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    淺談“0”的起源與在中小學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用

    2017-02-04 23:59:42吳稀瑩
    新課程·中學(xué) 2016年11期
    關(guān)鍵詞:正數(shù)負(fù)數(shù)定義

    吳稀瑩

    摘 要:0,是人類最早接觸的數(shù)字,也是經(jīng)常使用的數(shù)字,更是人們較熟悉的數(shù)字,然而0,是如何產(chǎn)生,以及是誰(shuí)最先發(fā)明了它,是大多數(shù)人較為困惑的問(wèn)題,主要闡述了0的起源以及在當(dāng)今數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用,供大家參考。

    關(guān)鍵詞:0的廣泛應(yīng)用;0的性質(zhì);0的作用;0的含義

    0,可以說(shuō)是人類最早接觸的數(shù)了。我們的祖先在最開(kāi)始只認(rèn)識(shí)有和沒(méi)有,并不知道用0來(lái)計(jì)數(shù)。但在當(dāng)代0這個(gè)數(shù)字有著較多的含義,特別是在數(shù)學(xué)中經(jīng)常處于一種尷尬的地位,很多問(wèn)題研究中對(duì)于0的規(guī)定都是模棱兩可的,更多時(shí)候是將0排除在外,

    不予以討論研究。從而,使得在學(xué)習(xí)中,很多學(xué)生都因不知道為什么會(huì)特殊定義或規(guī)定0的用法而感到困惑與不解。所以為了讓更多的學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中,排除較多的關(guān)于0的一些應(yīng)用的困惑,不如在研究其他“存在”的數(shù)字之前,先來(lái)了解0這個(gè)“不存在”的數(shù)字。

    0是數(shù)學(xué)中最重要的符號(hào)與數(shù)學(xué)之一,可是它的發(fā)明卻是來(lái)之不易的。在發(fā)明0以前,人類的祖先為了完善繁瑣的記數(shù)方法與缺憾,在世界各國(guó)范圍內(nèi),不同國(guó)家表示0的方式方法各不相同,多種多樣,但又彼此互相借鑒,相互引用,比如,在中國(guó)古代算籌運(yùn)算時(shí),當(dāng)還沒(méi)有發(fā)明0之前,古人們?yōu)榱朔乐拱l(fā)生定位錯(cuò)誤,開(kāi)始用“□”代表空位,后來(lái)為方便書寫逐漸演變寫成“○”;然而,在阿拉伯,當(dāng)還沒(méi)有0這個(gè)數(shù)字時(shí),古老的阿拉伯人為防止記數(shù)上產(chǎn)生的誤解,于是用打空格的方法來(lái)區(qū)分:如一千三百四十五表示成1( )3( )4( )5,空的地方表示空位,但這使得運(yùn)算變得極為麻煩;古代希臘,人們?cè)诖蠹s公元2世紀(jì)前后,在天文學(xué)上也用“○”表示空位,但很不普遍。

    時(shí)間到了大約公元5世紀(jì)左右,在印度最古老的文獻(xiàn)《吠陀》中,已有“0”這個(gè)符號(hào)的記載與應(yīng)用,當(dāng)時(shí)0在古印度表示無(wú)(空)的位置,大約又到了6世紀(jì)初期,古印度人最早用黑點(diǎn)(·)表示0,后來(lái)逐漸演變成了0,自此印度開(kāi)始使用“命位記數(shù)法”。公元733年,印度一位天文學(xué)家在訪問(wèn)現(xiàn)伊拉克首都巴格達(dá)期間,將印度的這種記數(shù)法介紹給了阿拉伯人,正因?yàn)檫@種方法簡(jiǎn)便易行,通俗易懂,不久就取代了在此之前的阿拉伯?dāng)?shù)字。

    當(dāng)0發(fā)明后,引入到各個(gè)國(guó)家時(shí),世界各國(guó)又掀起了一次高潮。當(dāng)0出現(xiàn)后,在中國(guó)古代叫做金元數(shù)字,(即:極為珍貴的數(shù)字),但在當(dāng)時(shí)它并不表示“沒(méi)有”,而是表示“零碎”“零頭”“不多”之意,如:“一百零五”的意思是——在一百之外,還有一個(gè)零頭五;當(dāng)0剛剛引入到西方國(guó)家時(shí),由于一些原因,曾經(jīng)一度引起西方人的困惑,當(dāng)時(shí)西方人認(rèn)為所有的數(shù)都是正數(shù),而沒(méi)有其他數(shù),而0這個(gè)數(shù)字的出現(xiàn),會(huì)使很多算式、邏輯推理不能成立,甚至一度認(rèn)為0是魔鬼數(shù)字,而被禁用。直到大約公元15、16世紀(jì),0和負(fù)數(shù)才逐漸被西方人接受認(rèn)同,才使西方數(shù)學(xué)得以快速發(fā)展。后來(lái),羅馬的一位學(xué)者將0的用法介紹給了自己國(guó)家的人,但被守舊的羅馬教皇禁止使用了,所以在羅馬數(shù)字中沒(méi)有0。

    隨著時(shí)間的推移,社會(huì)的快速進(jìn)步,科學(xué)的飛速發(fā)展,0在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中起著不可忽視的作用。0通常表示沒(méi)有,但實(shí)際上0的性質(zhì)與應(yīng)用很廣泛,0在數(shù)學(xué)中表示的意義非常豐富。0不僅可以表示“沒(méi)有”,而且也可以表示“有”。例如:天氣預(yù)報(bào)里表示氣溫是0度,并不是指“沒(méi)有溫度”,而是相當(dāng)于華氏表32度,這里,“0”起了“零上溫度與零下溫度”的分界線的作用;而在物理學(xué)中,“0℃”表示在一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,“水結(jié)冰”這個(gè)確定的溫度,即冰點(diǎn)的溫度;0還可以表示“起點(diǎn)”,如發(fā)射導(dǎo)彈時(shí)的口令是:“9,8,7,6,5,4,3,2,1,0——發(fā)射”;又如我們常用的米尺和三角板上刻度線下的數(shù)字“0”,也表示度量長(zhǎng)度的起點(diǎn),測(cè)量長(zhǎng)度時(shí),一般是先把尺上的“0”刻度線對(duì)準(zhǔn)待測(cè)量線段的起點(diǎn);另外,0在數(shù)軸上作為原點(diǎn),也是起點(diǎn)的意思;0還可以表示精確度,如:在近似的計(jì)算中,4.995精確到整數(shù)是5,精確到十分位是5.0,精確到百分位是5.00與5.0中的“0”被用來(lái)表示精確度不同;0在多位數(shù)中起占位作用,例如“806”中的“0”,它既表示這個(gè)數(shù)十位上一個(gè)單位也沒(méi)有,又起了占據(jù)“十位”這個(gè)數(shù)位的作用,若不用“0”占位,讓十位空著,八百零六就會(huì)寫成“8 6”,這會(huì)給讀數(shù)、計(jì)算帶來(lái)不便,又如某城市的一輛汽車牌號(hào)為“000888”,由此可知該城市的汽車號(hào)碼是用六個(gè)數(shù)碼編號(hào)的,它的已登記領(lǐng)牌汽車數(shù)量最多是六位數(shù),不會(huì)超過(guò)100萬(wàn)輛,“000888”中的“0”也是起著占位的作用;0在實(shí)際生活中有時(shí)也表示“分隔”的意思,例如:203房間中的0是分隔“樓(2)”與“房門號(hào)(3)”的(即表示二樓三號(hào)房),可刪去;在實(shí)數(shù)中,0又是正數(shù)與負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù),故0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),而是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn);0在復(fù)數(shù)中,是唯一輻角沒(méi)有定義的復(fù)數(shù);在計(jì)算機(jī)科學(xué)中,計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)由二進(jìn)制構(gòu)成,即0和1是計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存的基本單位,包括現(xiàn)在我們?cè)陔娔X上看到的所有一切都是用1和0兩個(gè)數(shù)組成的,一個(gè)即一個(gè)字符,8個(gè)字符是一位(bit),我們?cè)陔娔X中看到的圖像視頻等都是計(jì)算機(jī)通過(guò)對(duì)儲(chǔ)存器中無(wú)數(shù)個(gè)1和0的計(jì)算得來(lái)的,0經(jīng)常用于表現(xiàn)布林(布爾)值“假”電路傳送數(shù)據(jù)時(shí),0和1分別代表低電位和高電位,開(kāi)關(guān)的通斷表示0和1,編程語(yǔ)言中,一個(gè)數(shù)組的個(gè)數(shù)是4的話,它實(shí)際的成員是0到3,而不是1到4,在c語(yǔ)言中,0放在整型常量前表示八進(jìn)制數(shù),而整型十六進(jìn)制數(shù)前常用0x開(kāi)頭;在航天控制臺(tái)中,只有“0”號(hào)控制臺(tái),沒(méi)有“1”號(hào)控制臺(tái);在化學(xué)中,0價(jià)表示單質(zhì),0族表示稀有氣體。

    0在中小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常被排除在外,不予以考慮,在我國(guó)20世紀(jì)80年代中,0是不包括在自然數(shù)范圍內(nèi)的。但從歷史上看,國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界對(duì)于0是不是自然數(shù)歷來(lái)有兩種觀點(diǎn):一種認(rèn)為0是自然數(shù),另一種認(rèn)為0不是自然數(shù)。新中國(guó)成立以來(lái),我國(guó)的中小學(xué)教材一直規(guī)定自然數(shù)不包括0。目前,國(guó)外的數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定0是自然數(shù)。為了國(guó)際交流的方便,1993年頒布的《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》(GB 3100~3102-93)《量和單位》(11-2.9)第311頁(yè),規(guī)定自然數(shù)包括0。所以在近幾年進(jìn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材修訂中,我們的教材研究編寫人員根據(jù)上述國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。即一個(gè)物體也沒(méi)有,用0表示,0也是自然數(shù)。因此,在我們新出版的教材中,按照《國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行了這樣的處理,原來(lái)的自然數(shù)集合現(xiàn)在稱為正整數(shù)集。同時(shí),我們也按照《國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》的規(guī)定規(guī)范使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào)的表示方法。從使用上看,規(guī)定自然數(shù)集合是否包括0并無(wú)太大影響,作為序數(shù),從0開(kāi)始和從1開(kāi)始是一樣的,以前我們所說(shuō)的n∈N,現(xiàn)在只要說(shuō)n是正整數(shù)就可以了。但是,在小學(xué)階段的“整除”部分,仍然不考慮自然數(shù)0,因而在約數(shù)、倍數(shù)等概念中都不包括0。另外,一般情況下我們不說(shuō)數(shù)0是幾位數(shù),所以最小的一位數(shù)是1。

    隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)充,0的性質(zhì)也將進(jìn)一步擴(kuò)充到中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中,它的應(yīng)用極為廣泛,它在運(yùn)算中的一些特有的性質(zhì)很多,例如:

    (1)0是最小的自然數(shù);0是最小的完全平方數(shù);0是絕對(duì)值

    最小的實(shí)數(shù)。

    (2)在十進(jìn)制記數(shù)法中,0起占位的作用。

    (3)0是一個(gè)偶數(shù)。

    (4)0是任意自然數(shù)的倍數(shù)。

    (5)任何數(shù)與0相加,都等于任何數(shù)本身,即a+0=0+a=a。

    (6)任何數(shù)減0,都等于任何數(shù)本身,即a-0=a。

    (7)相同的兩個(gè)數(shù)相減,差等于0,即a-a=0。

    (8)任何數(shù)與0相乘,積等于0,即a×0=0×a=0。

    (9)0被非零的數(shù)除,商等于0,即:如果a≠0,那么0÷a=0。

    (10)0不能做除數(shù)、0不能做分?jǐn)?shù)的分母、0不能做比的后

    項(xiàng),即一個(gè)非0數(shù)除以0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義,因此0沒(méi)有倒數(shù)和負(fù)倒數(shù)。

    (11)0的任何正數(shù)次方都等于0;0的任何負(fù)數(shù)次方都無(wú)意

    義,因?yàn)?沒(méi)有倒數(shù)。

    (12)0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。

    (13)0的相反數(shù)是它本身,即:-0=0;0的絕對(duì)值是它本身,

    即:|0|=0;0的算術(shù)平方根是它本身;0的平方根是它本身;任何非零數(shù)的0次冪等于1,即如果a≠0,那么a0=1,而0的0次方的值是懸而未決,具有爭(zhēng)議的,在某些領(lǐng)域定義為1,某些領(lǐng)域未定義,不定義的理由多是以連續(xù)性為考量,不定義不連續(xù)點(diǎn)。

    (14)0不可作為多位數(shù)的最高位。

    (15)0是介于-1和+1之間的整數(shù)。

    (16)0沒(méi)有對(duì)數(shù),0不能做對(duì)數(shù)的底數(shù)或真數(shù)。

    (17)0的階乘等于1,即:0!=1。

    (18)在復(fù)數(shù)集中,0是模最小的數(shù),而且是唯一一個(gè)無(wú)輻角定義的元素。

    (19)0是唯一可以作為無(wú)窮小量的常數(shù)。低階無(wú)窮小與高階無(wú)窮小的比值的極限是無(wú)窮大,0是除它自己以外任何無(wú)窮小的高階無(wú)窮小。高階無(wú)窮小與低階無(wú)窮小比值的極限是0。

    (20)定積分中,積分上限和下限相等時(shí),積分值始終為0。

    (21)概率論中,不可能事件的概率,或者在連續(xù)概率分布中位于某一特定自變量這一事件的概率,都是0。然而,概率為0的事件并不一定就是不可能事件。例如,在一根長(zhǎng)度為1,起始刻度為0,終止刻度為1的實(shí)數(shù)軸上隨機(jī)選擇某個(gè)數(shù),對(duì)于任何一個(gè)固定的數(shù)來(lái)說(shuō),選擇到它的概率都是0,但是最終必然會(huì)選擇到某個(gè)數(shù)x。這樣,即意味選擇到x的概率是0,但不代表不可能選到x。

    所謂尺有所短,寸有所長(zhǎng)。以上是本人對(duì)0的起源與在當(dāng)今中小學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用作了簡(jiǎn)單闡述,可以說(shuō)0是多數(shù)人熟悉而又陌生的數(shù)字,既是最簡(jiǎn)單,又是最容易被人們所忽視的數(shù)字?,F(xiàn)代數(shù)學(xué)中,如果能對(duì)0做進(jìn)一步的深入了解,想必它會(huì)對(duì)你在數(shù)學(xué)學(xué)科中做出很大的幫助與巨大的飛躍。

    參考文獻(xiàn):

    陳方櫻.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2006-05.

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