)合控制算法，引入高增益觀測(cè)器解決曲率變化率難于測(cè)量的問(wèn)題，并開(kāi)展仿真研究，對(duì)算法可行性進(jìn)行驗(yàn)證.

1 3RRR并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

由文獻(xiàn)[17]可知，被動(dòng)桿柔性可忽略，這里只考慮主動(dòng)桿變形，可以表述為

(1)

圖1 3RRR并聯(lián)機(jī)器人

圖2 3RRR并聯(lián)機(jī)器人坐標(biāo)系

2 基于積分流形的高速并聯(lián)機(jī)器人模型降階

根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型(1)，定義如下?tīng)顟B(tài)變量[15]：

(2)

(3)

(4)

(5)

式(5)可解釋為，如果在時(shí)刻t*快速子系統(tǒng)變量到達(dá)積分流形軌跡，那么對(duì)于?t>t*時(shí)刻，該變量將始終保持在該流形軌跡上，為了保證上述條件的成立，在原控制系統(tǒng)中加入附加控制變量.

(6)

由于質(zhì)量陣的逆矩陣及科氏力與離心力項(xiàng)均為小變量ε的函數(shù)，泰勒展開(kāi)中對(duì)小參數(shù)保留到二階，這里依然保留二階，忽略分母中小參數(shù)，逆矩陣關(guān)于ε的泰勒級(jí)數(shù)可表示為

(7)

方程(1)展開(kāi)后的離心力與慣性力可表示為

(8)

將方程(6)～(8)代入方程(4)，可得

(9)

當(dāng)不考慮桿件柔性，即小變量ε=0時(shí)，將h1帶入方程(3)，可得慢速子系統(tǒng)微分方程為

(10)

根據(jù)積分流形，快速子系統(tǒng)變量偏差可表示為

(11)

將式(11)乘ε，對(duì)其求導(dǎo)并代入方程(6)，同時(shí)根據(jù)方程(9)，對(duì)hij進(jìn)行替代,得快速子系統(tǒng)方程：

(12)

針對(duì)慢速與快速兩個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如圖3所示的復(fù)合控制算法.對(duì)于慢速子系統(tǒng)，將采用反演控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)剛體末端運(yùn)動(dòng)的跟蹤控制，同時(shí)根據(jù)速度映射關(guān)系，建立桿件彈性變形及振動(dòng)量與動(dòng)平臺(tái)彈性位移的映射關(guān)系，根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)及彈性位移建立動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，并通過(guò)設(shè)計(jì)校正力矩τ1與τ2實(shí)現(xiàn)對(duì)彈性位移補(bǔ)償.對(duì)于快速子系統(tǒng)將，采用滑?？刂?，保證流形成立.考慮到桿件曲率變化率難于測(cè)量，設(shè)計(jì)高增益觀測(cè)器，根據(jù)曲率值對(duì)曲率變化率進(jìn)行估計(jì).

圖3 復(fù)合控制框圖

3 基于反演算法的慢速子系統(tǒng)控制

反演控制是針對(duì)復(fù)雜非線性系統(tǒng)的遞推控制算法，將原系統(tǒng)分解為不超過(guò)系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，通過(guò)逐級(jí)建立各子系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)控制率，同時(shí)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性[19].首先定義位置誤差

e1=X1-Xd，

式中Xd為指令信號(hào)，定義虛擬控制量

其中c1為大于零的常數(shù)，同時(shí)速度誤差e2可定義為

e2=X2-υ1.

(13)

根據(jù)位置誤差定義Lyapunov函數(shù)

(14)

對(duì)式(14)求導(dǎo)得

(15)

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行求導(dǎo)，并對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行替代，可得

(17)

根據(jù)式(17)可得

(18)

其中c2為正實(shí)數(shù)，將式(18)導(dǎo)入方程(17)，可得

因此根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理，在τ0作用下，慢速子系統(tǒng)是穩(wěn)定的.由于彈性環(huán)節(jié)的存在，并聯(lián)機(jī)器人末端位置可表示為

r=X1+f3(η,h10,h11,h12,ε).

(19)

其中f3為桿件彈性變形與振動(dòng)對(duì)動(dòng)平臺(tái)中心G產(chǎn)生的彈性位移，即末端動(dòng)平臺(tái)的彈性位移.

根據(jù)速度映射關(guān)系，彈性運(yùn)動(dòng)部分產(chǎn)生的動(dòng)平臺(tái)加速度可表示為

本文考察的柔性環(huán)節(jié)都在小變形范圍內(nèi)，因桿件彈性位移產(chǎn)生的動(dòng)平臺(tái)末端彈性位移f3可簡(jiǎn)化為

(20)

(21)

(22)

根據(jù)方程(22)，定義Lyapunov函數(shù)

(23)

對(duì)式(23)求導(dǎo)可得

令ε及ε2的系數(shù)項(xiàng)為零，可得校正力矩為

(24)

4 基于滑模變結(jié)構(gòu)的快速子系統(tǒng)控制

定義新的時(shí)間尺度tf=t/ε，快速子系統(tǒng)微分方程(12)可表示為

第2個(gè)方程后兩項(xiàng)含小參數(shù)ε，相對(duì)于其他項(xiàng)其控制量較小，可以將其視為擾動(dòng)，因此擾動(dòng)項(xiàng)可表示為

由于擾動(dòng)項(xiàng)的存在，快速子系統(tǒng)采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，選擇滑模面為

其中K1為正數(shù)，對(duì)滑模面求導(dǎo)得

根據(jù)滑模面，定義Lyapunov函數(shù)為

V4=0.5STS.

求導(dǎo)可得

(25)

根據(jù)式(25)，取快速子系統(tǒng)控制律為

KfS+Δ1sgn(S)).

(26)

其中sgn(·)為符號(hào)函數(shù)，將式(26)代入式(25)得

由此可知，在式(26)作用下，快速子系統(tǒng)是收斂的.符號(hào)函數(shù)會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生抖動(dòng)，為了降低抖動(dòng)的產(chǎn)生，將飽和函數(shù)sat(·)代替符號(hào)函數(shù)，飽和函數(shù)可定義為[20]

其中Δ2為緩沖層.

5 曲率變化率高增益觀測(cè)器

為避免對(duì)曲率變化率直接測(cè)量，本文設(shè)計(jì)高增益觀測(cè)器，通過(guò)測(cè)量得到的曲率觀測(cè)曲率變化率.由方程(11)可知，快速子系統(tǒng)變量Xf1對(duì)應(yīng)曲率值，可以通過(guò)測(cè)量應(yīng)力直接換算得到，Xf2對(duì)應(yīng)曲率變化率，為觀測(cè)器觀測(cè)值，根據(jù)文獻(xiàn)[21]、[22]與式(4)，觀測(cè)器可表示為

(27)

為證明系統(tǒng)穩(wěn)定性，定義新的誤差變量為

(28)

將式(28)代入式(27)，狀態(tài)觀測(cè)器可表示為

(29)

其中P1為正定對(duì)稱(chēng)矩陣，求導(dǎo)可得

由于A0為Hurwitz矩陣，存在正定矩陣P1，使

(30)

(31)

(32)

根據(jù)誤差方程(32)，可定義Lyapunov函數(shù)

V6=εξTPξξ.

(33)

其中Pξ為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，式(33)求導(dǎo)可得

(34)

由于Aξ11與A0均為Hurwitz矩陣，對(duì)于給定的對(duì)稱(chēng)正定陣Sξ,存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣Pξ滿足

(35)

根據(jù)Rayleigh-Ritz不等式可知：

(36)

(37)

(38)

(39)

6 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

各子系統(tǒng)穩(wěn)定性并不能保證系統(tǒng)整體穩(wěn)定性，因此需要綜合各子系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)整體穩(wěn)定性進(jìn)行證明.將式(9)、(18)、(24)分別代入動(dòng)力學(xué)式(3)可以得系統(tǒng)誤差方程為

式中:

根據(jù)誤差方程，定義整體系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(40)

其中Ps與Pξ為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，對(duì)式(40)求導(dǎo)得

(41)

由于As為Hurwitz矩陣，對(duì)于給定的對(duì)稱(chēng)正定陣Ss,存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣Ps滿足以下條件：

(42)

根據(jù)Rayleigh-Ritz不等式可知

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

λmin(Ss)(λmin(Sξ)-2(χ6+χ7ε+χ8ε2)-

χ2ε)-(χ3+χ4ε+χ5ε2)2≥0.

忽略O(shè)(ε2)高次項(xiàng)的影響，小參數(shù)ε的最大值滿足

由式(47)可知，當(dāng)ε的取值滿足0<ε≤εmax時(shí)，整體系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

7 算法仿真

為對(duì)本文提出的復(fù)合控制進(jìn)行驗(yàn)證，將其與奇異攝動(dòng)控制及僅考慮剛體動(dòng)力學(xué)模型的反演控制進(jìn)行對(duì)比，上述算法仿真在MATLAB軟件的SIMULINK模塊下開(kāi)展，并選用ode15s積分器.由式(24)可知，在基于積分流形與觀測(cè)器的復(fù)合控制算法中，動(dòng)平臺(tái)末端位姿的期望軌跡需滿足四階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，為減小期望軌跡在起始與末端點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的沖擊，期望軌跡采用式(48)所示的九次多項(xiàng)式規(guī)劃，保證起始與末端點(diǎn)處的速度、加速度、三階與四階導(dǎo)數(shù)為零.

(48)

為描述末端性能，引入平均誤差，定義為

其中CR為末端動(dòng)平臺(tái)3個(gè)方向的性能指標(biāo)，tM與rM分別為平動(dòng)方向平均誤差與轉(zhuǎn)動(dòng)方向平均誤差.

根據(jù)式(20)可計(jì)算動(dòng)平臺(tái)彈性位移f3.vi與vm分別表示運(yùn)行過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)各方向的最大彈性位移及平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)方向的平均彈性位移，vend表示終點(diǎn)時(shí)刻彈性位移即殘余振動(dòng).對(duì)于相同的期望輸入，動(dòng)平臺(tái)彈性位移的大小可反映復(fù)合、奇異、反演3種控制算法的振動(dòng)抑制效果.各方向的彈性位移見(jiàn)圖4與5.

圖4 動(dòng)平臺(tái)瞬時(shí)彈性位移

(a) 各向彈性位移

(b) 動(dòng)平臺(tái)殘余振動(dòng)

可以看出，奇異攝動(dòng)與反演控制相比，各方向的最大彈性位移幅值都下降了28%以上，復(fù)合控制與奇異攝動(dòng)相比下降了4.75%、33.42%與33.52%.反演控制及奇異攝動(dòng)平動(dòng)方向的平均彈性位移，分別為1.579、1.112 mm，復(fù)合控制則下降到0.970 mm；對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)方向，從反演控制及奇異攝動(dòng)的0.001 4 rad及9.863×10-4rad下降到復(fù)合控制的6.872×10-4rad，復(fù)合控制在兩個(gè)方向上彈性位移都下降了14%以上.與反演控制相比，復(fù)合控制與奇異攝動(dòng)的殘余振動(dòng)都有較大幅度降低，且兩種算法都接近于0.

跟蹤誤差為末端的實(shí)際輸出與期望輸出的差值.tr表示動(dòng)平臺(tái)各方向的最大跟蹤誤差，trm表示平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)方向的平均跟蹤誤差，tend表示終點(diǎn)時(shí)刻的跟蹤誤差.

由圖6、7可知，與奇異攝動(dòng)及反演控制器相比，基于積分流形與觀測(cè)器的復(fù)合控制在軌跡跟蹤方面具有明顯的優(yōu)勢(shì).對(duì)于最大跟蹤誤差，X方向分別下降了85.56%與91.41%，Y方向分別下降了57.55%與90.57%，轉(zhuǎn)動(dòng)方向分別下降了53.34%與61.5%；對(duì)于平均跟蹤誤差，平動(dòng)方向分別下降了88.2%與92.62%，轉(zhuǎn)動(dòng)方向分別下降了37.26%與49.57%；在終點(diǎn)時(shí)刻跟蹤誤差方面，X方向分別下降了92.8%與72.34%，Y方向分別下降了89.73%與83.62%，轉(zhuǎn)動(dòng)方向分別下降了85.96%與70.85%.對(duì)于終點(diǎn)時(shí)刻跟蹤誤差，奇異攝動(dòng)方法與反演控制器相比在各方向都明顯變差，主要是因?yàn)槠娈悢z動(dòng)算法只考慮了振動(dòng)抑制，由于調(diào)節(jié)的延遲，在實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制時(shí)末端點(diǎn)軌跡跟蹤性能變差.

圖6 動(dòng)平臺(tái)末端瞬時(shí)跟蹤誤差

(a) 各方向跟蹤誤差

(b) 終點(diǎn)時(shí)刻

8 結(jié) 論

1)基于積分流形將剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型降解為快速與慢速子系統(tǒng)，采用滑?？刂婆c反演控制分別設(shè)計(jì)快、慢子系統(tǒng)控制器，并對(duì)機(jī)器人末端的彈性位移進(jìn)行補(bǔ)償，同時(shí)采用高增益觀測(cè)器對(duì)曲率變化率進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高速并聯(lián)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制.

2)選取Lyapunov函數(shù)，證明了慢速子系統(tǒng)、快速子系統(tǒng)、高增益觀測(cè)器及整體系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，給出了積分流形與觀測(cè)器中小參數(shù)選取條件.

3)Matlab-Simulink仿真結(jié)果表明，復(fù)合控制算法在振動(dòng)抑制與軌跡跟蹤方面均具有明顯優(yōu)勢(shì).

[1] PIETSCH I, KREFFT M, BECKER O, et al.How to reach the dynamic limits of parallel robots? An autonomous control approach[J].IEEE Transactions on Automation Science and Engineering , 2005, 2(4): 369-380.

[2] DWIVEDY S, EBERHARD P.Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review[J].Mechanism and Machine Theory, 2006, 41(7): 749-777.

[3] LI Yongming, TONG Shaocheng, LI Tieshan.Adaptive fuzzy output feedback control for a single-link flexible robot manipulator driven DC motor via backstepping[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2013, 14(1): 483-494.

[4] VAKIL M, FOTOUHI R, NIKIFORUK P.Causal end-effector inversion of a flexible link manipulator[J].Mechatronics, 2009, 19(7): 1197-1210.

[5] MOALLEM M, PATEL R, KHORASANI K.Nonlinear tip-position tracking control of a flexible-link manipulator: theory and experiments[J].Automatica, 2001, 37(11): 1825-1834.

[6] LIZARRAGA I, ETXEBARRIA V.Combined PD-H∞approach to control of flexible link manipulators using only directly measurable variables[J].Cybernetics & Systems, 2003, 34(1): 19-31.

[7] ZHANG Q, MILLS J, CLEGHORN W, et al.Trajectory tracking and vibration suppression of a 3-PRR parallel manipulator with flexible links[J].Multibody System Dynamics, 2015, 33(1): 27-60.

[8] EL-BADAWY A, MEHREZ M W, ALI A R.Nonlinear modeling and control of flexible-link manipulators subjected to parametric excitation[J].Nonlinear Dynamics, 2010, 62(4): 769-779.

[9] SUBUDHI B, MORRIS A.Soft computing methods applied to the control of a flexible robot manipulator[J].Applied Soft Computing, 2009, 9(1): 149-158.

[10]KHORASANI K.Adaptive control of flexible-joint robots[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1992, 8(2): 250-267.

[11]MOALLEM M, KHORASANI K, PATEL R.An integral manifold approach for tip-position tracking of flexible multi-link manipulators[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1997, 13(6): 823-837.

[12]SALMASI H, FOTOUHI R, NIKIFORUK P.A manoeuvre control strategy for flexible-joint manipulators with joint dry friction[J].Robotica, 2010, 28(4): 621-635.

[13]VAKIL M, FOTOUHI R, NIKIFORUK P.Application of the integral manifold concept for the end-effector trajectory tracking of a flexible link manipulator [C]//Proceedings of the 26th American Control Conference.New York: IEEE, 2007: 741-747.

[14]VAKIL M, FOTOUHI R, NIKIFORUK P.End-Effector Trajectory Tracking of a Class of Flexible Link Manipulators [C]// Proceedings of 32nd Annual Mechanisms and Robotics Conference.New York: ASME, 2008: 1085-1094.

[15]VAKIL M, FOTOUHI R, NIKIFORUK P.End-effector trajectory tracking of a flexible link manipulator using integral manifold concept[J].International Journal of Systems Science, 2011, 42(12): 2057-2069.

[16]VAKIL M, FOTOUHI R, NIKIFORUK P.Maneuver control of the multilink flexible manipulators[J].International Journal of Non-Linear Mechanics, 2009, 44(8): 831-844.

[17]CHEN Z, KONG M, JI C, et al.An efficient dynamic modelling approach for high-speed planar parallel manipulator with flexible links[J].Journal of Mechanical Engineering Science, 2015, 229(4): 663-678.

[18]GORIUS T, SEIFRIED R, EBERHARD P.Approximate end-effector tracking control of flexible multibody systems using singular perturbations[J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2013, 9(1): 011017.

[19]ZHU Ge, LEE T, GE S.Tip tracking control of a single-link flexible robot: A backstepping approach[J].Dynamics and Control, 1997, 7(4): 341-360.

[20]LEE S, LEE C.Hybrid control scheme for robust tracking of two-link flexible manipulator[J].Journal of Intelligent & Robotic Systems, 2001, 32(4): 389-410.

[21]HEREDIA J, YU Wen.A high-gain observer-based PD control for robot manipulator [C] //Proceedings of the 2000 American Control Conference.Chicago: IEEE,2000: 2518-2522.

[22]MOSAYEBI M, GHAYOUR M, SADIGH M.A nonlinear high gain observer based input-output control of flexible link manipulator[J].Mechanics Research Communications, 2012, 45: 34-41.

(編輯 楊 波)

Trajectory tracking control of parallel manipulator with integral manifold and observer

KONG Minxiu, CHEN Zhengsheng, LIU Ming, JI Chen

(School of Mechatronics Engineering， Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In view of the problem that flexible displacement will occur for end-effectors of parallel manipulators when operating at a high speed, taking the 3RRR parallel manipulator as the object, the trajectory tracking composite controller based on the integral manifold and high-gain observer is proposed for flexible parallel manipulators.Based on the stiffness matrix, the small variable is introduced to decomposite the rigid-flexible coupling dynamic model of the parallel manipulator into slow subsystem and fast subsystem.For the slow subsystem, the backstepping control is applied for rigid motion tracking of the end-effector.To avoid the influence of the links’ flexible displacement comprised of deformation and vibration on the end-effector’s motion trajectory, the corrective torque is deduced, and the compensation for the flexible displacement is realized.For the fast subsystem, the sliding mode control is utilized to suppress the vibration.At the same time, the high gain observer is designed to avoid the measurement of curvature rate of the flexible links.Also, the stability of the overall system with the proposed method is proven with the Lyapunov stability theorem and the upper bound of the small variable is obtained.At last, the proposed composite controller together with the singular perturbation control and the rigid model based on backstepping control are simulated, and the vibration suppression and tracking accuracy performances are compared to validate the proposed control scheme.

parallel manipulator; integral manifold; high-gain observer; composite control; sliding mode control; backstepping control; vibration suppression

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.01.005

2015-08-11

國(guó)家自然科學(xué)基金(51075086)

孔民秀(1972-)，男，副教授； 劉 明(1956-)，男，教授，博士生導(dǎo)師

陳正升，zschen88200@163.com

TP242

A

0367-6234(2017)01-0037-09