濾波辨識(shí)(8): 類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階廣義增廣參數(shù)辨識(shí)

丁 鋒, 萬(wàn)立娟, 欒小麗, 徐 玲, 劉喜梅

(1.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院, 江蘇 無(wú)錫 214122;2.青島科技大學(xué) 自動(dòng)化與電子工程學(xué)院, 山東 青島 266061)

濾波辨識(shí)理念是針對(duì)有色噪聲干擾(即相關(guān)噪聲干擾)隨機(jī)系統(tǒng)辨識(shí)提出的,通過(guò)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波,使得有色噪聲干擾的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)白噪聲干擾的辨識(shí)模型。它不僅可用于有色噪聲干擾的標(biāo)量系統(tǒng)、多變量系統(tǒng)、線(xiàn)性系統(tǒng)、非線(xiàn)性系統(tǒng)辨識(shí)方法的研究,而且可以結(jié)合輔助模型辨識(shí)思想、多新息辨識(shí)理論、遞階辨識(shí)原理等[1-7],以及梯度方法、最小二乘方法、牛頓方法,研究和提出系列遞推辨識(shí)方法和迭代辨識(shí)方法。《青島科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》上的連載論文將濾波辨識(shí)理念與梯度方法和最小二乘方法相結(jié)合,研究了有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)、方程誤差自回歸系統(tǒng)、輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均系統(tǒng)濾波遞推辨識(shí)方法和濾波迭代辨識(shí)方法[8-14]。最近的連載論文研究了類(lèi)多變量方程誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-EEARMA-like)系統(tǒng)的濾波遞階廣義增廣參數(shù)辨識(shí)方法,即類(lèi)多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA-like)系統(tǒng)的濾波遞階廣義增廣參數(shù)辨識(shí)方法[15]。

本研究利用濾波辨識(shí)理念、輔助模型辨識(shí)思想、遞階辨識(shí)原理、多新息辨識(shí)理論,研究類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng),即類(lèi)多變量Box-Jenkins (M-BJ-like)系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階廣義增廣遞推參數(shù)辨識(shí)方法。相關(guān)工作參見(jiàn)文獻(xiàn)[2,7,16-27]。

1 類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)

考慮類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均模型(multivariable output-error ARMA-like model,MOEARMA-like模型),即類(lèi)多變量Box-Jenkins(MBJ-like)模型描述的多變量系統(tǒng)[2,7]:

其中y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T∈?m為m維觀測(cè)輸出向量,u(t)∈?r為r維觀測(cè)輸入向量,v(t)=[v1(t),v2(t),…,vm(t)]T∈?m為m維白噪聲向量,α(z)和γ(z)為單位后移算子z-1的多項(xiàng)式,Q(z)和N(z)為單位后移算子z-1的多項(xiàng)式矩陣, 它們定義為

定義模型參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ如下:

定義無(wú)噪輸出向量

進(jìn)一步可以等價(jià)寫(xiě)為

其中無(wú)噪輸出信息矩陣ψx（n,t）和輸入信息向量φu(t)定義如下:

定義輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(yù)(t):

用γ(z)N-1(z)作為濾波器,定義濾波無(wú)噪輸出向量xf(t),濾波輸出向量yf(t)和濾波輸入向量uf(t):

定義濾波無(wú)噪輸出信息向量φxf(t),濾波輸出信息向量φyf(t)和濾波輸入信息向量φuf(t):

進(jìn)一步可以等價(jià)寫(xiě)為

上式兩邊左乘γ(z)N-1(z)可得

將式(8)和(7)代入上式可得

由此可以得到類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)的濾波遞階辨識(shí)模型:

其中信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)定義如下:

對(duì)于類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1),系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)為{u(t),y(t)},在濾波遞階辨識(shí)模型(11)中,只有信息矩陣ψ(t)中的輸出信息矩陣ψy(t)是已知的,而無(wú)噪輸出信息矩陣ψx(n,t)和ψx(nγ,t)是未知的,信息向量φ(t)中輸入信息向量φu(t)是已知的,而濾波輸出向量φyf(t)和φxf(t)是未知的。這是辨識(shí)的困難所在。因此必須借助輔助模型辨識(shí)思想,濾波辨識(shí)理念和遞階辨識(shí)原理,利用系統(tǒng)的觀測(cè)數(shù)據(jù){u(t),y(t):t=1,2,3,…},通過(guò)對(duì)未知濾波輸入向量uf(t),濾波輸出向量yf(t)和xf(t),以及無(wú)噪輸出x(t)進(jìn)行估算,研究M-OEARMA-like系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣隨機(jī)梯度辨識(shí)方法、濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣遞推梯度辨識(shí)方法、濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣最小二乘辨識(shí)方法,來(lái)估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ。

2 計(jì)算未知量的輔助模型

根據(jù)信息矩陣ψx(n,t)定義式的結(jié)構(gòu),用輔助模型的輸出向量定義無(wú)噪輸出信息矩陣ψx(n,t)的估計(jì):

根據(jù)信息向量φxf(t)定義式的結(jié)構(gòu),用濾波輔助模型的輸出向量定義濾波無(wú)噪輸出信息向量φxf(t)的估計(jì):

根據(jù)信息向量φyf(t)定義式的結(jié)構(gòu),用濾波輔助模型的輸出向量定義濾波輸出信息向量φyf(t)的估計(jì):

根據(jù)信息向量φuf(t)定義式的結(jié)構(gòu),用濾波輔助模型的輸出向量定義濾波輸入信息向量φuf(t)的估計(jì):

根據(jù)式(12),用信息矩陣ψx(n,t)和ψx(nγ,t)的估計(jì)和,以及輸出信息矩陣ψy(t)定義信息矩陣ψ(t)的估計(jì):

根據(jù)式(13),用輸入信息向量φu(t),以及濾波輸出信息向量φyf(t)和φxf(t)的估和定義信息向量φ(t)的估計(jì):

根據(jù)式(3)的結(jié)構(gòu),用參數(shù)估計(jì)向量,參數(shù)估計(jì)矩陣,信息矩陣和信息向量φu(t)定義估算x(t)的輔助模型:

可認(rèn)為是x(t)的估計(jì)。根據(jù)定義式(7)的結(jié)構(gòu),用參數(shù)估計(jì)向量和,參數(shù)估計(jì)矩陣和,信息矩陣和,以及信息向量φu(t)和定義估算xf(t)的輔助模型:

可認(rèn)為是xf(t)的估計(jì)。根據(jù)定義式(8)的結(jié)構(gòu),用參數(shù)估計(jì)矩陣,參數(shù)估計(jì)向量,濾波輸出信息向量和輸出信息矩陣ψy(t)定義估算yf(t)的輔助模型:

可認(rèn)為是yf(t)的估計(jì)。根據(jù)定義式(9)的結(jié)構(gòu),用參數(shù)估計(jì)矩陣,參數(shù)估計(jì)向量,濾波輸入信息向量和輸入信息矩陣ψu(yù)(t)定義估算uf(t)的輔助模型:

可認(rèn)為是uf(t)的估計(jì)。

因?yàn)闉V波遞階辨識(shí)模型中涉及一些未知變量,如噪聲向量v(t-i),濾波輸入向量uf(t-i),濾波輸出向量yf(t-i),所以辨識(shí)方案需要采用遞推算法或迭代算法來(lái)交替估計(jì)參數(shù)向量和參數(shù)矩陣,以及涉及的未知變量。

3 濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機(jī)梯度辨識(shí)方法

基于濾波遞階辨識(shí)模型(11),定義準(zhǔn)則函數(shù)

未知信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)用其估計(jì)和代替,聯(lián)立式(14)～(19)和輔助模型(20)～(24),以及式(4)～(6),可以得到辨識(shí)類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的濾波遞階辨識(shí)模型(11)參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ的輔助模型濾波遞階廣義增廣隨機(jī)梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HGESG 算法),或?yàn)V波輔助模型遞階廣義增廣隨機(jī)梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HGESG 算法)[7,20-21]:

從F-AM-HGESG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階隨機(jī)梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nn=0,即γ(z)=1和N(z)=1時(shí),F-AM-HGESG 辨識(shí)算法(25)～(48)退化為類(lèi)多變量輸出誤差(M-OE-like)系統(tǒng)的輔助模型遞階隨機(jī)梯度算法(auxiliary model hierarchical stochastic gradient algorithm,AM-HSG 算法)[20]。

2)當(dāng)nγ=0,即γ(z)=1時(shí),F-AM-HGESG 辨識(shí)算法(25)～(48)退化為類(lèi)多變量輸出誤差滑動(dòng)平均(M-OEMA-like)系統(tǒng)[25]的濾波輔助模型遞階增廣隨機(jī)梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical extended stochastic gradient algorithm,FAM-HESG 算法) 或輔助模型濾波遞階增廣隨機(jī)梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical extended stochastic gradient algorithm,AM-FHESG 算法)[7,20]。

3)當(dāng)nn=0,即N(z)=1時(shí),F-AM-HGESG 辨識(shí)算法(25)～(48)退化為類(lèi)多變量輸出誤差自回歸(M-OEAR-like)系統(tǒng)[16]的濾波輔助模型遞階廣義隨機(jī)梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,F-AMHGSG 算法), 或輔助模型濾波遞階廣義隨機(jī)梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,AM-F-HGSG算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng)[21,23,36]的加權(quán)濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(W-F-AM-HGESG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(W-AM-F-HGESG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(FF-F-AM-HGESG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(AM-F-FF-HGESG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(W-FF-F-AMHGESG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(W-AM-F-FF-HGESG)算法。

F-AM-HGESG 算法(25)～(48)計(jì)算參數(shù)向量和參數(shù)矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設(shè)定初值。

2)采集輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)。用式(36)～(38)構(gòu)造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(yù)(t)。

4)用式(28)計(jì)算r(t),用式(26)計(jì)算新息向量e(t),用式(25)刷新參數(shù)估計(jì)向量,用式(27)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣。

5)從式(43)的中讀出參數(shù)估計(jì)向量和,從式(46)的中讀出參數(shù)估計(jì)矩陣和。用式(39)～(42)計(jì)算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

4 濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度方法

設(shè)p為新息長(zhǎng)度。基于F-AM-HGESG 算法(25)～(48),根據(jù)多新息辨識(shí)理論[6,28],按照式(59)～(64)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積信息矩陣Φ(p,t),堆積信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(25)中信息矩陣擴(kuò)展為堆積信息矩陣Ψ(p,t),新息向量e(t)擴(kuò)展為一個(gè)大新息向量E(p,t),得到

將式(27)中信息向量擴(kuò)展為堆積信息矩陣Φ(p,t),新息向量e(t)擴(kuò)展為新息矩陣E1(p,t),得到

將式(28)中信息矩陣擴(kuò)展為堆積信息矩陣Ψ(p,t),信息向量擴(kuò)展為堆積信息矩陣Φ(p,t),得到

聯(lián)立式(49)～(53)和式(29)～(48),就得到辨識(shí)類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ的輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-GESG 算法),或?yàn)V波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-GESG 算法)[7,20]:

從F-AM-HMI-GESG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階多新息隨機(jī)梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nn=0時(shí),F-AM-HMI-GESG 辨識(shí)算法(54)～(80)退化為類(lèi)多變量輸出誤差(MOE-like)系統(tǒng)的輔助模型遞階多新息隨機(jī)梯度算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation stochastic gradient algorithm,AM-HMISG 算法)[7]。

2)當(dāng)nγ=0 時(shí),F-AM-HMI-GESG 辨識(shí)算法(54)～(80)退化為類(lèi)多變量輸出誤差滑動(dòng)平均(MOEMA-like)系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階多新息增廣隨機(jī)梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-ESG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息增廣隨機(jī)梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-ESG算法)[7]。

3)當(dāng)nn=0 時(shí),F-AM-HMI-GESG 辨識(shí)算法(54)～(80)退化為類(lèi)多變量輸出誤差自回歸(MOEAR-like)系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階多新息廣義隨機(jī)梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-GSG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息廣義隨機(jī)梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-GSG 算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng)的加權(quán)濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(W-F-AM-HMIGESG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(W-AM-F-HMI-GESG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(FF-F-AM-HMI-GESG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(AM-F-FFHMI-GESG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(W-FF-F-AM-HMIGESG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(W-AM-F-FF-HMI-GESG)算法。

F-AM-HMI-GESG 算法(54)～(80)計(jì)算參數(shù)向量和參數(shù)矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設(shè)定新息長(zhǎng)度p,初值。

2)采集輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)。用式(72)～(74)構(gòu)造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(yù)(t)。

4)用式(59)和(60)構(gòu)造 堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t),用式(61)和(62)構(gòu)造 堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t),用式(63)和(64)構(gòu)造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(58)計(jì)算r(t),用式(55)計(jì)算新息向量E(p,t),用式(54)刷新參數(shù)估計(jì)向量,用式(57)計(jì)算新息矩陣E1(p,t),用式(56)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣。

6)從式(79)的中讀出參數(shù)估計(jì)向量和,從式(80)的中讀出參數(shù)估計(jì)矩陣和。用式(75)～(78)計(jì)算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出和。

5 濾波輔助模型遞階廣義增廣遞推梯度辨識(shí)方法

根據(jù)類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)的濾波遞階辨識(shí)模型(11),定義準(zhǔn)則函數(shù)。

仿照遞階梯度算法的推導(dǎo)[5,7],使用梯度搜索,極小化準(zhǔn)則函數(shù)J2(?,θ),未知信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)用其估計(jì)和代替,聯(lián)立式(29)～(48),便得到辨識(shí)類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ的輔助模型濾波遞階廣義增廣遞推梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended recursive gradient algorithm,AM-F-HGERG 算法),簡(jiǎn)稱(chēng)為濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended gradient algorithm,F-AM-HGEG 算法)[7,14]:

從F-AM-HGEG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階遞推梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0 和nn=0 時(shí),F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化為類(lèi)多變量輸出誤差(M-OElike)系統(tǒng)的輔助模型遞階梯度算法(auxiliary model hierarchical gradient algorithm,AM-HG 算法)[7]。

2)當(dāng)nγ=0 時(shí),F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化為類(lèi)多變量輸出誤差滑動(dòng)平均(M-OEMA-like)系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical extended gradient algorithm,F-AM-HEG 算法),或輔助模型濾波遞階增廣梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical extended gradient algorithm,AM-F-HEG算法)[7]。

3)當(dāng)nn=0 時(shí),F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化為類(lèi)多變量輸出誤差自回歸(M-OEARlike)系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階廣義梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized gradient algorithm,F-AM-HGG 算法),或輔助模型濾波遞階廣義梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized gradient algorithm,AM-FHGG 算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng)的加權(quán)濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度(W-F-AM-HGEG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遞階廣義增廣梯度(W-AM-FHGEG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度(FF-F-AM-HGEG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣梯度(AM-F-FF-HGEG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度(WFF-F-AM-HGEG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣梯度(W-AM-F-FF-HGEG)算法。

F-AM-HGEG 辨識(shí)算法(81)～(104)計(jì)算參數(shù)估計(jì)向量和參數(shù)估計(jì)矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設(shè)定新息長(zhǎng)度p,初值i=1,2,…,p+max[n,nγ,nn],p0=106。給定參數(shù)估計(jì)精度ε。

2)采集輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)。用式(96)～(98)構(gòu)造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(yù)(t)。

4)用式(82)計(jì)算r1(t),用式(83)計(jì)算向量ξ1(t),用式(84)計(jì)算矩陣R1(t),用式(81)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣?1(t)。

5)用式(86)計(jì)算r2(t),用式(87)計(jì)算向量ξ2(t),用式(88)計(jì)算矩陣R2(t),用式(85)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣θ1(t)。

6)從式(103)的?1(t)中讀出參數(shù)估計(jì)向量和,從式(104)的θ1(t)中讀出參數(shù)估計(jì)矩陣和。用式(99)～(102)計(jì)算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

6 濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣遞推梯度方法

設(shè)正整數(shù)p為新息長(zhǎng)度?；贔-AM-HGEG算法(81)～(104),根據(jù)多新息辨識(shí)理論[6,28],按照式(113)～(118)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),堆積輸入信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(81)～(84)中新息向量y(t)-擴(kuò)展為一個(gè)大新息向量Y(p,t)-,輸出信息矩陣擴(kuò)展為堆積輸出信息矩陣Ψ(p,t),得到式(105)～(108),再將式(85)～(88)中新息向量擴(kuò)展為新息矩陣,輸入信息向量擴(kuò)展為堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),得到式(109)～(112),聯(lián)立式(89)～(104),能夠得到辨識(shí)類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的濾波遞階辨識(shí)模型(11)參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ的輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣遞推梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended recursive gradient algorithm,AM-F-HMI-GERG 算法),簡(jiǎn)稱(chēng)為濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended gradient algorithm,F-AMHMI-GEG 算法)[7,14]:

從F-AM-HMI-GEG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階多新息梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nn=0時(shí),F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化為類(lèi)多變量輸出誤差(M-OElike)系統(tǒng)的輔助模型遞階多新息梯度算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation gradient algorithm,AM-HMIG 算法)[7]。

2)當(dāng)nγ=0時(shí),F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化為類(lèi)多變量輸出誤差滑動(dòng)平均(M-OEMA-like)系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階多新息增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multiinnovation extended gradient algorithm,F-AMHMI-EG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息增廣梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended gradient algorithm,AM-F-HMI-EG 算法)[7]。

3)當(dāng)nn=0時(shí),F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化為類(lèi)多變量輸出誤差自回歸(M-OEARlike)系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階多新息廣義梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,F-AMHMI-GG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息廣義梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,AM-F-HMI-GG 算法)。

4)可以寫(xiě)出類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng)的加權(quán)濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度(W-F-AM-HMI-GEG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣梯度(WAM-F-HMI-GEG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度(FF-F-AM-HMI-GEG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣梯度(AM-F-FF-HMI-GEG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度(W-FF-F-AMHMI-GEG)算法或加權(quán)輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣梯度(W-AM-F-FF-HMI-GEG)算法。

F-AM-HMI-GEG 辨識(shí)算法(105)～(134)計(jì)算參數(shù)估計(jì)向量?︿(t)和參數(shù)估計(jì)矩陣θ︿(t)的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設(shè)定新息長(zhǎng)度p,初值。給定參數(shù)估計(jì)精度ε。

2)采集輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)。用式(126)～(128)構(gòu)造輸入信息向量φu(t), 輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(yù)(t)。

4)用式(113)和(114)構(gòu)造 堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t),用式(115)和(116)構(gòu)造堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t),用式(117)和(118)構(gòu)造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(106)計(jì)算r1(t),用式(107)計(jì)算向量ξ1(t),用式(108)計(jì)算矩陣R1(t),用式(105)刷新參數(shù)估計(jì)向量?1(t)。

6)用式(110)計(jì)算r2(t),用式(111)計(jì)算向量ξ2(t),用式(112)計(jì)算矩陣R2(t),用式(109)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣θ1(t)。

7)從式(133)的?1(t)中讀出參數(shù)估計(jì)向量和,從式(134)的θ1(t)中讀出參數(shù)估計(jì)矩陣和。用式(129)～(132)計(jì)算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

7 濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘辨識(shí)方法

根據(jù)濾波遞階辨識(shí)原理,令J2(?,θ)分別對(duì)?和θ的偏導(dǎo)數(shù)為零,未知信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)用其估計(jì)和代替,聯(lián)立式(89)～(104),便得到辨識(shí)類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ的輔助模型濾波遞階廣義增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended least squares algorithm,AM-F-HGELS算法),或?yàn)V波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended least squares algorithm,F-AM-HGELS算法)[7,20]:

從F-AM-HGELS辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階最小二乘辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nn=0時(shí),F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化為M-OE-like系統(tǒng)的輔助模型遞階最小二乘算法(auxiliary model hierarchical least squares algorithm,AM-HLS算法)[7,19-20]。

2)當(dāng)nγ=0 時(shí),F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化為M-OEMA-like系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical extended least squares algorithm,FAM-HELS算法),或輔助模型濾波遞階增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical extended least squares algorithm,AM-F-HELS 算法)[7,20]。

3)當(dāng)nn=0 時(shí),F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化為M-OEAR-like系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階廣義最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized least squares algorithm,FAM-HGLS算法),或輔助模型濾波遞階廣義最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized least squares algorithm,AM-F-HGLS 算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng)的加權(quán)濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘(W-F-AM-F-HGELS)算法或加權(quán)輔助模型濾波遞階廣義增廣最小二乘(WAM-F-HGELS)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘(FF-F-AM-HGELS)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣最小二乘(AM-FFF-HGELS)算法、加權(quán)遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘(W-FF-F-AM-HGELS)算法或加權(quán)輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣最小二乘(W-AM-F-FF-HGELS)算法。

F-AM-HGELS辨識(shí)算法(135)～(157)計(jì)算參數(shù)估計(jì)向量和參數(shù)估計(jì)矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設(shè)定初值。

2)采集輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)。用式(149)～(151)構(gòu)造輸入信息向量φu(t), 輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(yù)(t)。

4)用式(136)計(jì)算新息向量e(t),用式(137)計(jì)算增益矩陣L1(t),用式(138)計(jì)算協(xié)方差矩陣P1(t),用式(135)刷新參數(shù)估計(jì)向量,用式(140)計(jì)算增益矩陣L2(t),用式(141)計(jì)算協(xié)方差矩陣P2(t),用式(139)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣。

5)從式(156)的中讀出參數(shù)估計(jì)向量和,從式(157)的中讀出參數(shù)估計(jì)矩陣和。用式(152)～(155)計(jì)算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

8 濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘方法

設(shè)p為新息長(zhǎng)度。根據(jù)多新息辨識(shí)理論[6,28],基于F-AM-HGELS 算法(135)～(157),按照式(170)～(175)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),堆積輸入信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(135)中新息向量e(t)擴(kuò)展為一個(gè)大新息向量E(p,t),得到

將式(139)中新息向量e(t)擴(kuò)展為新息矩陣E1(p,t),得到

式(137)～(138)中信息矩陣擴(kuò)展為堆積信息矩陣Ψ(p,t),即式(164)～(165),式(140)～(141)中輸入信息向量擴(kuò)展為堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),得到式(168)～(169),聯(lián)立式(158)～(161)和(65)～(80),便得到辨識(shí)類(lèi)多變量輸出誤差A(yù)RMA 系統(tǒng)(1)參數(shù)向量?和參數(shù)矩陣θ的輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended least squares algorithm,AM-FHMI-GELS算法),或?yàn)V波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended least squares algorithm,F-AM-HMI-GELS 算法)[7,20]:

從F-AM-HMI-GELS辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階多新息最小二乘辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nn=0時(shí),F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化為M-OE-like系統(tǒng)的輔助模型遞階多新息最小二乘算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation least squares algorithm,AM-HMILS算法)[7,20]。

2)當(dāng)nγ=0時(shí),F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化為M-OEMA-like系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階多新息增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,F-AM-HMI-ELS算法),或輔助模型濾波遞階多新息增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,AM-F-HMI-ELS算法)[7,20]。

3)當(dāng)nn=0時(shí),F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化為M-OEAR-like系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階多新息廣義最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,F-AM-HMI-GLS 算法),或輔助模型濾波遞階多新息廣義最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,AM-FHMI-GLS算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng)的加權(quán)濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-F-AM-HMIGELS)算法或加權(quán)輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-AM-F-HMI-GELS)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘(FF-F-AM-HMI-GELS)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣最小二乘(AM-F-FFHMI-GELS)算法、加權(quán)遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-FF-F-AM-HMIGELS)算法或加權(quán)輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-AM-F-FF-HMI-GELS)算法。

F-AM-HMI-GELS辨識(shí)算法(162)～(191)計(jì)算參數(shù)估計(jì)向量參數(shù)估計(jì)矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設(shè)定新息長(zhǎng)度p,初值106。給定參數(shù)估計(jì)精度ε。

2)采集輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)。用式(183)～(185)構(gòu)造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(yù)(t)。

4)用式(170)和(171)構(gòu)造堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t), 用式(172)和(173)構(gòu)造 堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t),用式(174)和(175)構(gòu)造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(163)計(jì)算新息向量E(p,t),用式(164)計(jì)算增益矩陣P1(t),用式(165)計(jì)算協(xié)方差矩陣L1(t),用式(162)刷新參數(shù)估計(jì)向量。

6)用式(167)計(jì)算新息矩陣E1(p,t),用式(168)計(jì)算增益矩陣L2(t),用式(169)計(jì)算協(xié)方差矩陣P2(t),用式(166)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣。

7)從式(190)的中讀出參數(shù)估計(jì)向量和,從式(191)的中讀出參數(shù)估計(jì)矩陣和。用式(186)～(189)計(jì)算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

9 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(MOEARMA-like)系統(tǒng),利用輔助模型辨識(shí)思想,濾波辨識(shí)理念和遞階辨識(shí)原理,研究和提出了濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣隨機(jī)梯度辨識(shí)方法、濾波輔助模型遞階(多新息)遞推廣義增廣遞推梯度辨識(shí)方法、濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣最小二乘辨識(shí)方法。這些濾波輔助模型遞階廣義增廣辨識(shí)方法可以推廣到其它有色噪聲干擾下的線(xiàn)性和非線(xiàn)性多變量隨機(jī)系統(tǒng)中[30-44]。